数列的概念经典试题(含答案) 百度文库

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一、数列的概念选择题
1.已知等差数列{}n a 中,13920a a a ++=,则574a a -=( )
A .30
B .20
C .40
D .50
2.在数列{}n a 中,11a =,11n n a a n +=++,设数列1n a ⎧⎫

⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ,若n S m <对一切正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .()3,+∞ B .[
)3,+∞
C .()2,+∞
D .[)2,+∞
3.已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-,则10a =( )
A .35
B .40
C .45
D .50
4.设{}n a 是等差数列,且公差不为零,其前n 项和为n S .则“*n N ∀∈,1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
5.
已知数列,21,
n -21是这个数列的( )
A .第10项
B .第11项
C .第12项
D .第21项
6.已知数列{}n a 的通项公式为23n
n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则数列{}n a 中的最大项为( ) A .
89
B .
23
C .
6481
D .
125
243
7.数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是( ) A .
21n
n + B .
23
n
n + C .
23
n
n - D .
21
n
n - 8.已知数列{}n a 满足11a =,()*11
n
n n a a n N a +=∈+,则2020a =( ) A .
1
2018
B .
1
2019 C .
1
2020
D .
1
2021
9.在数列{}n a 中,11a =,20192019a =,且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+,则下列结论正确的是( )
A .存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a n ≤.
B .存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a n ≥.
C .对常数M ,一定存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a M ≤.
D .对常数M ,一定存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a M ≥. 10.已知数列{}n a 满足()()*
6
22,6,6
n n p n n a n p
n -⎧--≤=∈⎨
>⎩N ,且对任意的*
n ∈N 都有
1n n a a +>,则实数p 的取值范围是( )
A .71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .101,
7⎛⎫
⎪⎝⎭
C .()1,2
D .10,27⎛⎫
⎪⎝⎭
11.数列{}n a 满足:12a =,111n
n n
a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ,则2018T =( ) A .6-
B .1
6-
C .
16
D .6
12.已知数列{}n a 的首项为1,第2项为3,前n 项和为n S ,当整数1n >时,
1
1
12()n
n
n S S S S 恒成立,则15S 等于( )
A .210
B .211
C .224
D .225
13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .174
B .184
C .188
D .160
14.已知数列{}n a 的首项为2,且数列{}n a 满足11
1
n n n a a a +-=+,数列{}n a 的前n 项的和为n S ,则1008S 等于( ) A .504
B .294
C .294-
D .504-
15.已知数列{}n a 满足11a =,12
2
n n a a n n
+=++,则10a =( ) A .
259
B .
145 C .
3111
D .
176
16.已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =,则{}n a 的前2021项之积为( ) A .
23
B .
13
C .2-
D .3-
17.数列1111
,,,
57911
--,…的通项公式可能是n a =( ) A .1(1)32
n n --+
B .(1)32
n n -+
C .1(1)23
n n --+
D .(1)23
n
n -+
18.设数列{}n a的通项公式为
2 n
n
a
n
+
=,要使它的前n项的乘积大于36,则n的最小值
为()
A.6 B.7 C.8 D.9
19.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…满足21(1),
n n n
a a a n
++
=+≥那么
2462020
1a a a a
+++++=()
A.2021
a B.
2022
a C.
2023
a D.
2024
a
20.在数列{}n a中,
()
1
1
1
1,1(2)
n
n
n
a a n
a
-
-
==+≥,则5a等于
A.
3
2
B.
5
3
C.
8
5
D.
2
3
二、多选题
21.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N*),数列{a n}满足a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2 (n≥3).再将扇形面积设为b n (n∈N*),则()
A.4(b2020-b2019)=πa2018·a2021B.a1+a2+a3+…+a2019=a2021-1
C.a12+a22+a32…+(a2020)2=2a2019·a2021D.a2019·a2021-(a2020)2+a2018·a2020-(a2019)2=0 22.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a称为“斐波那契数列”,记S n为数列{}n a的前n项和,则下列结论正确的是
()
A.68
a=B.
7
33
S=
C.135********
a a a a a
++++=D.
222
122019
2020
2019
a a a
a
a
+++
=
23.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且2
3n n n S a +=,则1
n n a a -的值不可能为
( ) A .2
B .5
C .3
D .4
24.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,66771
1,
01
a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<
B .681a a >
C .n S 的最大值为7S
D .n T 的最大值为6T
25.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n
a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )
A .2-
B .
2
3 C .
32
D .3
26.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .911a a = C .当9n =或10时,n S 取得最大值
D .613S S =
27.设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是
( )
A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B .若2
n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列
C .若()11n
n S =--,则{}n a 是等比数列
D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
28.已知数列{}2n
n
a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6
D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列
29.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减
D .数列{}n S 有最大值
30.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <
B .70a =
C .95S S >
D .170S <
31.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且
32019
11
111
a a e e +≤++,则( )
A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥
B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤
C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T >
D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <
32.在数列{}n a 中,若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 33.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*
n N ∈,公差0d ≠,6
90S
=,7a 是3a 与9
a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-
B .1
20a =-
C .当且仅当10n =时,n S 取最大值
D .当0n
S <时,n 的最小值为22
34.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-
B .23n a n =+
C .2
23n S n n =-
D .2
4n S n n =+
35.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0
B .10S 最小
C .712S S =
D .190S =
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】
由13920a a a ++=,得131020a d +=,
则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选:B. 【点睛】
考查等差数列通项公式的运用,知识点较为简单.
2.D
解析:D 【分析】
利用累加法求出数列{}n a 的通项公式,并利用裂项相消法求出n S ,求出n S 的取值范围,进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】
11n n a a n +=++,11n n a a n +∴-=+且11a =,
由累加法可得
()()()()12132111232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=

