2022-2023学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》单元综合测试题(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）
1．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）
A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a＝1
2．若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣3
3．方程（x﹣3）2＝4的根为（）
A．x1＝x2＝5B．x1＝5，x2＝1C．x1＝x2＝1D．x1＝7，x2＝﹣1 4．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（）A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x﹣3）2＝9D．（x+3）2＝5 5．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或3
6．定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（）
A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1 7．受益于电商普及和交通运输的快速发展，快递业务量持续增长．我市2019年的快递业务量为1.1亿件，2021年，我市快递业务量增加到1.4亿件，设快递业务量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A．1.1（1+x）＝1.4B．1.1（1+x）2＝1.4
C．1.1x2＝1.4D．1.1（1+2x）＝1.4
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）
A．2s B．3s C．4s D．5s
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．10．已知m，n为一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为．11．用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0，可以写成（x+h）2＝k的形式，则．12．已知关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，则该方程的根是．
13．如果关于x的方程2x2﹣3x+m＝0有两个实数根，那么m满足．
14．要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米？设AB＝x米，根据题意可列出方程的为．
15．已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长是．
16．请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．
综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解方程：
（1）x（2x﹣3）＝4x﹣6；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0．
18．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
19．我们知道：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，试利用上述知识解决下列问题：
已知x2+2020x﹣1＝0的两根分别为α和β，求代数式（α2+2021α+1）（β2+2021β+1）的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．
21．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x；
（2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息．
22．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
2．解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
3．解：方程（x﹣3）2＝4，
开方得：x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x1＝5，x2＝1．
故选：B．
4．解：x2﹣6x﹣4＝0
x2﹣6x＝4
x2﹣6x+9＝13
（x﹣3）2＝13，
故选：B．
5．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
6．解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，
当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；
当a≠0时，
∵关于x的方程a※x＝0有实数根，
∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，
解得a≤﹣1或a＞0．
故选：D．
7．解：依题意得：1.1（1+x）2＝1.4．
故选：B．
8．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4
＝﹣3﹣2×4+4
＝﹣7．
故答案为﹣7．
11．解：原方程可以化为：x2﹣x＝，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣x+＝+，
配方，得（x﹣）2＝．
故答案为：（x﹣）2＝．
12．解：∵关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，∴该方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．
13．解：∵关于x的方程2x2﹣3x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×m＝9﹣8m≥0，
解得：m≤．
故答案为：m≤．
14．解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，
故答案为：（100﹣4x）x＝400．
15．解：x2﹣7x+10＝0
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝5，
∵三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的根，∴第三条边长的取值范围是：3＜第三边的长＜7，
∴第三边长为：5，
故这个三角形的周长是：2+5+5＝12．
故答案为：12．
16．解：设x2＝y，则原方程可化为：y2﹣y﹣6＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣2，
（1）当y＝3时，x2＝3，解得x1＝，x2＝﹣，
（2）当y＝﹣2．时，x2＝﹣2，此方程无实数根，
综合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）∵x（2x﹣3）＝4x﹣6，
∴x（2x﹣3）﹣2（2x﹣3）＝0，
∴（2x﹣3）（x﹣2）＝0，
则2x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1.5，x2＝2；
（2）∵2x2﹣4x﹣5＝0，
∴2x2﹣4x＝5，
则x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
19．解：把x＝α和x＝β分别代入方程得：α2+2020α﹣1＝0，β2+2020﹣1＝0，∴α2+2020α＝1，β2+2020＝1，
根据根与系数的关系得：α+β＝﹣2020，αβ＝﹣1，
则原式＝（α2+2020α+α+1）（β2+2020β+β+1）
＝（α+2）（β+2）
＝αβ+2（α+β）+4
＝﹣1﹣4040+4
＝﹣4037．
20．（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，
即该方程总有两个实数根；
（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得：
x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝32，
x12﹣2x1x2+x22＝9，
x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，
∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，
∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，
∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，
整理得：m2＝9，
解得：m＝3或m＝﹣3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3．
21．解：（1）设每月印刷的增长率都为x，
根据题意得：50（1+x）2＝72．
化为一般形式为25x2+50x﹣11＝0；
（2）设有x个好友，依题意得
x（x﹣1）＝132，
化为一般形式为x2﹣x﹣132＝0．
22．解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．。