四年级奥数数论问题第一讲

小四奥数数论方法与技巧深度解析(1)
学员：宋梦琳 陶老师VIP电话：130******** 日期2012年4月18日主讲老师：何老师
学员：宋梦琳
知识整理
而且有着强大的生命
生命力。

数论问题
而且有着强大的
力。

数论问题
它历史悠久，
数论是研究
它历史悠久，而且有着强大的
数论是研究整数
性质的一个数学分支，它历史悠久，
整数性质的一个数学分支，
叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除
数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整
合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：
数与合数
数与
1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得
a=bq+r（0≤r＜b），
且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

乘积，即
都可以写成质数的连乘积
3．唯一
．唯一分解定理
分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连
其中p 1＜p 2＜…＜p k 为质数，a 1，a 2，…，a k 为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n 的质的质因数分解因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n 的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：
d （n ）=（a 1+1）（a 2+1）…（a k +1）。

5．整．整数集数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数。

因此，之间不再有其他整数。

因此，不等式不等式x ＜y 与x ≤y-1
是等价的。

下面，我们将按解下面，我们将按解数论
数论题的方法技巧来分类讲解。

一例一讲
一、利用整数的各种表示法
对于某些研究整数本身的特性的问题，对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，若能合理地选择整数的表示形式，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有则常常有
助于问题的解决。

这些常用的形式有：
1．十进制表示形式：表示形式：n=a n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0；
2．带余形式：．带余形式：a=bq+r a=bq+r a=bq+r；；
4．2的乘方与奇数之积式：与奇数之积式：n=2mt n=2mt n=2mt，其中，其中t 为奇数。

为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

1998。

问：红、黄、蓝。

问：红、黄、蓝3结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998
张卡片上各是什么数字？
张卡片上各是什么数字？
1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三例3 从自然数1，2，3，…，
，…，1000
整除？
个数之和能被18整除？
它共有10个约数。

在内，它共有
例4 求自然数N，使得它能被5和49整除，
整除，并且包括
并且包括1和N在内，
二、枚举法
枚举法（也称为穷举法）是把讨论的枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象对象分成若干种情况（分类），然后对各种情
况逐一讨论，最终解决整个问题。

况逐一讨论，最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类，运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。

分类的原则是不重不漏。

分类的原则是不重不漏。

正确的分类有助于暴正确的分类有助于暴
露问题的本质，露问题的本质，降低问题的难度。

降低问题的难度。

降低问题的难度。

数论数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，中最常用的分类方法有按模的余数分类，按按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

性分类及按数值的大小分类等。

例5 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的所得的余数等于它的三个数字的平方平方和。

例6 将自然数N 接写在任意一个自然数的右面接写在任意一个自然数的右面（例如，（例如，（例如，将将2接写在35的右面得352352）），如果得到的新数都能被N 整除，那么N 称为魔术数。

问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？个魔术数？
例7 有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。

把这3张牌洗好后，张牌洗好后，分别发给小明、分别发给小明、分别发给小明、小亮、小亮、小光3人。

每个人把自己牌的数字记下后，每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为1313，，1515，，2323。

问：这。

问：这3张牌的数字分别是多少？张牌的数字分别是多少？
三、归纳法
当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，
从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。

从而找到解决问题的途径。

从而找到解决问题的途径。

这种从特殊到这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。

一般的思维方法称为归纳法。

例8 将100以内的以内的质数质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作.
一做一练
1．如果把任意n 个连续个连续自然数自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n 是多少是多少? ?
2．如果四个两位质数a ，b ，c ，d 两两不同，并且满足，等式a+b=c+d a+b=c+d．那么，．那么，．那么，
(1)a+b 的最小可能值是多少的最小可能值是多少? ?
(2)a+b 的最大可能值是多少的最大可能值是多少? ?
3．如果某如果某整数整数同时具备如下3条性质：条性质：
①这个数与①这个数与1的差是的差是质数质数；
②这个数除以②这个数除以2所得的商也是质数；所得的商也是质数； ③这个数除以③这个数除以9所得的所得的余数余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
4．在555555的约数中，最大的三位数是多少的约数中，最大的三位数是多少? ?
5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米剪得正方形的边长是多少毫米? ?
6．已知存在三个小于20的自然数，它们的的自然数，它们的最大公约数最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．
7．把2626，，3333，，3434，，3535，，6363，，8585，，9191，，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组么最少要分成多少组? ?
课后练习举一反三
1、如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？
的积？
的连续自然数。

