2010年高二(1)上学期期中测试(答案)

江苏省南菁高级中学
2010－2011学年第一学期期中考试高二(1)数学答案
一、填空题（本题包括14小题，每题5分，共70分，请将答案填在答卷相应题号处）
1、[2k π＋π4, 2k π＋5π4], k ∈Z ；
2、710；
3、2；
4、5−12；
5、必要不充分；
6、210；
7、23；
8、0<a <12；
9、12n −1；10、a ≤－52或a ≥52
；11、16；12、①③；13、[−2, 0)；14、3－1 二、解答题（本题包括6大题，共90分，请作答在答卷相应题号处）
15、（1）由条件，得AC ＝CD ＝1，AB ＝2．∵AB AC ⋅＝1，∴1×2×cos ∠BAC ＝1．
则cos ∠BAC ＝12． ∵∠BAC ∈(0，π)，∴∠BAC ＝π3
． ……………… 2分 ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋1－2×2×123．∴BC ＝3． ……… 5分 （2）由（1）得BC 2＋AC 2＝AB 2．∴∠ACB ＝π2
． ……………… 6分 ∴sin ∠BCD ＝πsin()cos 2
ACD ACD +∠=∠＝35． ∵∠ACD ∈∈(0，π)，∴4sin 5
ACD ∠=． ……………… 8分 ∴S △ACD ＝12×1×1×45＝25
．∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD
25+． ……… 10分 （3）在△ACD 中，AD 2＝AC 2＋DC 2－2AC ·DC cos ∠ACD ＝1＋1－2×1×1×35＝45
． ∴AD
＝． ………………………………… 12分 ∵sin sin AD AC ACD D =∠，
∴4sin sin 5AC D ACD AD =∠=． ……………… 14分
16、解：（1）由题意可得，“¬p 且q ”为真即¬p 为真且q 为真
命题¬p 为真时，则命题p 为假，即∨
−x ∈R ，方程x 2＋tx ＋1＝0都不成立，即△＝t 2－4＜0 故－2＜t ＜2；命题q 为真时，则1－t ＞0，即t ＜1；
故集合A ＝(－2，1)………………………………………………………………………7分
（2）“x ∈A ”是“(x －m ＋1)(x －2m －1)＜0成立”的必要条件，
则(x －m ＋1)(x －2m －1)＜0的解集是A 的子集，
①m －1＝2m ＋1时，不等式解集为Ø，m ＝－2，符合题意；
②m －1≠2m ＋1时，则⎩⎨⎧－2≤m －1≤1－2≤2m ＋1≤1
，解得－1≤m ≤0； 故m 的取值范围是m ＝－2或－1≤m ≤0. ………………………………………14分
17、解：作AP CD ⊥于点P , 如图,分别以AB, AP , AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系
.
(0,0,0),(1,0,0),(0,
((0,0,2),(0,0,1),(12
2244
A B P D O M N -……3分
(1) 222
2(1,,1),(0,,2),(
MN OP OD =--=-=-设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =, 则→n ·→OP ＝0, →n ·→OD ＝0, 即 20202
y z x y z -=⎨⎪-=⎪⎩取z =解得→n ＝(0, 4, 2) ∵→AB·→n ＝(1－24, 24
, −1)·(0, 4, 2)＝0 MN OCD ∴平面‖ ………………7分 (2)设AB 与MD 所成的角为θ,
(1,0,0),(1)22
AB MD ==--∵ 1cos ,2
3AB MD AB MD πθθ===⋅∴∴ ∴AB 与MD 所成角的大小为π3 ………………11分 (3)设点B 到平面OCD 的交流为d , 则d 为OB 在向量→n ＝(0, 4, 2)上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB =-, 得d ＝|→OB ·→n ||→n |＝23. 所以点B 到平面OCD 的距离为23 ……………15分 18、解：(Ⅰ)设圆心C (,)a b , 则⎩
⎨⎧a −22＋a −22＋2=0 b +2a +2＝1 , 解得00a b =⎧⎨=⎩ ……………………3分 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得2
2r =,故圆C 的方程为222x y +=……5分 (Ⅱ)设(,)Q x y , 则222x y +=, 且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++ ………………7分 =224x y x y +++-=2x y +-, 设x =2cos θ, y =2sin θ, 则x +y −2=2sin(θ＋π4
)−2≥－4 所以PQ MQ ⋅的最小值为4- ……………………………10分 (Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-, :1(1)PB y k x -=--, 由221(1)2
y k x x y -=-⎧⎨+=⎩, 得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= ……………………………………………11分
因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+
…………………13分 同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B A
y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k 所以, 直线AB 和OP 一定平行 ………………………………………………15分
19、解：（1）∵f ' (x )＝2ax ＋b ，由图可知，f ' (x )＝－x ＋1，∴a ＝－12，b ＝1 又因为f (0)＝1，∴c ＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－12
x 2＋x ＋1. …………………4分 （2）①结合⑴可得，g (x )＝－12x 3＋x 2＋cx ，∴g' (x )＝－32
x 2＋2x ＋c ∵g (x )在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴g' (x )≤0对于x ∈R 恒成立，
即△＝4－4×(－32)×c ≤0，得c ≤－23. 故c 的取值范围为(－∞，－23
].……………9分 ②∵f (x )＝－12x 2＋x ＋c ＝－12(x －1)2＋c ＋12≤c ＋12， ∴[c (1－m )，c (1－n )]⊆(－∞，c ＋12]，即c (1－n )≤c ＋12，又∵c ≤－23，∴n ≤－12c ≤34
， 而f (x )的对称轴为x ＝1，故[m ，n ]⊆ (－∞，1]，∴f (x )在[m ，n ]上是单调函数.
∴⎩⎨⎧f (m )＝c (1－m ) f (n )＝c (1－n )
，即m 、n 是方程－12x 2＋x ＋c ＝c (1－x ) （*）的两不等根 而（*）方程的两根为0或2c ＋2，又m ＜n
∴当c ＝－1时，不存在区间[m ，n ]；
当－1＜c ≤－23
时，存在区间[m ，n ]＝[0，2c ＋2]； 当c ＜－1时，存在区间[m ，n ]＝[2c ＋2，0]. …………………………16分
20、（Ⅰ）解：由题意得
=,所以100S
5=……………4分 （Ⅱ）证明：令1n =
=,则p =1 ……………………………………5分
所以1n n i S ==
1）
,111
n n i S ++==
2） （2）—（1）
化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3） ……………………………………………………7分 231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）—（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥……9分 在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{a n }为等差数列 …………………………………10分
（Ⅲ）记1k t a +=,公差为d ,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++ …………12分 则12
T kd t k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+- 222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+
……………………14分
则T ≤当且仅当2432()52t kd kd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
……16分。