高数同济§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

在求解过程中，需要充分利用已知 的函数性质和定理，如连续函数的 运算性质、中值定理等。
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
证明过程
介值定理和零点存在性定理的证明都基于连续函数的性质。对于介值定理，可以构造辅助函数$F(x)=f(x)-c$， 并利用闭区间上连续函数的性质进行证明。对于零点存在性定理，可以利用介值定理进行推导。
05 不连续点处理技巧与方法
第一类不连续点处理策略
识别跳跃点
通过函数左右极限判断是否存在跳跃，若存在则为第 一类不连续点。
03
在工程技术和计算机科学领域，连续函数的概念和性质也 被用于解决实际问题。例如，在信号处理和图像处理中， 需要对连续信号进行采样和量化；在计算机图形学中，需 要对连续曲线进行离散化表示等。
02 连续函数运算法则
四则运算对连续性影响
加法运算
若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续， 则它们的和$f(x) + g(x)$也在点$x_0$ 连续。
图形辅助分析
利用图形辅助工具如MATLAB等绘制函数图像，直观展示不连续点 的位置和性质，有助于更好地理解和解决问题。
06 典型例题分析与解答
判断给定函数在某点是否连续
观察函数在给定点的左右极限是否存在且相等，同时判断函数在该点的函数值是否与极限值相等。若 都相等，则函数在该点连续。
对于分段函数，需要特别注意在分段点的连续性。要分别求解左右极限，并判断它们是否相等以及是否 与函数值相等。
分段函数处理
将函数在不连续点处分开，分别研究各部分的性质。
引入新变量
通过变量替换等方法，将不连续点转化为连续点进行 处理。
第二类不连续点处理策略
无穷间断点处理
当函数在某点无定义且左右极限至少有一个 不存在时，判断为无穷间断点，需特别注意 。
震荡间断点处理
对于函数在某点附近无限次震荡的情况，需结合函 数图像和性质进行综合分析。
连续性。
初等函数在其定义域内连续性定理
定理内容
初等函数在其定义域内是连续的。 这意味着，对于定义域内的任意 一点，初等函数在该点都有定义 且连续。
定理证明
基于基本初等函数的连续性和函 数运算的连续性，可以推导出初 等函数在其定义域内的连续性。
定理应用
该定理是判断初等函数连续性的 重要依据，也是求解与连续性相 关问题的关键。
证明过程
由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据有界性定理可知 $f(x)$在$[a,b]$上有界。设$mleq f(x)leq M$，其中 $m,M$为$f(x)$在$[a,b]$上的下界和上界。通过逐步推 导，可以证明存在$x_0in[a,b]$，使得$f(x_0)=m$或 $f(x_0)=M$，即$f(x)$在$[a,b]$上取得最大值或最小值。
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可去间断点处理
若函数在某点无定义但左右极限存在且相等 ，则为可去间断点，可通过补充定义使函数 连续。
实际问题中不连续点处理建议
结合实际问题背景
在处理实际问题时，需考虑不连续点产生的实际背景和原因，以便 更好地理解和解决问题。
数值计算与符号计算相结合
在处理复杂函数时，可结合数值计算和符号计算的方法，提高计算 效率和准确性。
反函数和隐函数连续性讨论
反函数连续性
若函数$y = f(x)$在区间$I$上严格单调且连续，则其反函数$x = f^{-1}(y)$在对应区间上也连续。
隐函数连续性
对于由方程$F(x,y) = 0$确定的隐函数$y = y(x)$，若函数$F(x,y)$在点$(x_0, y_0)$的某一邻域内连续，且满足 隐函数存在定理的条件，则隐函数$y = y(x)$在点$x_0$连续。
比较，可以确定间断点的类型。
连续性在实际问题中应用
01
在物理、化学、生物等自然科学领域，很多现象都可以用连续函 数来描述。例如，物体的运动轨迹、化学反应速率、生物种群数 量变化等。
02
在经济学、金融学等社会科学领域，连续函数也被广泛应 用。例如，用连续函数来描述股票价格随时间的变化、国 民生产总值随时间的增长等。
介值定理和零点存在性定理
介值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)neq f(b)$，则对于$f(a)$与$f(b)$之间的任意一个数$c$，必 存在$x_0in(a,b)$，使得$f(x_0)=c$。
零点存在性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)cdot f(b)<0$，则必存在$x_0in(a,b)$，使得$f(x_0)=0$。
高数同济§1.9连续函数的运算与初 等函数的连续性
目录
• 连续函数基本概念回顾 • 连续函数运算法则 • 初等函数连续性分析 • 闭区间上连续函数性质探讨 • 不连续点处理技巧与方法 • 典型例题分析与解答
定义
设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义。如果当自变 量$x$的增量$Delta x$趋于零时，函数$y$的增量$Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0)$也趋于零，那么就称函数$y=f(x)$ 在点$x_0$连续。
乘法运算
若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续， 则它们的积$f(x) cdot g(x)$也在点 $x_0$连续。
减法运算
若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续， 则它们的差$f(x) - g(x)$也在点$x_0$ 连续。
除法运算
若函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续， 且$g(x_0) neq 0$，则它们的商 $frac{f(x)}{g(x)}$也在点$x_0$连续。
03 初等函数连续性分析
基本初等函数连续性证明
利用极限定义证明
01
通过证明基本初等函数在其定义域内每一点的极限值等于该点
的函数值，从而证明其连续性。
利用已知连续函数证明
02
通过已知连续函数（如多项式函数、三角函数等）的性质，推
导基本初等函数的连续性。
利用导数证明
03
对于可导的基本初等函数，可以通过其导数的存在性来证明其
复合函数连续性判定
定理
若函数$y = f(u)$在点$u = u_0$连续， 函数$u = g(x)$在点$x = x_0$连续， 且$u_0 = g(x_0)$，则复合函数$y = f[g(x)]$在点$x = x_0$连续。
推论
若函数$y = f(x)$在区间$I$上连续，函数 $x = varphi(t)$在区间$J$上连续，且 $varphi(J) subseteq I$，则复合函数$y = f[varphi(t)]$在区间$J$上连续。
对于一些特殊类型的函数，如三角函数、指数函数等，可以利用它们的连续性定理来判断在给定点是否 连续。
求解复合函数或隐函数在某点取值
对于复合函数，首先明确外层函数和内 层函数，然后分别求解内层函数在给定 点的取值和外层函数在该取值下的结果。
对于隐函数，可以通过对方程进行变形或者 求解方程组来得到函数在某点的取值。需要 注意的是，隐函数的解可能不唯一，需要结 合实际情况进行判断。
证明过程
利用反证法，假设$f(x)$在$[a,b]$上无界，则对于任意正数$M$，总存在$x_1in[a,b]$，使得 $|f(x_1)|>M$。通过逐步推导，可以得到与连续函数的局部有界性相矛盾的结论，从而证明原命题成立。
最大值和最小值存在性定理
最大值和最小值存在性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在 $[a,b]$上必有最大值和最小值。