平桥区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

平桥区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．
双曲线的渐近线方程是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
3． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足
*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 4． 数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ） A ．
B ．20
C ．21
D ．31
5． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为
（，
﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1
，则
cos
2
﹣
sin
cos
﹣
的值为（ ）
A
． B
． C
．﹣ D
．﹣
6． 设命题p ：函数y=sin （
2x+
）的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
7． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1
()1e x
f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ．－1 B ．
1
2
C ．1 D
【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
8． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）
A ．16cm B
． C
． D ．26cm
9． 已知函数f （x ）=2x
﹣
+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等
差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f ′（x 0）＜0
B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
10
．已知向量=（1，1，0
），=（﹣1，0，2）且
k
+与
2
﹣互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1
B
．
C
．
D
．
11．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
0330
33y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
12．已知是虚数单位，若复数22ai
Z i
+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）
A ．-2
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
13．已知（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=．
14．不等式的解集为R，则实数m的范围是
．
15．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为．
17．已知函数，则__________；的最小值为__________．
18．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
三、解答题
19．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求
实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
20．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．
21．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．
（1）求p的值及数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=，证明b n≤．
22f x =sin ωx+φω00φ2π
（2）求函数g （x ）=f （x ）+
sin2x 的单调递增区间．
23．已知函数f （x ）=lnx ﹣kx+1（k ∈R ）．
（Ⅰ）若x 轴是曲线f （x ）=lnx ﹣kx+1一条切线，求k 的值； （Ⅱ）若f （x ）≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围．
24．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆2
2:14
x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，
（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求线段MN 的长的最小值；
（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
平桥区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．2．【答案】D
【解析】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；
选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．
故选D
3．【答案】A.
【解析】
4．【答案】C
【解析】解：由a n+1=a n+2n，得a n+1﹣a n=2n，又a1=1，
∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1
=2（4+3+2+1）+1=21．
故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
5．【答案】A
【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，
∴sin（﹣α）=．
∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=cos cos（﹣α）+sin sin（﹣α）
=+=，
∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sin cos（﹣α）﹣cos sin（﹣α）
=﹣=．
∴cos
2﹣
sin
cos
﹣
=（2cos
2
﹣1
）﹣sin α
=cos α
﹣sin α
=
﹣
=
，
故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
6． 【答案】C
【解析】解：函数y=sin （
2x+
）的图象向左平移个单位长度得到y=sin （
2x+）的图象，
当x=0时，
y=sin
=，不是最值，故函数图象不关于y 轴对称，
故命题p 为假命题；
函数y=|2x
﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q 为假命题； 则￢q 为真命题； p ∨q 为假命题； p ∧q 为假命题， 故只有C 判断错误， 故选：C
7． 【答案】C
【解析】令()()()()1
11e
x g x f x kx k x =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1
1
11101e k g k -⎛⎫
=-+< ⎪-⎝⎭
．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没
有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()1
0e
x g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．
8． 【答案】D 【解析】
考点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），
∴，
∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．
∵，
∴，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x0＞a，
又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
10．【答案】D
【解析】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
11．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
12．【答案】A
【解析】
试题分析：
()()
()()
22
24(22)
2225
ai i
ai a a i
i i i
+-
+++-
==
++-
，对应点在第四象限，故
40
220
a
a
+>
⎧
⎨
-<
⎩
，A选项正确.
考点：复数运算．二、填空题13．【答案】5．
【解析】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利
用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．
14．【答案】．
【解析】解：不等式，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
15．【答案】﹣5．
【解析】解：求导得：f′（x）=3ax2+2bx+c，结合图象可得
x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0，
故，解得
故==﹣5
故答案为：﹣5
16．【答案】A．
【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故的最小值为
故答案为：
18．【答案】充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，
∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），
若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…
当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，
f′（x）=﹣2x﹣1=﹣．
令f′（x）=0，解得x=．…
当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…
（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，
所以k=F′（x0）=≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…
所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…
当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…
（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+，…
设g（x）=1+，则g′（x）=．…
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，…1 0分
∴g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，…
所以m=1+，或1≤m＜1+．…
20．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=CM，CM⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，
∴EM2+MC2=EC2，
∴CM⊥EM；
（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，则MC与平面EAC所成的角为45°．
21．【答案】
【解析】（1）解：∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+p•3n（n∈N*，p为常数），
∴a2=3+3p，a3=3+12p，
∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a n+1=a n+p•3n，
∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•32，…，a n﹣a n﹣1=2•3n﹣1，
将这些式子全加起来得
a n﹣a1=3n﹣3，
∴a n=3n．
（2）证明：∵{b n}满足b n=，∴b n=．
设f（x）=，则f′（x）=，x∈N*，
令f′（x）=0，得x=∈（1，2）
当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
且f（1）=，f（2）=，
∴f（x）max=f（2）=，x∈N*．
∴b n≤．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
22．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2（﹣0）=π．
所以ω==2，由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=．
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+）=cos2x…6分
（2）g（x）=f（x）+sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2k≤2x+≤2k，k∈Z则得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z
故函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间是：，k∈Z…12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）
=﹣k=0， ∴
x=，
由
ln ﹣1+1=0，可得k=1；
（2）当k ≤0时，f ′（x ）
=﹣k ＞0，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；
当k ＞0时，若x ∈（0
，）时，有f ′（x ）＞0，若x ∈
（，+∞）时，有f ′（x ）＜0， 则f （x ）在（0
，
）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． k ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数， 而f （1）=1﹣k ＞0，f （x ）≤0不成立，故k ＞0， ∵f （x ）的最大值为f
（），要使f （x ）≤0恒成立， 则f
（）≤0即可，即﹣lnk ≤0，得k ≥1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
24．【答案】
【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，
∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=
，BP 的斜率020
1
y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有2
00012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-.
（4分）。