离散数学格与布尔代数

04
格的证明方法
05
本节小结
子格
定义11.4 设<L,∧,∨>是格，S是L的非空子集，若S关于L中的运算∧和∨仍构成格，则称S是L的子格。
例11.6 设格L如右图所示。令
S1＝{a,e,f,g} S2＝{a,b,e,g}
则S1不是L的子格，S2是L的子格。 因为对于e和f,有e∧f＝c， 但cS1。
有界格的性质
定理（补充） 设<L,∧,∨,0,1>是有界格，则a∈L有 a∧0＝0 a∨0＝a a∧1＝a a∨1＝1 证明 由 a∧0≤0 和 0≤a∧0 可知 a∧0＝0。 说明 在有界格中， 全下界0是关于∧运算的零元，∨运算的单位元。 全上界1是关于∨运算的零元，∧运算的单位元。 对偶原理 对于涉及到有界格的命题，如果其中含有全下界0或全上界1，在求该命题的对偶命题时，必须将0替换成1，而将1替换成0。 例如 a∧0＝0 和 a∨1＝1 互为对偶命题， a∨0＝a 和 a∧1＝a 互为对偶命题。
定理11.1
定理11.2 设<S,*,>是具有两个二元运算的代数系统，若对于*和运算适合交换律、结合律、吸收律，则可以适当定义S中的偏序≤，使得<S,≤>构成一个格，且a,b∈S有a∧b＝a*b，a∨b＝ab。
思路 (1)证明在S中*和运算都适合幂等律。 在S上定义二元关系R，并证明R为偏序关系。 证明<S,≤>构成格。
有界格
定义11.7 设L是格，若L存在全下界和全上界，则称L为有界格，并将L记为<L,∧,∨,0,1>。 说明 有限格L一定是有界格。 举例 设L是n元格，且L＝{a1,a2,…,an}，那么a1∧a2∧…∧an是L的全下界，而a1∨a2∨…∨an是L的全上界。因此L是有界格。 对于无限格L来说，有的是有界格，有的不是有界格。 如集合B的幂集格<P(B),∩,∪>，不管B是有穷集还是无穷集，它都是有界格。它的全下界是空集，全上界是B。 整数集Z关于通常数的小于或等于关系构成的格不是有界格，因为不存在最小和最大的整数。
即<a,a>∈R，
所以R在S上是自反的。
a,b∈S 有
aRb且bRa
ab＝b且ba＝a
a＝ba＝ab＝b (由于a b=ba)
所以R在S上是反对称的。
a,b,c∈S 有
aRb且bRc ab＝b 且 bc＝c
ac＝a(bc)
ac＝(ab)c
ac＝bc＝c
aRc
这就证明了R在S上是传递的。
01
全下界0与全上界1互补。
02
对于其他元素，可能存在补元，也可能不存在补元。
03
如果存在，可能是唯一的，也可能是多个补元。
04
对于有界分配格，如果它的元素存在补元，一定是唯一的。
在任何有界格中，
有界格中补元的说明
定理11.6 设<L,∧,∨,0,1>是有界分配格。
若a∈L，且对于a存在补元b，则b是a的唯一补元。
则有ac＝c和bc＝c，
从而有
(ab)c
＝ a(bc)
＝ ac
＝ c
这就证明了ab≤c，
所以ab是{a,b}的最小上界，即
a∨b＝ab
为证a*b是{a,b}的最大下界，
先证
首先由ab＝b 可知
a*b
＝a*(ab)
＝a
反之由a*b＝a 可知
ab
＝(a*b)b
＝b(b*a)
＝b
再由式(13.7)和≤的定义有 a≤b a*b＝a，
L2中的a与d互为补元，其中a为全下界，d为全上界，b与c也互为补元。
L3中的a与e互为补元，其中a为全下界，e为全上界，b的补元是c和d，c的补元是b和d，d的补元是b和c。b,c,d每个元素都有两个补元。
L4中的a与e互为补元。其中a为全下界。e为全上界。b的补元是c和d，c的补元是b，d的补元是b。
依照前边的证明,
类似地可证 a*b是{a,b}的最大下界，
即 a∧b＝a*b。
ab＝b a*b＝a (13.7)
1
根据定理11.2，可以给出格的另一个等价定义。
2
定义11.3 设<S,*,>是代数系统，*和是二元运算，如果*和满足交换律，结合律和吸收律，则<S,*,>构成一个格(lattice)。
中国地质大学本科生课程
离 散 数 学
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第11章 格与布尔代数
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1 格的定义与性质
2 分配格、有补格与布尔代数
本章总结
作业
本章内容
11.1 格的定义与性质