合数的连续自然数。

2、写出12个都是
个都是合数
3、有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。

再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。

反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
面。

反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
一例一讲参考答案
例1 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3a3，，a2a2，，a1a1，，a0a0，则这个四位数可以写成，则这个四位数可以写成，则这个四位数可以写成
1000a3+100a2+10a1+a01000a3+100a2+10a1+a0，，
它的各位数字之和的10倍是
1010（（a3+a2+a1+a0a3+a2+a1+a0））=10a3+10a2+10a1+10a0=10a3+10a2+10a1+10a0，，
这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是倍的差是
990a3+90a2-9a0=1998990a3+90a2-9a0=1998，，
110a3+10a2-a0=222110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位，可得比较上式等号两边个位、十位和百位，可得
a0=8a0=8，，a2=1a2=1，，a3=2a3=2。

所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。

例2 解：依题意，得依题意，得
a+b+c a+b+c＞＞1414，，
说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表制表示法和最简单的不定方程。

示法和最简单的不定方程。

例3解：设a ，b ，c ，d 是所取出的数中的任意4个数，则个数，则
a+b+c=18m a+b+c=18m，，a+b+d=18n a+b+d=18n，，
其中m ，n 是自然数。

于是。

于是
c-d=18c-d=18（（m-n m-n）。

）。

）。

上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的所得的余数余数均相同。

设这个余数为r ，则，则
a=18a1+r a=18a1+r，，b=18b1+r b=18b1+r，，c=18c1+r c=18c1+r，，
其中a1a1，，b1b1，，c1是整数。

于是。

于是
a+b+c=18a+b+c=18（（a1+b1+c1a1+b1+c1））+3r +3r。

因为18|18|（（a+b+c a+b+c），所以），所以18|3r 18|3r，即，即6|r 6|r，推知，推知r=0r=0，，6，1212。

因为。

因为1000=551000=55××18+1018+10，所以，，所以，从1，2，…，，…，10001000中可取6，2424，，4242，…，，…，，…，996996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。

例4解：把数N 写成质写成质因数因数乘积的形式乘积的形式
由于N 能被5和72=49整除，故a3a3≥≥1，a4a4≥≥2，其余的，其余的指数指数ak 为自然数或零。

依题意，有为自然数或零。

依题意，有
（a1+1a1+1）（）（）（a2+1a2+1a2+1）…（）…（）…（an+1an+1an+1））=10=10。

由于a3+1a3+1≥≥2，a4+1a4+1≥≥3，且10=210=2××5，故，故
a1+1=a2+1=a5+1=a1+1=a2+1=a5+1=……=an+1=1=an+1=1，，
即a1=a2=a5=a1=a2=a5=……an=0an=0，，N 只能有2个不同的质因数5和7，因为a4+1a4+1≥≥3＞2，故由，故由
（a3+1a3+1）（）（）（a4+1a4+1a4+1））=10
知，知，a3+1=5a3+1=5a3+1=5，，a4+1=2是不可能的。

因而a3+1=2a3+1=2，，a4+1=5a4+1=5，即，即N=52-1×75-1=5=5××74
=12005=12005。

例5分析与解：三位数只有900个，可用个，可用枚举枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。

减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x ，y ，z 。

由于任何数除以11所得余数都不大于1010，所以，所以，所以
x2+y2+z2x2+y2+z2≤≤1010，，
从而1≤x ≤3，0≤y ≤3，0≤z ≤3。

所求三位数必在以下数中：。

所求三位数必在以下数中：
100100，，101101，，102102，，103103，，110110，，111111，，112112，，
120120，，121121，，122122，，130130，，200200，，201201，，202202，，
211211，，212212，，220220，，221221，，300300，，301301，，310310。

不难验证只有100100，，101两个数符合要求。

两个数符合要求。

例6
对N 为一位数、为一位数、两位数两位数、三位数、四位数分别讨论。

、三位数、四位数分别讨论。

N|100N|100，所以，所以N=10N=10，，2020，，2525，，5050；；
N|1000N|1000，所以，所以N=100N=100，，125125，，200200，，250250，，500500；； （4）当N 为四位数时，同理可得N=1000N=1000，，12501250，，20002000，，25002500，，50005000。

