河北省保定市定兴三中高二数学下学期6月月考试卷 理(含解析)

2014-2015学年河北省保定市定兴三中高二（下）6月月考数学试卷
（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）
A．﹣i B． i C．﹣1 D． 1
2．若P=，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系为（）
A． P＞Q B． P＜Q
C． P=Q D．由a的取值确定
3．以下各点坐标与点不同的是（）
A． B． C． D．
4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0
是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0
是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
5．已知是复数z的共轭复数，z++z•=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．二次函数y=x2﹣2x+2与y=﹣x2+ax+b（a＞0，b＞0）的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直，则的最小值是（）
A． B． C． 4 D．
7．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k 到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）
A． 2k+1 B． 2k+3 C． 2（2k+1） D． 2（2k+3）
8．以下命题正确命题的个数为（）
（1）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为x2+y2=0或y=1
（2）集合A={x||x+1|＜1}，B={x|y=﹣}，则A⊆B
（3）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则
的值为2f′（x0）（4）若关于x的不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2（其中a＞0）的解集为R，则实数a≥4（5）将点P（﹣2，2）变换为P′（﹣6，1）的伸缩变换公式为．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
9．下列积分值等于1的是（）
A．xdx B．（﹣cosx）dx
C．dx D．dx
10．给出下列四个命题：
①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．
②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值
③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是
④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，则实数a的取值范围是
．
其中正确命题的个数为（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
11．已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，则P60的坐标为（）
A．（3，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）
12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，
e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）
A． [1，+∞） B．（1，+∞） C． [0，+∞） D．（0，+∞）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．14．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）= ．
15．已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．
16．若函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则
x∈．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2014•扶沟县校级模拟）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为
，（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单
位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．
18．（12分）（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．
19．（12分）（2015春•保定校级期末）已知函数f（x）=alnx﹣2ax+3（a≠0）．
（I）设a=﹣1，求函数f（x）的极值；
（II）在（I）的条件下，若函数（其中f'（x）为f（x）的导数）在区间（1，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围．
20．（12分）（2014•沧州校级一模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣
2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B
两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．
21．（12分）（2014春•定兴县校级期末）已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．
22．（12分）（2012•茂名一模）已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．
2014-2015学年河北省保定市定兴三中高二（下）6月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）
A．﹣i B． i C．﹣1 D． 1
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z，可得它的虚部．
解答：解：∵复数z====1﹣i，
故该复数的虚部为﹣1，
故选：C．
点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．若P=，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系为（）
A． P＞Q B． P＜Q
C． P=Q D．由a的取值确定
考点：不等式比较大小．
专题：不等式的解法及应用．
分析：平方作差即可比较出大小
解答：解：∵a≥0，∴a2+7a+12＞a2+7a+10．
P2﹣Q2=2a+7+2﹣2a﹣7﹣=2（﹣﹣）＜0，
∴P＜Q，
故选：B．
点评：本题考查了平方作差可比较两个数的大小方法，属于基础题
3．以下各点坐标与点不同的是（）
A． B． C． D．
考点：极坐标刻画点的位置．
专题：计算题．
分析：由于和﹣是终边相同的角，故点M的极坐标（﹣5，）也可表示为（﹣5，
﹣），故排除D，再根据和或是终边在反向延长线的角，排除B，C．从而得出正确选项．
解答：解：点M的极坐标为（﹣5，），由于和﹣是终边相同的角，故点M的坐
标也可表示为（﹣5，﹣），排除D；
再根据和或是终边在反向延长线的角，故点M的坐标也可表示为，
，排除B，C．
故选A．
点评：本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题．
4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0
是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0
是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
考点：演绎推理的基本方法．
专题：计算题；推理和证明．
分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．
解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，
∴大前提错误，
故选A．
点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
5．已知是复数z的共轭复数，z++z•=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
考点：轨迹方程．
专题：综合题；数系的扩充和复数．
分析：设出复数z的代数形式，代入z++z•=0，整理后即可得到答案．
解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），
则，
代入z++z•=0，得：
，
即x2+y2+2x=0．
整理得：（x+1）2+y2=1．
∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．
故选：A．
点评：本题考查了轨迹方程，考查了复数模的求法及复数相等的条件，是中档题．
6．二次函数y=x2﹣2x+2与y=﹣x2+ax+b（a＞0，b＞0）的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直，则的最小值是（）
A． B． C． 4 D．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；导数的几何意义．
专题：计算题；转化思想．
分析：先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到 a+b=，再由=（）×运用基本不等式可求得最小值．