定义11.1 设<S,≤>是偏序集，如果x,y∈S，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≤作成一个格(lattice)。 说明：由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧。 x∨y：表示x与y的最小上界 x∧y：表示x和y的最大下界。 现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
3
说明 格中的幂等律可以由吸收律推出。
4
以后我们不再区别是偏序集定义的格， 还是代数系统定义的格，而统称为格L。
格的等价定义
定理11.3 设L是格，则a,b∈L 有
a≤b a∧b＝a a∨b＝b
证明 先证 a≤b a∧b＝a
由a≤a和a≤b可知，a是{a,b}的下界，
故a≤a∧b。显然又有a∧b≤a。
定理11.1
(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。 由于{a,b}＝{b,a}，所以a∨b＝b∨a。 由对偶原理，a∧b＝b∧a得证。 (2)由最小上界的定义有 (a∨b)∨c≥a∨b≥a (13.1) (a∨b)∨c≥a∨b≥b (13.2) (a∨b)∨c≥c (13.3) 由式13.2和13.3有 (a∨b)∨c≥b∨c (13.4) 再由式13.1和13.4有 (a∨b)∨c≥a∨(b∨c) 同理可证 (a∨b)∨c≤a∨(b∨c) 根据偏序关系的反对称性有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c) 由对偶原理，(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)得证。
定义11.8 设<L,∧,∨,0,1>是有界格，a∈L，
若存在b∈L 使得
a∧b＝0 和 a∨b＝1
说明 若b是a的补元，那么a也是b的补元。
成立，则称b是a的补元。
换句话说，a和b互为补元。
01
02
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有界格中的补元
考虑下图中的四个格。
例11.9
04
02
L1中的a与c互为补元，其中a为全下界，c为全上界，b没有补元。
说明 在格中分配不等式成立。
一般说来，格中的∨和∧运算并不是满足分配律的。
例11.5
偏序集构成格的条件：任意二元子集都有最大下界和最小上界。
01
格的实例：正整数的因子格，幂集格，子群格。
02
格的性质：对偶原理，格中算律（交换、结合、幂等、吸收），保序性，分配不等式。
03
格作为代数系统的定义。
格的运算性质
定理11.1 设<L,≤>是格，则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即 (1)交换律 a,b∈L 有 a∨b＝b∨a a∧b＝b∧a (2)结合律 a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c) (a∧b)∧c＝a∧(b∧c) (3)幂等律 a∈L 有 a∨a＝a a∧a＝a (4)吸收律 a,b∈L 有 a∨(a∧b)＝a a∧(a∨b)＝a
例11.7
定理11.5 设L是格，则L是分配格当且仅当L中不含有与钻石格或五角格同构的子格。
证明 略。 推论 (1) 小于五元的格都是分配格。 任何一条链都是分配格。
1
2
分配格的判别
例11.8
说明下图中的格是否为分配格，为什么？
定义11.6 设L是格，
01
若存在a∈L使得x∈L有a≤x，则称a为L的全下界；
因此， a∧c≤b∧d。
证明 a∧c≤a≤b a∧c≤c≤d
同理可证 a∨c≤b∨d。
2
3
4
1
格的性质
例11.5 设L是格，证明 a,b,c∈L 有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
证明 由 a≤a，b∧c≤b 得 a∨(b∧c)≤a∨b
由 a≤a，b∧c≤c 得 a∨(b∧c)≤a∨c
从而得到 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
说明 通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义。
定理11.2
定理11.2
a∈S，由吸收律得
(1)证明在S中*和运算都适合幂等律。
a*a
＝ a*(a(a*a))
＝ a
同理有 aa＝a。
(2)在S上定义二元关系R，
