高考专题解读——函数、导数、方程与不等式

高考专题解读——函数、导数、方程与不等式唐小荣（重庆市渝西中学）对比近几年的《普通高等学校招生全国统一考试数学科考试说明》，我们明确：数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系．要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架．对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度．函数、导数、方程、不等式是高中数学中最重要的知识板块，它是贯穿于高中数学的一条主线，它的知识点多，覆盖面广，综合性强，应用广泛，与其他知识联系紧密；导数是研究函数的工具，有了导数，函数显得更加丰富多彩．函数、方程、不等式历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点，且常考常新.这一部分试题呈现出设计新颖、灵活、思维力度增大、运算量减小的特点．纵观近三年的全国及各省、市高考试题，通常以小题的形式考查函数的性质，不等式的性质、解法及函数、方程思想的运用，而在解答题中，则往往是在知识的交汇点处，从更高的层次、从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查，特别是利用导数作为工具，考查函数、方程、不等式的综合应用已成为高考的又一热点，本专题在选择、填空、解答三种题型中都有考题，分值40分以上，占全卷的30﹪左右，在高考中占有相当重要地位.一、本专题高考试题的特点分析1.以“三个二次”为纽带，在函数、导数、方程、不等式、数列、圆锥曲线等知识交汇处命题，考查分析问题、解决问题的能力.2.函数与数列、不等式、导数等知识的交汇，强调基础知识和综合能力并重，在知识的交汇处命题，考查学生的思维能力、运算及应用能力，经常以压轴题出现.3.抽象函数和创新题型在近年高考中也是一个热点，这类题灵活抽象，背景深刻，较难把握解题规律.4.解不等式、证明不等式及不等式与函数、导数、三角函数、数学归纳法、解析几何、数列等知识的综合运用是不等式考查的重点，且综合考查已成为一种趋势.一般两种题型：一是以函数为载体的导数、函数性质的综合题，多为压轴题；另一种是与几何问题、数列问题以及平面向量等知识的综合问题，立意新颖，抽象程度高.二、本专题的重、难点分析1.函数、导数、方程与不等式的重点是：（1）理解函数的有关概念——定义、三要素、表示方法，特别是函数解析式.（2）掌握函数的单调性、周期性和奇偶性的概念、基本的判定方法和步骤，并会运用.应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数以及形如(0)k y x k x=+>的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.（3）理解掌握反函数的概念，明确反函数的意义及一些常见符号的意义，掌握求反函数的方法步骤，理解反函数与原函数的关系等.（4）理解掌握指数函数、对数函数的概念、图象及性质，能运用性质熟练地进行大小比较、方程求解等.（5）掌握导数的概念，会求函数的导数，会用导数的方法判定或证明函数的单调性，会求函数的极值和最值，会用导数解一些实际问题.（6）理解不等式的性质及其证明，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的证明，掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.（7）掌握简单不等式的解法，理解不等式a b a b a b -≤-≤+．2.函数、导数、方程与不等式的难点是:（1）函数、反函数的概念，函数思想、数形结合思想的灵活运用.（2）培养建立函数模型、解决实际问题的应用意识.（3）利用放缩法证明不等式，函数、数列、不等式、解析几何的综合.（4）利用导数证明函数单调性进而证明不等式恒成立问题，关键是如何构造相关函数，这是近几年高考压轴题中的一类较典型的问题．三、具体解说1.函数函数是高中数学中十分重要的内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿了整个中学数学的一根主线.具有概念性强，内容丰富，与其他知识（特别是方程、不等式、导数等知识）联系广泛等特点.函数思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融会了待定系数法、配方法、换元法、反证法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想.2.导数考查内容主要是函数的单调性、极值、最值、图象在某点的切线这四方面有关.分值在25分左右（两小一大），函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势.注意函数的图象的平移、伸缩变换与对称变换、函数的对称性与函数值的变化趋势，函数的最值与反函数的新题型.函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次函数为命题载体，求单调性、最值、极值等问题；理科以对数函数、指数函数及分式函数为命题载体，是一道区分度较大的题目，以切线、极值、单调性为设置条件，与数列、不等式、解析几何综合的有特色的试题，也应加以重视.考查导数的概念、切线方程、导数的计算等内容，在高考中经常以填空题或选择题为主要题型，难度不大；考查单调性、极值、最值等问题及应用问题，以中档题为主，题型以解答题为主.3.方程与不等式方程、不等式是中学数学的基础和重要内容，是数学学科的工具.所以它有着广泛的应用性，是培养学生数学能力和应用意识的重要素材.不等式不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右.不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）、证明不等式、比较大小、不等式的应用、不等式的综合性问题.选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式；解答题会在与其他知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n 项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等.四、高考数学试题中本专题考点列析函数、导数、方程与不等式作为高中数学的主干知识，是各套高考数学试卷的重点考查内容之一．体现了函数与方程、分类讨论、等价转化、化归与递推、数形结合等数学思想，难度较大．1.纲扣本，对基本知识、基本运算的考查例1.函数y = C ）.A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤考查点：函数的定义域、解不等式．分析：由函数定义域的定义得出不等式组，然后解不等式组．关键要熟练掌握基本初等函数的定义域．例2.函数1y =04x ≤≤）的反函数是 （ A ）A ．2(1)y x =-（13x ≤≤）B .2(1)y x =-（04x ≤≤）C .21y x =-（13x ≤≤）D .21y x =-（04x ≤≤）考查知识：求函数的反函数．切入点：求反函数的一般步骤．例3.函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 考查知识：函数的奇偶性．例4.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ）. A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 考查知识：导数的应用——切线，两直线垂直的充要条件．分析:关键要会求分式函数的导数，运用两直线垂直的充要条件列出方程．2.导数的应用例5．设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数．（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭． 故当13a ≥时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加． 故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+． 当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭≥．因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 命题意图：利用导数判断函数的单调性，并构造函数，从而利用单调性求参数范围． 