二次函数抛物线型问题

1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满
足下列函数关系式：61t 5h 2
+--=）（
，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米
C ．6米
D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1
时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。

【方法规律】在二次函数顶点式2
()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。

当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。

【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。

【关键词】二次函数、最大值
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，好题，易错题
2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，
出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A ．4米
B ．3米
C ．2米
D ．1米
【答案】A
【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为22
44(1)04444(1)
ac b a -⨯-⨯-==⨯-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可．
【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误．
【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆
3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为
了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A ．50m
B ．100m
C ．160m
D ．200m
【答案】C
【思路分析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a x 2＋05，将（1，0）代入得a ＝－05，所以抛物线的解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5，分别将x ＝0.2和0.6代入，求得y 值为048，032，所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2（048＋032）＝16，所以则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为16×100＝160
【方法规律】先计算一个抛物线左边或右边需要不锈钢支柱的长度，根据抛物线的对称性来解
【易错点分析】1、不能正确求出抛物线的解析式；2、不能利用抛物线的对称性
【关键词】抛物线 【难度】★★★☆☆ 【题型】好题
4. （2011广西梧州，11，3分）20XX 年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线21b c 4
y x x =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A ． 21
3144y x x =-++ B ．213144
y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．21
3
144y x x =---
【答案】A
【思路分析】根据出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，
所以A ，B 两点坐标分别为（4，0），（0，1），在抛物线抛物线y ＝－14
x 2＋bx ＋c 上．将A
（4，0），（0，1）代入抛物线解析式，得c ＝1，b ＝4
3，故选A ． 【方法规律】首先把实际问题转化为二次函数的数学问题，求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后在接方程组，求出待定系数，从而求出函数解析式．
【易错点分析】一是不能数形结合看出点B 、点A ．坐标，二是计算错误．
【关键词】二次函数解析式 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，易错题
5. （2011青海西宁，7，3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大
高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12
米，在如图3所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是
A ．y =﹣（x ﹣12 ）2+3
B ．y =﹣（x +12
）2+3 C ．y =﹣12（x ﹣12 ）2+3 D ．y =﹣12（x +12
）2+3
【答案】C 【思路分析】根据题意知，抛物线的顶点坐标为（12
，3）可设抛物线的解析式为1()32
y a x =-+，又抛物线经过点（0，0）代入可求得a=12-，所以抛物线的解析式为y =﹣12（x ﹣12
）2+3． 【方法规律】待定系数法求函数解析式．
【易错点分析】颠倒横纵坐标．
【关键词】待定系数法
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题
6. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表
达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是
A ．第3秒
B ．第3.5秒
C ．第4.2秒
D ．第6.5秒
【答案】C
【思路分析】由题意知，当t＝4时小球的高度最高，当t＝3与t＝5时小球高度相等，当t＜4时，h随t的增大而增大；当t＞4时，h随t的增大而减小，∴四个选项中，当t＝4.2时，小球高度最高．
【方法规律】本题考查二次函数图象的对称性，这类问题最好结合图象来解决．
【易错点分析】学生不易想到利用对称性来判断点的位置．
【关键词】二次函数
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，新题，好题．
7. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的
函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）
A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒
【答案】C
【思路分析】由题意可知：h（2）=h（6），即4a+2b=36a+6b，解得b=﹣8a，函数h=at2+bt 的对称轴t=﹣
2
b
a
=4，故在t=4s时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高．故选C．
【方法规律】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【易错点分析】不能根据二次函数图象的对称性得到函数的性质
【关键词】二次函数的应用
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】好题，难题．
8.
9.
8. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一
部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．
(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作
两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省
h/m
t/s
O 2 6
（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P
之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【解】（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，……………1分设抛物线的函数解析式为y＝ax2，………………2分
由题意知点A的坐标为（4，8），且点A在抛物线上．………………3分
所以8=a×42，解得a=1
2
，故所求抛物线的函数解析式为2
1
2
y x
=．………………4分
（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，………………5分则点A、D关于OC对称．
连接BD交OC于点P，则点P即为所求．………………6分
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）．………………7分
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（－4，8）．………………8分设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9分
则有
22
48
k b
k b
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
………………10分
解得k=－1，b=4．
故直线BD的函数解析式为 y=－x+4．………………11分
把x=0代入y=－x+4，得点P的坐标为（0，4）．
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．………………12分
【思路分析】(1)以点O为原点，OC为y轴的正半轴建立坐标系，则可以设二次函数的解析式为y＝ax2，同时易确定A点的坐标为(4，8)，代入即可求出二次函数的解析式．(2)由用料最省，可确定点A关于y轴的对称点D，连结对称点D和点B，连线与y轴的交点就是点P的位置．(3)用待定系数法求出直线BD的解析式，把x＝0代入求得的解析式，求出点P的坐标，即求出O、P之间的距离．
【方法规律】建立适当的坐标系时，可以以顶点为原点，对称轴为y轴，则二次函数的解析式为最简单的y＝ax2的形式，求解析式较为方便．
两个点在直线的同侧，在直线上求一个点到两个点的距离之和最小，确定动点的方法是轴对称．
【易错点分析】确定点P位置时，不能联系轴对称知识是导致错误的最根本原因．【关键词】二次函数，一次函数，待定系数法，轴对称
【推荐指数】★★★★★
【题型】新题，好题，难题，压轴题
16. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的
一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4O 米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米。