解答：解：∵y=x2﹣2x+2∴y'=2x﹣2
∵y=﹣x2+ax+b的导函数为y'=﹣2x+a
设交点为（x0，y0），则（2x0﹣2）（﹣2x0+a）=﹣1，2x02﹣（2+a）x0+2﹣b=0
4x02﹣（2a+4）x0+2a﹣1=0，4x02﹣（4+2a）x0+4﹣2b=0
2a﹣1﹣4+2b=0，a+b=
=（）×=[1+4++4]×≥×（5+2）=
当且仅当=4时等号成立．
故选A．
点评：本题主要考查基本不等式的应用和导数的几何意义，考查基础知识的综合应用和灵活能力．基本不等式在解决最值时用途很大，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．
7．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k 到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）
A． 2k+1 B． 2k+3 C． 2（2k+1） D． 2（2k+3）
考点：数学归纳法．
专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．
解答：解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），
当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），
故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），
故选：C．
点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求．
8．以下命题正确命题的个数为（）
（1）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为x2+y2=0或y=1
（2）集合A={x||x+1|＜1}，B={x|y=﹣}，则A⊆B
（3）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则
的值为2f′（x0）（4）若关于x的不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2（其中a＞0）的解集为R，则实数a≥4（5）将点P（﹣2，2）变换为P′（﹣6，1）的伸缩变换公式为．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，化为直角坐标方程，可判断（1）；
解绝对值不等式求出A，求函数y=﹣的定义域，求出B，可判断（2）；
根据导数的定义，求出的值，可判断（3）；
求出使不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2恒成立的a的范围，可判断（4）；
根据伸缩变换公式，可判断（5）．
解答：解：由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，即x2+y2=0或x=1，故（1）错误；
解|x+1|＜1得：A=（﹣2，0），由2x﹣x2≥0得，B=[0，2]，则A⊈B，故（2）错误；
若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），
则==f′（x0），
故=2f′（x0），故（3）正确；
|ax﹣2|+|ax﹣a|=|ax﹣2|+|a﹣ax|≥|ax﹣2+a﹣ax|=|a﹣2|，
若不等式|ax﹣2|+|ax﹣a|≥2（其中a＞0）的解集为R，则|a﹣2|≥2，
则a≥4或a≤0（舍去），故（4）正确；
将点P（﹣2，2）变换为P′（﹣6，1）的伸缩变换公式为，故（5）错误．
故正确的命题个数为2个，
故选：B
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．
9．下列积分值等于1的是（）
A．xdx B．（﹣cosx）dx
C．dx D．dx
考点：定积分．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据积分公式直接进行计算即可．
解答：解：xdx==，（﹣cosx）dx=﹣sinx═﹣2，dx 表式以原点为圆心以2为半径的圆的面积的一半，故dx=×4π=2π，=lnx=1．
故选：D．
点评：本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础．
10．给出下列四个命题：
①f（x）=x3﹣3x2是增函数，无极值．
②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上没有最大值
③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是
④函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，则实数a的取值范围是
．
其中正确命题的个数为（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：分析函数f（x）=x3﹣3x2的图象和性质，可判断①②；求出曲线y=x，y=x2所围成图形的面积，可判断③；求出函数f（x）=lnx+ax导函数的范围，结合与直线2x﹣y=0垂直的
切线斜率为，求出实数a的取值范围，可判断④．
解答：解：①若f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当x∈（﹣∞，0）或（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
故当x=0时，函数取极大值，当x=2时，函数取极小值，
故①错误；②错误；
③由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积
S=∫01（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|01=﹣=，故③正确；
④函数f（x）=lnx+ax，则f′（x）=+a＞a，
若函数f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，
则a，
则实数a的取值范围是，故④正确；
故正确的命题的个数是2个，
故选：B
点评：考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．
11．已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，则P60的坐标为（）
A．（3，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）
考点：数列的应用．
专题：计算题．
分析：设P（x，y），分别讨论当x+y=2，3，4时各有几个点，便可知当x+y=n+1时，第n 行有n个点，便可得出当x+y=11时，已经有55个点，便可求得P60的坐标．
解答：解：设P（x，y）
P1（1，1），﹣﹣x+y=2，第1行，1个点；
P2（1，2），P3（2，1），﹣﹣x+y=3，第2行，2个点；
P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），﹣﹣x+y=4，第3行，3个点；
…
∵1个点+2个点+3个点+…+10个点=55个点
∴P55为第55个点，x+y=11，第10行，第10个点，P55（10，1），
∴P56（1，11），P57（2，10），P58（3，9），P59（4，8），P60（5，7）．
∴P60的坐标为（5，7），
故选D．
点评：本题表面上是考查点的排列规律，实际上是考查等差数列的性质，解题时注意转化思想的运用，考查了学生的计算能力和观察能力，同学们在平常要多加练习，属于中档题．
12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，
e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）
A． [1，+∞） B．（1，+∞） C． [0，+∞） D．（0，+∞）
考点：特称命题．
专题：函数的性质及应用．
分析：将不等式进行转化，利用不等式有解，利用导数求函数的最值即可得到结论．
解答：解：若若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，
即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]，时有解，
设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，
即a，
则F′（x）=，
当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，
∴F（x）在[1，e]上单调递增，
即F min（x）=F（1）=0，
因此a＞0即可．
故选：D．
点评：本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7 ．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：计算题；压轴题．
分析：首先分析题目已知不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．
解答：解：因为，
又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，
故有．
故答案为5＜b＜7．
点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型．对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握．
14．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）= 3 ．
考点：导数的运算．
分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．