思考：因sin ()2cos x f x x =+是周期函数，故只需考查()f x 在区间4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立，又()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间2π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故只需考查()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足()f x ax ≤，而根据切线的定义，找出()f x 在原点的切线即可，由（1）知22cos 1()(2cos )x f x x +'=+得1(0)3f '=，因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 当然这样有点欠完整，但很容易找出正确答案，再行解答即可．例6．已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.解：（Ⅰ）因为()2101a f x x x '=+-+，所以()361004a f '=+-=，因此16a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞()()22431x x f x x -+'=+.当()()1,13,x ∈-+∞ 时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '<.所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =.所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=，()()213211213f e f --<-+=-<，所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =与()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<.因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--．考查知识：函数的单调性，图象交点．分析：利用导数判断函数的单调性，并结合图象分析直线y b =与()y f x =的图象的交点．3.函数单调性、奇偶性、周期性及其应用例7.设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ).A.()01f =B.()00f =C.()01f '=D.()00f '=考查知识：三角函数，导数，函数奇偶性．分析:由三角函数的奇偶性得出()()cos f x x ω=±，故选择D ．例8.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C ).A .13B .2C .132 D .213 考查知识：函数的周期性．分析：由()()213f x f x ⋅+=得出()()132f x f x +=，再推出()()1343f x f x +=+ ()f x =，周期为4．例9.已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >；③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是__②__.考查知识：函数的奇偶性与单调性.分析：由函数为偶函数及2()cos f x x x =-在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调性知2212x x >,即12x x >,可得12()()f x f x >．4.函数图象及应用的考查例10.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =____2____；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆____2-___．（用数字作答） 考查知识：导数的定义，函数图象． 切入点：由定义知0(1)(1)lim (0)x f x f f x ∆→+∆-'=∆，由图象可得(0)f '=-. 例11.函数ππln cos ,()22y x x =-<<的图象是（ A）考查知识：函数的奇偶性与图象．例12.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ A ）.考查知识：函数的应用与图象．A ．B ．C ．D ．切入点：路程的平均变化率的极限即导数（瞬时速度）．5.抽象函数与创新题的考查例13.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,R x x ∈,有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ C ）.A .()f x 为奇函数B .()f x 为偶函数C . ()1f x +为奇函数D .()1f x +为偶函数考查知识：抽象函数及函数的奇偶性．切入点：奇偶性的判断，赋值法得(0)1f =，再令12,x x x x ==-得出()1()1f x f x -+=--．例14.（湖南卷理）设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2,［54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1),(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是( D ). A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 考查知识：自定义题型，组合数公式，函数值域． 切入点：由3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭得3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，x n n C x =；[]2,3x ∈时，8(1)(1)x n n C x x -=- . 五、复习建议1.以纲为纲，以本为本，充分发挥教材的核心作用高考试题源于课本，这是高考命题的一个基本原则．大多数同学在高考总复习时忽略课本，将教材扔到一边，每天围绕教材“埋头”做题．而许多高考题在课本都有原型．课本是标准，在求活、求新、求变的命题思想指导下，虽不考查单纯概念、也不会考查原题，但不少高考题就是课本原题的变形、改造、综合．故此要抓纲悟本，选择一些针对性较强的题目进行强化训练，使学生能很好地理解概念、掌握方法．2.强化三基很多同学在平时复习中经常出现忽视基础，爱钻难题、怪题，好高鹜远，而一考试则分数偏低．究其根源是基础不过关，才出现审题不清以及会而不对、对而不全等情况．而三基的落实不能只停留在口头上，要体现在教学时选取的每个问题、每个练习、每次试卷及错题的分析上．3.注重抽象函数知识点的总结与复习，掌握其求解策略抽象函数题型新颖灵活，在每年高考题中经常出现．主要考点是：与抽象函数相关的值域、定义域、单调性、周期性、图象的对称性及与不等式、方程的根的分布等知识的综合．因此复习时要对其规律作好总结，才能综合运用相关函数知识，挖掘隐含条件，寻找解题的突破口．4. 突出理性思维，培养创新意识教学时，各种数学思想方法要落实到每一章节的复习中去，而不能为了讲方法而讲方法．只有通过长期的训练，才能真正地使学生形成良好的思维习惯．5.注重函数、导数、方程与不等式、数列、解析几何等知识的综合，注重创新题的考查函数、导数、方程与不等式在高考中的比重较大，且试题具有一定的综合性，即体现为知识的综合，也体现为与数学思想的综合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想都有深入考查．因此在复习时应对函数、导数、方程与不等式及相关的综合问题应以专题的形式复习．6.重视思维训练，提高同学们的思维能力数学高考对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力．强调综合性、应用性，并切合学生实际，同时要与注重运算能力相结合．同时也要注意实践能力的培养，高考中经常出现相关应用问题的考查．另外，在讲通性通法的同时，也应注意解选择题、填空题的一些方法、技巧的运用及估算、简算等一些相关技巧．总之，函数是高中数学的主线，函数、导数、方程与不等式等相关知识的综合又是高考中的热点之一，它们贯穿于各章，涉及面广，综合性强．因此复习时一定要梳理清相关知识，并加强训练，注重综合问题的类型，使学生对基本问题运用自如，对几种综合形式了然于心．。