a,b∈S 有
<a,b>∈R ab＝b
下面证明R在S上的偏序。
根据幂等律，
a∈S都有aa＝a，
例11.3 设G是群，L(G)是G的所有子群的集合。即
L(G)＝{ H|H≤G }
对任意的H1,H2∈L(G)，H1∩H2也是G的子群，而<H1∪H2>是由H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小的子群）。
在L(G)上定义包含关系，则L(G)关于包含关系构成一个格，称为G的子群格。
易见在L(G)中，H1∧H2就是H1∩H2，H1∨H2就是<H1∪H2>。
例11.3
对偶原理
定义11.2 设f是含有格中元素以及符号＝、≤、≥、∨和∧的命题。令f*是将f中的≤替换成≥，≥替换成≤，∨替换成∧，∧替换成∨所得到的命题。称f*为f的对偶命题。 例如 在格中令f是(a∨b)∧c≤c，则f*是(a∧b)∨c≥c。 格的对偶原理 设f是含有格中元素以及符号＝、≤、≥、∨和∧的命题。若f对一切格为真，则f的对偶命题f*也对一切格为真。 例如 对一切格L都有 a,b∈L，a∧b≤a (因为a和b的交是a的一个下界) 那么对一切格L都有 a,b∈L，a∨b≥a 说明 许多格的性质都是互为对偶命题的。 有了格的对偶原理，在证明格的性质时， 只须证明其中的一个命题即可。
11.2 分配格、有补格与布尔代数
一般说来，格中运算∨对∧满足分配不等式， 即a,b,c∈L，有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 但是不一定满足分配律。满足分配律的格称为分配格。 定义11.5 设<L,∧,∨>是格，若a,b,c∈L，有 a∧(b∨c)＝(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)＝(a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格。 说明 上面两个等式互为对偶式。 在证明L为分配格时，只须证明其中的一个等式即可。
格的实例
例11.2
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例11.2
解答 (1)是格。 x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y。 由于∪和∩运算在P(B)上是封闭的，所以x∪y，x∩y∈P(B)。 称<P(B), >,为B的幂集格。 (2)是格。 x,y∈Z,x∨y＝max(x,y)，x∧y＝min(x,y)，它们都是整数。 (3)都不是格。 (a)中的{a,b}没有最大下界。 (b)中的{b,d}有两个上界c和e,但没有最小上界。 (c)中的{b,c}有三个上界d,e,f,但没有最小上界。 (d)中的{a,g}没有最大下界。
02
若存在b∈L使得x∈L有x≤b，则称b为L的全上界。
03
命题 格L若存在全下界或全上界，一定是唯一的。
04
证明 以全下界为例，假若a1和a2都是格L的全下界,
05
则有a1≤a2和a2≤a1。
06
根据偏序关系的反对称性必有a1＝a2。
07
记法 将格L的全下界记为0，全上界记为1。
08
格的全下界和全上界
证明 假设c∈L也是a的补元，则有 a∨c＝1，a∧c＝0
又知b是a的补元，故 a∨b＝1，a∧b＝0
从而得到 a∨c＝a∨b，a∧c＝a∧b
由于L是分配格，根据定理13.7，b＝c。
有界分配格中补元的唯一性
有补格的定义
定义11.9 设<L,∧,∨,0,1>是有界格，若L中所有元素都有补元存在，则称L为有补格。 L2,L3和L4是有补格， L1不是有补格。 L2和L3是有补格， L1不是有补格。
综上所述，R为S上的偏序。
以下把R记作≤。
定理11.2
定理11.2
(3) 证明<S，≤>构成格。 即证明a∨b＝ab，a∧b＝a*b 。
a,b∈S 有
a(ab)＝(aa)b＝ab
b(ab)＝a(bb)＝ab
根据≤的定义有 a≤ab和b≤ab，
所以ab是{a,b}的上界。
假设 c为{a,b}的上界，
由反对称性得a∧b＝a。
再证 a∧b＝a a∨b＝b。
根据吸收律有 b＝b∨(b∧a)
由a∧b＝a得 b＝b∨a, 即a∨b＝b。
最后证a∨b＝b a≤b。
由a≤a∨b得 a≤a∨b＝b。
格的性质
定理11.4 设L是格，a,b,c,d∈L，若a≤b且c≤d，则 a∧c≤b∧d， a∨c≤b∨d