特征值与特征向量练习题

特征值与特征向量练习题
§1 特征值与特征向量
1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量：
（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200210311； （2）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------011101110。

2．求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111 a a a a a a A 的特征值（0≠a ）。

3．已知12是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---44174147a 的特征值，求a 。

4．已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，2-，3。

（1）求||A ；
（2）求1-A 和*A 的特征值；
（3）求I A A ++22的特征值。

5．已知n 阶方阵A 满足O I A =+k )(，求||A 。

6．已知方阵A 满足05322=--I A A ，证明I A +2可逆。

7．设4阶方阵A 满足0|2|=+A I ，I AA 2=T ，0||<A ，求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值。

8．设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1240011b a 的特征值为1，2，3，求a ，b 。

9．已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0011100b a A 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足何种关系？
10．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=312212a a b A 的一个特征向量，求a ，b 和ξ对应的特征值。

11．已知2-=λ是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2214013b a A 的特征值，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=21c a 是1-A 的特征值0λ对
应的特征向量，求a ，b ，c ，0λ的值。

12．设3阶矩阵A 的特征值为1-，0，1，与之对应的特征向量分别为
T a a a )2,3,(1++=a ，T a a )1,1,2(2+--=a ，T a )1,2,1(3-=a 。

若还有025
3308108
5=++-a a a ，求a 与A 。

13．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a 11121112A 是可逆矩阵，T b )1,,1(=a 是A 的伴随矩阵*A 的特征向量，且λ是a 对应的特征值，求a ，b ，λ。

14．已知3阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，求矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1*1
)(2A O O A 的特征值。

15．设A 是n 阶矩阵，且每行元素之和均为a 。

证明：
（1）a =λ是A 的特征值，T )1,,1,1( 是对应的特征向量；
（2）当A 可逆且0≠a 时，分别求1-A 和A A 321--的各行元素之和。

16．设A 是对合矩阵，即满足I A =2的方阵。

证明：
（1）A 的特征值只能是1或1-；
（2）若A 的特征值全为1，则I A =。

17．已知4阶矩阵)(ij a =A 有二重特征值0，且1是A 的单重特征值，求A 的特征多项式||I A λ-。

18．设)(ij a =A 是n 阶方阵。

证明：若A 的每行元素的绝对值之和小于1，则A 的特征值的模小于1。

19．设n 阶矩阵)(ij a =A 的特征值为n λλλ,,,21 ，证明：
∑∑∑====n i n
j ji ij n i i a a 1112λ。

20．设A 是n 阶矩阵。

证明：若每个非零n 维列向量都是A 的特征向量，则A 是数量矩阵，即n k I A =（k 是数）。

21．（1）设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，且n m ≥。

证明：
||||BA I AB I -=--n n m m λλλ；
（2）设i a （n i ,,2,1 =，3≥n ）为实数，满足021=+++n a a a ，求矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++++=111111111221
2221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a
A 的特征值。

21．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=00
0a c a b c b A ，证明O A A =+++)(2223c b a 。

§2 方阵的相似化简
1．判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。

若相似，求出可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵：
（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A ； （2）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=100010211A 。

2．设
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5000100011A ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5001100112A ， ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5000101012A 。

（1） 说明1A ，2A 和3A 有相同特征值；
（2） 判别1A ，2A 和3A 之间的相似关系。

3．设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002x A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=y 00020001B 相似，求x ，y 。

4．已知3阶方阵A 有特征值1，1，3，与之相对应的特征向量分别为
T )0,1,2(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,1,0(3=a ，
求矩阵A 。

5．已知3阶方阵A 有特征值1，2，3，与之相对应的特征向量分别为
T )1,1,1(1=a ，T )4,2,1(2=a ，T )9,3,1(3=a 。

设T )3,1,1(=b 。

（1） 将b 用1a ，2a ，3a 线性表示；
（2） 求b A n （1≥n ）。

6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=2135212b a
A 的特征向量。

（1）求a ，b 及ξ所对应的特征值；
（2）问A 是否能对角化？
7．已知0是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+=2142214k k
k A 的特征值。

（1）求k 的值；（2）问A 能否对角化？
8．已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=5334111b a
A 有3个线性无关的特征向量，且2=λ是A 的二重特征值。

（1） 求a ，b 的值；
（2） 求可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。

9．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=001010100B 。

若矩阵A 与B 相似，求rank +-)2(I A rank )(I A -。

10．已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=60028022a A 相似于对角矩阵Λ，求常数a ，并找出可逆矩阵P ，使得ΛAP P =-1。

11．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=260010001B ，试判断A 与B 是否相似，若相似，求出可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=。

12．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=112020
021A ，求100A 。

13．设1,0<<q p ，5.00=x ，5.00=y 。

数列}{n x 和}{n y 满足
⎩⎨⎧-+=+-=++,
)1(,)1(11n n n n n n y q px y qy x p x ,1,0=n 。

求数列}{n x 和}{n y 的通项公式。

14．设A ，B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似。

15．已知n 阶方阵A 满足O I A A =+-652，证明：A 可对角化。

16．设A ，B ，C ，D 都是n 阶矩阵。

证明：若A 与B 相似，C 与D 相似，则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛C A 与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛D B 相似。

17．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，且A ，B 各有n 个不同特征值。

记|
|)(I A λλ-=f 为A 的特征多项式。

证明：若)(B f 可逆，则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=B O C A M 相似于对角矩阵，其中O 为n 阶零矩阵。

18．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且O A A =+2，O B B =+2，O AB =与O BA =至少有一个成立。

证明：（1）1-=λ必是A 和B 的特征值；
（2）若1a ，2a 分别是A 和B 对应于1-的特征向量，则1a ，2a 线性无关。