16.1.1 二次根式的概念-初中数学人教版八年级下册教与练课件
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x 3≥0，
解：由题意得
3 x≥0，
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 b 3 a 2a 6 4，求
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
1.下列式子：①
1
；②
3
3
1 − 2；③ 2 + 1；④ 27；⑤
−4 2 ，是二次根
式的有（ A ）
A．①③⑤
，其中实数x、y满足 =
2
6 − 2 + 1．
1
2
−2
解：(
− 2 )÷
+
+
2
1
2
2
=
−
⋅
+ +
−2
−2
2
=
⋅
+ −2
2
=
，
+
∵ = − 3 − 6 − 2 + 1，x−3≥0，6−2x≥0，
∴x=3，y=1 ，
2
1
∴原式=
= ．
3+1
4.使式子
2 x
A）
5．已知 = − 2 + 2 − + 4， 的平方根是（ C ）
A．16
B．8
C．±4
D．±2
6．若、为实数，且 + 2 + − 2 = 0，则
A．-2
B．1
C．2
2019
的值（
D．-1
D ）
−4
x≥4
7．代数式
有意义，则x的取值范围是______．
的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
已知|3x-y-1|和 2 x y 4 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
例4.已知 y x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
5
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号.
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号
；
4.a≥0， a ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
”称为二次根号.
(1)
1
3
(2) −3
(3)−
2
+1
3
(4) 7
(5)
1 2
(− )
3
例2.当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1）
；
x 1
x3
(2)
.
x 1
解（1）由题意得x-1＞0，
2.使分式
B．①③
C．①②③
+3
有意义的x的取值范围是（
A． ≥ −3
B． ≥ −3且 ≠ 0
D．①②③⑤
B ）
C． ≠ 0
D． > 0
3.使得 x 3 有意义的x值有（ B ）
2
A.0个
B.1个
C.无数个
D.以上都不对
x 1
x 3 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
0的算术平方根是0.
用 a (a≥0)表示.
3.(1)16的平方根是什么？算术平方根是什么？
(2)0的平方根是什么？算术平方根是什么？
(3)-7有没有平方根？有没有算术平方根？
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
3
S
(1)面积为3的正方形的边长为____，面积为S的正方形的边长为____.
65
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时
离 地 面 的 高 度 h( 单 位 :m) 满 足 关 系 h=5t2. 如 果 用 含 有 h 的 式 子 表 示 t ， 则
h
t=_____.
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
例3.若 a 2 b 3 (c 4) 2 0 ，求a-b+c的值.
2
解：因为 a 2 0, b 3 0, (c 4) 0,
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
【点睛】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过
2.二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什
么？
x为任意实数时， x 2 都有意义；当x≥0时， x3 有意义.
当a＞0时， a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0；当a=0时， a 表示0的算术
平方根，因此 a =0.这就是说，当a≥0时， a ≥0.
二次根式的双重非负性
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽
各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x•2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x= 3
答：矩形的长、宽分别为3 3cm、2 3cm.
1
12．先化简，再求值：(
+
−
2
)
2 +
÷
−2
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(6)
xy x, y异号 ;
2;
(3)
分析： 是否含二次根号
否
(7)
是
(4)
a 2 1;
-m m≤0 ； (5)
(8)
3
被开方数是
不是非负数
否
不是二次根式
5;
是
(9)
1
;
5
2 3 .
二次根式
判断下列式子，哪些是二次根式？
2
−3−
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号
；
4.a≥0， a ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
”称为二次根号.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
B
1.当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
解：由题意得
3 x≥0，
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 b 3 a 2a 6 4，求
∴x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
1.下列式子：①
1
；②
3
3
1 − 2；③ 2 + 1；④ 27；⑤
−4 2 ，是二次根
式的有（ A ）
A．①③⑤
，其中实数x、y满足 =
2
6 − 2 + 1．
1
2
−2
解：(
− 2 )÷
+
+
2
1
2
2
=
−
⋅
+ +
−2
−2
2
=
⋅
+ −2
2
=
，
+
∵ = − 3 − 6 − 2 + 1，x−3≥0，6−2x≥0，
∴x=3，y=1 ，
2
1
∴原式=
= ．
3+1
4.使式子
2 x
A）
5．已知 = − 2 + 2 − + 4， 的平方根是（ C ）
A．16
B．8
C．±4
D．±2
6．若、为实数，且 + 2 + − 2 = 0，则
A．-2
B．1
C．2
2019
的值（
D．-1
D ）
−4
x≥4
7．代数式
有意义，则x的取值范围是______．
的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
已知|3x-y-1|和 2 x y 4 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
例4.已知 y x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
5
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号.
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号
；
4.a≥0， a ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
”称为二次根号.
(1)
1
3
(2) −3
(3)−
2
+1
3
(4) 7
(5)
1 2
(− )
3
例2.当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1）
；
x 1
x3
(2)
.
x 1
解（1）由题意得x-1＞0，
2.使分式
B．①③
C．①②③
+3
有意义的x的取值范围是（
A． ≥ −3
B． ≥ −3且 ≠ 0
D．①②③⑤
B ）
C． ≠ 0
D． > 0
3.使得 x 3 有意义的x值有（ B ）
2
A.0个
B.1个
C.无数个
D.以上都不对
x 1
x 3 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
0的算术平方根是0.
用 a (a≥0)表示.
3.(1)16的平方根是什么？算术平方根是什么？
(2)0的平方根是什么？算术平方根是什么？
(3)-7有没有平方根？有没有算术平方根？
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
3
S
(1)面积为3的正方形的边长为____，面积为S的正方形的边长为____.
65
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时
离 地 面 的 高 度 h( 单 位 :m) 满 足 关 系 h=5t2. 如 果 用 含 有 h 的 式 子 表 示 t ， 则
h
t=_____.
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
例3.若 a 2 b 3 (c 4) 2 0 ，求a-b+c的值.
2
解：因为 a 2 0, b 3 0, (c 4) 0,
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
【点睛】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过
2.二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什
么？
x为任意实数时， x 2 都有意义；当x≥0时， x3 有意义.
当a＞0时， a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0；当a=0时， a 表示0的算术
平方根，因此 a =0.这就是说，当a≥0时， a ≥0.
二次根式的双重非负性
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽
各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x•2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x= 3
答：矩形的长、宽分别为3 3cm、2 3cm.
1
12．先化简，再求值：(
+
−
2
)
2 +
÷
−2
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
(2) 6;
(6)
xy x, y异号 ;
2;
(3)
分析： 是否含二次根号
否
(7)
是
(4)
a 2 1;
-m m≤0 ； (5)
(8)
3
被开方数是
不是非负数
否
不是二次根式
5;
是
(9)
1
;
5
2 3 .
二次根式
判断下列式子，哪些是二次根式？
2
−3−
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号
；
4.a≥0， a ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
”称为二次根号.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
B
1.当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？