（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【解】（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系
设抛物线的函数解析式为2y ax =,
由题意知点A 的坐标为（4，8）。

且点A 在抛物线上，
所以8=a×24，解得a=12,故所求抛物线的函数解析式为212
y x = （2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,
则点A 、D 关于OC 对称。

连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。

（3）由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上，
所以点B 的坐标为（2，2）
又知点A 的坐标为（4，8），所以点D 的坐标为（-4，8）
设直线BD 的函数解析式为 y=kx+b ，
则有2248k b k b +=⎧⎨-+=⎩
解得k=-1,b=4.
故直线BD 的函数解析式为 y=-x+4，
把x=0代入 y=-x+4，得点P 的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。

【思路解析】问题一、建立适当的直角坐标系：以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系使的二次函数的解析式最简单。

只要A 点的坐标即可求出函数的解析式。

问题二、求在OC 上一点到A 、B 两点距离之和最短，需做A 关于OC 的对称点D ，在连接对称点D 和另外一点B 与OC 的交点即为所求。

问题三、求O 、P 之间的距离就是直线DB 与y 轴交点纵坐标的长度，需要求出DB 的解析式。

【方法规律】本题为二次函数、几何作图相联系的一个问题，学生只有对这两部分掌握的比较好才能顺利完成，注意作图和坐标系的联系，还有坐标和线段长度的联系。

【易错点分析】本题的知识综合性强较强，建立合适的坐标系，作对称点，求一次函数的解析式，包括的知识点较多，学生会觉得应接不暇。

【关键词】直角坐标系，对称点，距离最短
【难度】★★★★☆
【题型】综合题，易错题，难题，压轴题
23．如图，•公园要建造圆形的喷水池，•在水池中央垂直水面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=12.5米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，•水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离OA距离为1•米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米？
23．解：以O为坐标原点，OA为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的顶点为B，•水流落水与x轴交点为C，
则A（0，1.25），B（1，2.25），C（x，0）．
设抛物线为y=a（x-1）2+2.25，
将点A代入，得a=-1，
当y=-1（x-1）2+2.25=0时，得x=-0.5（舍去），x=2.5，•
故水池半径至少要2.5米．
10．如图26-3-2所示，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上0.25m处出手，问：球出手时，他距离地面的高度是多少？
10．（1）顶点为（0，3.5），篮圈坐标为（1.5，3.05）．
设函数解析式为y=ax2+3.5•，代入（1.5，3.05）解得a=-0.2，
故篮球运行轨迹所在的抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5．
（2）当x=-2.5时，y=2.25．
故跳投时，距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2m．
14．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m．
（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，•才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 3.5m，要使水流不落到池
外，此时水流最大高度应达多少？（精确到0.1m）
14．（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C，• 根据题意有A（0，1.25），B（1，2.25），设抛物线为y=a（x-1）2+2.25．
将点A坐标代入，得a=-1，
∴y=-（x-1）2+2.25．
令y=0，得x1=-0.5（舍去）．
x2=2.5．
∴水池的半径至少要2.5m．
（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m）2+k，
再将点A（0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-11
7
，k=3
141
196
≈3.7，
所以，此时水流最大高度达3.7m．
16．如图所示，•某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由
抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，•抛物线可以用y=-1
32
x2+8表示．
（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由．
（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
16．（1）抛物线BCB的表达式为y=-1
32
x2+8．
x=2时，y=77
8
m>7m，所以汽车能完全通过．
（2）当x=4时，y=7.5m>7m，所以仍能安全通过．
（3）限高为7.2m 较适宜．（答案不唯一，符合情理即可）
∴D 点的坐标为（2，2）．
∵点P 在直线ED 上，故设P 点的坐标为（x ，2），
∵P 在抛物线上，
∴2=x 2-4x ， x=41682
±+=2±6． ∴P （2+6，2）或P （2-6，2）为所求．
15、（20XX 年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A ．22y x =-
B ．22y x =
C ．212y x =-
D ．212y x =
【关键词】二次函数的应用
【答案】C
图6（1） 图6（2）。