符合条件的有10001000，，12501250。

综上所述，魔术数的个数为14个。

个。

说明：（说明：（11）我们可以证明：）我们可以证明：k k 位魔术数一定是10k 的约数，反之亦然。

的约数，反之亦然。

（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决。

低了问题的难度，使问题容易解决。

例7解：13+15+23=5113+15+23=51，，51=351=3××1717。

因为1717＞＞1313，摸，摸17次是不可能的，所以摸了次是不可能的，所以摸了 3 3次，次， 3 3张扑克牌数字之和是1717，可能的情况有下，可能的情况有下面15种：种：
①1，6，10 ②1，7，9 ③1，8，8
④2，5，10 ⑤2，6，9 ⑥2，7，8
⑦3，4，10 ⑧3，5，9 ⑨3，6，8
⑩3，7，7 (11)4(11)4，，4，9 (12)49 (12)4，，5，8
(13)4(13)4，，6，7 (14)57 (14)5，，5，7 (15)57 (15)5，，6，6
只有第⑧种情况可以满足题目要求，即只有第⑧种情况可以满足题目要求，即
3+5+5=133+5+5=13；；3+3+9=153+3+9=15；；5+9+9=235+9+9=23。

这3张牌的数字分别是3，5和9。

例8解：第1次操作得数字串711131131737711131131737；；
第2次操作得数字串1113317311133173；；
第3次操作得数字串111731111731；；
第4次操作得数字串11731173；；
第5次操作得数字串17311731；；
0。

所以所以n 小于5．
:当n 为4时，如果其内含有5的倍数的倍数(( 第6次操作得数字串73117311；；
第7次操作得数字串31173117；；
第8次操作得数字串11731173。

不难看出，后面以4次为周期次为周期循环循环，1999=41999=4××499+3499+3，所以第，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是31173117。

一做一练参考答案
1、 我们知道如果有我们知道如果有5个连个连
续的续的续的自然数自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们的倍数，则它们乘积乘积的个位数字只能是个位数字为O 或5)5)，显然其内含有，显然其内含有2的倍数，那么
它们乘积的个位数字为0；
如果不含有如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；
所以，当所以，当n 为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．
：当n 为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数
字为0，……，不满足．，……，不满足．
：当n 为2时，有1×2，1×2，22×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．
至于至于n 取1显然不满足了．显然不满足了．
所以满足条件的n 是4．
2、两位的、两位的质数质数有1111，，1313，，1717，，1919，，2323，，2929，，3l 3l，，3737，，4141，，4343，，4747，，5353，，5959，，6l 6l，， 6767，，7171，，7373，，7979，，8383，，8989，，97
97．． 可得出，最小为可得出，最小为11+19=13+17=3011+19=13+17=30，最大为，最大为97+71=89+79=16897+71=89+79=168．．
所以满足条件的所以满足条件的a+b 最小可能值为3030，最大可能值为，最大可能值为168
3、条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者或者偶数偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有1414，，3232，，5050，，6868，，86这5个数满足条件．个数满足条件．
其中其中86与50不符合①，不符合①，3232与68不符合②，三个条件都符合的只有1414．．
所以两位幸运数只有1414．．
4、555555=555555=5×111×10015×111×10015×111×1001
=3×5×7×11×13×37=3×5×7×11×13×37=3×5×7×11×13×37
显然其最大的三位数约数为777777．．
5、从长2002毫米、宽847毫米的毫米的长方形长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的毫米的正方形正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而所得的商．而余数余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷3847÷308=208=208=2………………231231231，308÷231=1……77．231÷77=3．，308÷231=1……77．231÷77=3．，308÷231=1……77．231÷77=3．
不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．毫米．
6、设这三个数为a 、b 、c ，且a ＜b ＜c ，因为两两不互质，所以它们均是，因为两两不互质，所以它们均是合数合数．
小于小于20的合数有4，6，8，9，1010，，1212，，1414，，1515，，1616，，1818．其中只含．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，1010，，1212，，1414，，1515，，18这6个数，但是14=214=2××7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．互质的数．
所以只剩下所以只剩下6，1010，，1212，，1515，，18这5个数存在可能的个数存在可能的排列排列．
所以，所有可能的答案为所以，所有可能的答案为(6(6(6，，1010，，15)15)；；(10(10，，1212，，15)15)；；(10(10，，1515，，18)18)．．
7、26=226=2××1313，33=3×11，34=2×17，，33=3×11，34=2×17，，33=3×11，34=2×17，35=35=35=5×7，5×7，5×7，63=63=22
3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13． 由于质因数由于质因数13出现在2626、、9191、、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：组：
将2626、、3333、、35分为一组，分为一组，919191、、3434、、33分为一组，而143143、、6363、、85分为一组．分为一组．
所以，至少要分成3组．组．。