常系数线性微分方程

常系数线性微分方程
\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =
f(x)\]
其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，
$f(x)$是已知的函数。

这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。

它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根
来确定。

为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的
概念和性质。

1.常系数线性齐次微分方程
当$f(x)=0$时，方程
\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。

它的特征方程为
\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]
其中$r$是一个未知数，称为特征根。

我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。

2.常系数线性非齐次微分方程的通解
当 $f(x) \neq 0$ 时，方程
\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]
称为常系数线性非齐次微分方程。

它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即
\[y=y_h+y_p\]
其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。

3.特解的构造方法
特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。

(1)待定系数法
当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。

(2)常数变易法
当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。

4.常系数线性微分方程的解法步骤
(1)写出常系数线性齐次微分方程的特征方程，求出特征根。

(2)根据特征根的不同情况，确定齐次方程的通解。

(3)根据非齐次方程的$f(x)$的形式，采用待定系数法或常数变易法求出特解。

(4)齐次方程的通解和特解的和即为非齐次方程的通解。

总结起来，常系数线性微分方程的解法主要有两个步骤:求解齐次方程的通解和求解非齐次方程的特解。

通过这两个步骤，我们可以得到常系数线性微分方程的解析表达式。