2020年高考数学模拟试卷含答案

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新
数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4
D.78.8,75.6
2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:
行政区代
号
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x
7

人口（万） 63.46 59.44 103.23 38.11 21.67 6.46 6.61
面积(万
km2)
0.33 0.20 0.45 0.15 0.07 0.02 0.02

经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是
A.x2 B.x3 C.x5 D.
x
7

3. .已知|p|=22,|q|=3,p、q的夹角为4，如下图所示，若AB

=5p+2q,AC=p－3q，且D为BC的中点，则AD的长度为

A
B

C
D

A.215 B.215 C.7 D.8
4．函数f(x)=b(1－x212)+ a sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+
∞)上有最大值10,则f(x)在
(－∞,0)上有
A.最大值10 B.最小值－5 C.最小值－4 D.
最大值13
5.如果5x≠kx对一切x≥15均成立,则有
A.k≤0 B.k≤0或k>2020 C.k≤0或k>1510 D.0≤
k
<2020

6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函
数解析式:
①y=f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－21);④y=f(－x+1).
其中与图(b)所对应的函数解析式为

A.①② B.②③ C.③④ D.①④
7.2003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)
从银行贷款500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学生公
寓,2004年9月1日投入使用,同时向每位学生收取一年住宿费a元
用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,则a的值约为(提供:1.0515≈
2.08)
A.412 B.482 C.500 D.512
8. 已知F1、F2分别是双曲线22ax－22by=1的左、右焦点,P为双曲

线左支上任一点,若||||122PFPF的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为
A.(1,3] B.(0,3] C.(1,2] D.(1,+∞)
9.设函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有
A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内三个根
B.四个实根分别为xi=i(i=1,2,3,4)
C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根
D.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根
10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上
按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为
d,则函数d=f(l)的图象大致为

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题
中横线上）
11. 氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链
由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4
种不变，则不同的改变方法共有___________种.
12.设不等式组0,0,012,122yaxyxyx所围成的平面区域的面积为S,当6≤S
≤22时,a的取值范围是___________.
13.△A′B′C′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC的
直观图,设
△A′B′C′的面积为S′,△ABC的面积为S,则SS=_______.
14.设x1、x2∈R,定义运算:x1x2=(x1+x2)2－(x1－x2)2,若x≥0,
常数m>0,则动点P(x)=
2
m

x
的轨迹方程是_______.

15. 记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变化
时,t=min{x,22yxy }也在变化,则t的最大值为___________.

16.设x、y∈R,且满足,1)1(2004)1(,1)1(2004)1(20052005yyxx则x+y=___________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分)
二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能
不太规则,以致k点出现的概率是Pk(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,
(1)求二人平局的概率P.
(2)证明P≥61;并证明如果P=61,则Pk=61(k=1,2,3,4,5,6).
18.(本小题满分14分)
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧
棱CC1上的一点.

(1)求证:不论P在侧棱CC1上何位置,总有BD⊥AP;
(2)若CC1=3C1P,求平面AB1P与平面ABCD所成的二面角的正
切值;
(3)当P点在侧棱CC1上何处时,AP在平面B1AC上的射影是∠
B1AC的平分线?
A
B

C
D

P
D
1
C

1
B

1
A

1

19.(本小题满分12分)
如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3
行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的
数为aij(i≥j,i、j∈N*).

4
1

21,4
1

43,8
3,163
……
(1)试写出aij关于i、j的表达式,并求a83;
(2)设这个数阵共有n行,求数阵表中的所有数之和.
20.(本小题满分16分)
已知集合A={(x,y)|y≥|x－a|},B={(x,y)|y≤－a|x|+2a}(a≥0).
(1)证明A∩B≠;
(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.
21.(本小题满分16分)已知椭圆C1:42x+y2=1的左、右顶点分别是A、
B,点P是双曲线C2:42x－y2=1在第一象限部分上的一点,连结AP交
椭圆C1于点C,连结PB并延长交椭圆C1于点D.
(1)若直线PA与PB的斜率分别为k1、k2,求证:k1·k2是定值;
(2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;
(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.
详细解答
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新
数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4
D.78.8,75.6
解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.
答案: A
2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:
行政区代
号
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x
7

人口（万） 63.46 59.44 103.23 38.11 21.67 6.46 6.61
面积(万
km2)
0.33 0.20 0.45 0.15 0.07 0.02 0.02

经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是
A.x2 B.x3 C.
x
5

D.
x
7

解析: xi区的人口密度为

ai(i=1,2,…,7),a1=192.30,a2=297.20,a3=229.40,a4=254.07,a
5
=

309.57,a6=323.00,a7=330.50.
答案: D
3. .已知|p|=22,|q|=3,p、q的夹角为4，如下图所示，若AB
=5p+2q,AC=p－3q，且D为BC的中点，则AD的长度为

A
B

C
D

A.215 B.215 C.7 D.8
解析: AD=21(AB+AC)=3p－21q,
∴|AD|2=9p2+41q2－3p·q=4225.
∴|AD|=215.
答案: A
4．函数f(x)=b(1－x212)+ a sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+
∞)上有最大值10,则f(x)在
(－∞,0)上有
A.最大值10 B.最小值－5 C.最小值－4 D.
最大值13
解析: 令F(x)=f(x)－3=b(1－x212)+sinx=bxx2112+sinx,
则F(－x)=bxx2112+sin(－x)=b1221xx－sinx=－F(x),
∴F(x)为奇函数,F(x)在(0,+∞)上有最大值7.
∴F(x)在(－∞,0)上有最小值－7.
∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－4.
答案: C
5.如果5x≠kx对一切x≥15均成立,则有
A.k≤0 B.k≤0或k>2020 C.k≤0或k>1510
D.0≤k<2020
解析: 令y=5x,y=kx,显然k≤0时成立,
由kxyxy52k2x2－x+5=0(k>0),
由Δ=0,得k=2020;
由xyxy2020,52得x=10,而x≥15,
∴当x=15时,k=1510.
∴k≤0或k>1510.
答案: C

6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函
数解析式: