二项分布与超几何分布的区别

（1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球 次数X的分布列和数学期望。 3k k k 解：由已知X~B(3,0.4)， PX k C3 0.4 1 0.4 , (k 0,1,2,3)
X 所以，X的分布列为: p
0
1
2
3
27 54 36 8 E X 3 0.4 1.2 125 125 125 125
k n－ k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，…，n. n
则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
E X 3 0.6 1.8
0
1
2
3
8 36 54 27 125 125 125 125
变式：（3）把（2）改为：若随机在样本不赞成高考改革的家长中 抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分布列 及数学期望E(Y). k 3 k C15 C10 解：由已知Y服从超几何分布， PY k , (k 0,1,2,3) 3 C25 所以，Y的分布列为: Y
2018届南宁市摸底考试18题
摸底考试18题第（1）问
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分 布列及数学期望E(X). 用样本的频率估计概率应怎样理解？ 概率定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事 件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为 事件A的概率。 在样本中，不赞成高考改革的家长中是城镇户口的频率为0.6，因 此，估计全省从不赞成高考改革的家长中随机抽取1个，他是城镇 户口的概率为0.6，抽取3个，即进行3次独立重复试验，所以， X~(n,p)
－
n k Ck MCN－M P (X ＝ k )＝ ，k＝0,1,2，…，m，(其中 m 是 M，n Cn N
中的最小值，n≤N，M≤N，n、M、N∈N*)．
称分布列
X P
0
n－ 0 C0 C M N－M Cn N
1
n－ 1 C1 C M N－M Cn N
… …
m
n－ m Cm C M N－M Cn N
（2）从中逐个不放回的抽取出3个球（效果等同于一次同时取出3个 球），求取到红球个数Y的分布列和数学期望。 k 3 k C C 解：由已知Y服从超几何分布， PY k 4 3 6 , (k 0,1,2,3) C10 所以，Y的分布列为: Y
0
1 6
1
1 2
2
3 10
3
1 30
解：（2）由样本频率估计概率知，全省从不赞成高考改革的家 长中随机抽取1个，他是城镇户口的概率为0.6，所以，抽取3个 即进行3次独立重复试验，所以，X~B(3,0.6)
PX k C 0.6 1 0.6 , (k 0,1,2,3)
k 3 k 3k
X 所以，X的分布列为: p
为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何 分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
3、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (2)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布， nM 则 E(X)＝ . N
例1、盒子中有大小相同的4个红球和6个黑球.
0
6 115
1
27 92
2
21 46
3
91 460
p
6 27 21 91 EX 0 1 2 3 1.8 115 92 46 460 15 1.8 或E X 3 25
思考：变式第（3）问与第（2）问的区别? （2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分 布列及数学期望E(X). 变式（3）： 若随机在样本不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分 布列及数学期望E(Y). 首先：（2）中的概率是用频率来估计的；而（3）概率是古典 概型，不是估计的。 其次： （2）中全省不赞成高考改革的家长人数没有给出（可以 看成很多，抽取1个后再抽取1个不影想概率，可看成独立重复 试验），不可能用古典概型求其概率；而（3）样本中不赞成高 考改革的家长很明确是25人，可以用古典概型求其概率 。
二项分布与超几何分布的区别
1．独立重复试验与二项分布
(1)一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响． (2)一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的 次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率都为 p，那么 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为
P X 1 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.6 0.4
1 C3 0.4 0.62 （2）从中逐个不放回的抽取出3个球（效果等同于一次同时取出3个 球），求取到红球个数Y的分布列和数学期望。 抽取1个球后不放回，每次抽到红球概率改变——非独立重复试验, Y=1表示抽到1个红球，若逐个抽取，有可能是在第1、2、3次抽到， 所以 4 6 5 6 4 5 6 5 4 PY 1 (逐个抽取 ) 10 9 8 10 9 8 10 9 8 1 2 C4 C6 4 6 5 3 1 3 （同时抽取） C10 10 9 8 2
p
1 1 3 1 4 E X 0 1 2 3 1.2 或E X 3 6 2 10 30 10
思考：（1）和（2）的区别是什么？ （1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球 次数X的分布列和数学期望。 抽取1个球后放回，每次抽到红球概率不变——独立重复试验,X=1 表示有1次抽到红球，有可能是在第1、2、3次抽到，所以