解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，
所以f（1）+f′（1）=3
故答案为：3
点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．
15．已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．
专题：选作题；坐标系和参数方程．
分析：化参数方程为普通方程，联立即可求得交点坐标
解答：解：把（0≤θ＜π）利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程为+y2=1（y≥0），
把（t∈R），消去参数t，化为直角坐标方程为y2=x
两方程联立可得x=1，y=．
∴交点坐标为（1，）．
故答案为：（1，）．
点评：本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，比较基础．
16．若函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x∈（﹣2，）．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．
解答：解：∵f（﹣x）=（﹣x）3+3（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x2+3＞0，∴f（x）单调递增，
f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），
由f（x）递增知mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，
∴对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，
则，解得﹣2＜x＜，
故答案为：（﹣2，）．
点评：本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2014•扶沟县校级模拟）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为
，（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单
位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出圆心的极坐标，并求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．
考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．
专题：计算题．
分析：将直线和圆的方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系求解．
解答：解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，
圆心的直角坐标（﹣，﹣）
极坐标．
直线l的极坐标方程为
即为x+y﹣1=0，圆心到直线的距离．
圆O上的点到直线的最大距离为，解得．
点评：本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，考查点到直线距离公式等．
18．（12分）（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（1）作出函数y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象，可得它的图象与直线y=4的交点为（﹣8，4）和（2，4），从而求得|2x+1|﹣|x﹣3|≤4的解集．
（2）由y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象可知f（x）min=﹣，由题意可得﹣a≥f（x）min，由此求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）y=|2x+1|﹣|x﹣3|=，作出函数y=|2x+1|﹣|x﹣3|
的图象，
可得它的图象与直线y=4的交点为（﹣8，4）和（2，4）．
则|2x+1|﹣|x﹣3|≤4的解集为[﹣8，2]．
（2）由y=|2x+1|﹣|x﹣3|的图象可知当x=﹣时，f（x）min=﹣，
∴存在x使得f（x）+a≤0成立，等价于﹣a≥f（x）min，
等价于a≤．
点评：本题主要考查对由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
19．（12分）（2015春•保定校级期末）已知函数f（x）=alnx﹣2ax+3（a≠0）．
（I）设a=﹣1，求函数f（x）的极值；
（II）在（I）的条件下，若函数（其中f'（x）为f（x）的导数）在区间（1，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题．
分析：（I）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值
（II）构造新函数g（x），把在区间（1，3）上不是单调函数，即函数g（x）的导函数在区间（1，3）不能恒为正或恒为负，从而转化为求导函数的函数值问题，利用导数列出不等式，最后解不等式求得实数m的取值范围
解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1，f（x）=﹣lnx+2x+3（x＞0），，…（2分）∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）…（4分），
∴f（x）的极小值是．…（6分）
（Ⅱ），g′（x）=x2+（4+2m）x﹣1，…（8分）
∴g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，
且g′（0）=﹣1，
∴…（10分）
∴即：﹣．
故m的取值范围…（12分）
点评：本题考查了函数的定义域、单调性、极值，以及导数在其中的应用，由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法
20．（12分）（2014•沧州校级一模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣
2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B
两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．
考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．
解答：解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），
可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），
即y2=ax（a＞0）；（2分）
直线l的参数方程为（t为参数），
消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（4分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，
得；
设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
则；（6分）
∵|PA|•|PB|=|AB|2，
∴，
即；（9分）
∴，
解得：a=2，或a=﹣8（舍去）；
∴a的值为2．（12分）
点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是中档题．
21．（12分）（2014春•定兴县校级期末）已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）求导数f′（x），由x=2为极值点得f′（2）=0，可求a，切线斜率
，切点为（1，0），由点斜式可求切线方程；
（2）由f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数a后，转化为求函数的最值，利用基本不等式可求最值；
解答：解：（1）
=．
由题意知f′（2）=0，代入得，经检验，符合题意．
从而切线斜率，切点为（1，0），
∴切线方程为x+8y﹣1=0；
（2）．
∵f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴2a﹣2≤2．∴a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值，考查函数恒成立，考查转化思想．
22．（12分）（2012•茂名一模）已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f （1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（2）令
，则g（x）的定义域为（0，+∞）．证g
（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立即得证．求出g′（x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出a的范围即可．
解答：解（Ⅰ）当a=1时，，．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴，
（Ⅱ）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵
．
①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，．
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足．
由此求得a的范围是[，]．
综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．
点评：考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力．以及综合运用函数解决数学问题的能力．。