()122211
n a n n n n ∴
==-++,2222
2222222311n S n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
, 由于n S m <对一切正整数n 恒成立,2m ∴≥,因此,实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选:D. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解,同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法,考查计算能力,属于中等题.
3.A
解析:A 【分析】
利用()n n n a S S n 12-=-,根据题目已知条件求出数列的通项公式,问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时,1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n )=-----=45n
1n = 时满足11a S = ∴ =45n a n ,∴ 10a =35
故选:A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤:
(1)先利用11a S =求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用()n n n a S S n 12-=-便可求出当n 2
≥时n a 的表达式.
(3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合n 2≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与n 2≥两段来写. .
4.A
解析:A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】
{}n a 是等差数列,且公差d 不为零,其前n 项和为n S ,
充分性:
1n n S S +>,则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立,则20a >,
0d ≠,若0d <,则数列{}n a 为单调递减数列,则必存在k *∈N ,使得当n k >时,
10n a +<,则1n n S S +<,不合乎题意;
若0d >,由20a >且数列{}n a 为单调递增数列,则对任意的n *∈N ,10n a +>,合乎题意.
所以,“*n N ∀∈,1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”;
必要性:设10n a n =-,当8n ≤时,190n a n +=-<,此时,1n n S S +<,但数列{}n a 是递增数列.
所以,“*n N ∀∈,1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.
因此,“*n N ∀∈,1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键,属于中等题.
5.B
解析:B 【分析】
根据题中所给的通项公式,令2121n -=,求得n =11,得到结果. 【详解】
令2121n -=,解得n =11是这个数列的第11项. 故选:B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有判断数列的项,属于基础题目.
6.A
解析:A 【分析】
由12233n
n n n a a +-⎛⎫
-=⋅ ⎪⎝⎭
,当n <2时,a n +1-a n >0,当n <2时,a n +1-a n >0,从而可得
到n =2时,a n 最大. 【详解】
解:1
12222(1)3333n n
n
n n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭, 当n <2时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ;
当n =2时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >2时,a n +1-a n <0,即a n +1<a n . 所以a 1<a 2=a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,
所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3,且2328
239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
.
故选:A . 【点睛】
此题考查数列的函数性质:最值问题,属于基础题.
7.D
解析:D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列,分子是自然数列,故通项公式为21
n n
a n =-. 故选:D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式,属于基础题.
8.C
解析:C 【分析】
根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化,构造等差数列,结合等差数列的性质求出通项公式即可. 【详解】 解:
11
n
n n a a a +=
+, ∴两边同时取倒数得
11111n n n n
a a a a ++==+,

1111n n
a a ,
即数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差1d =的等差数列,首项为
1
11a .
则1
1(1)1n
n n a =+-⨯=, 得1n a n
=
, 则20201
2020
a =
, 故选:C 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解,结合数列递推关系,利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键.考查学生的运算和转化能力,属于基础题.
9.A
解析:A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中,11a =,20192019a =,且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+,
121n n n n a a a a +++∴≥--,
设1n n n d a a +=-,则1n n d d +≥,
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ,由11a =,20192019a =, 则201911220182019a a d d d =+++=,
所以1220182018d d d ++
+=,又1232018d d d d ≥≥≥
≥,
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥,
故120181d d ≥≥,2018n ∴≥时,1n d ≤,
02019N ∃=,2019n >时, 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ,当0n N >时,都有n a n ≤,故A 正确;
结合A ,故B 不正确;
对于C ,当n →+∞,且0n d >时,数列{}n a 为递增数列, 则n a 无最大值,故C 不正确;
对于D ,由数列{}n d 是递减数列,当存在0n d <时,则n a 无最小值,故D 不正确; 故选:A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式,属于基础题.
10.D
解析:D 【分析】
根据题意,得到数列是增数列,结合通项公式,列出不等式组求解,即可得出结果. 【详解】
因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>, 则数列{}n a 单调递增; 又()()*
6
22,6,6
n n p n n a n p
n -⎧--≤=∈⎨
>⎩N ,
所以只需6
7201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩,即21106p p p p
<⎧⎪
>⎨⎪-<⎩,解得1027p <<. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查由数列的单调性求参数,属于基础题型.
11.A
解析:A 【分析】
根据递推公式推导出(
)4n n a a n N *
+=∈,且有1234
1a a a a
=,再利用数列的周期性可计算
出2018T 的值. 【详解】
12a =,()*111++=
∈-n
n n a a n N a ,212312a +∴==--,3131132
a -==-+,41
1121312a -
==+,5
1132113
a +
==-,()4n n a a n N *+∴=∈,且()123411
23123
a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭,
201845042=⨯+,因此,()504
2018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.
故选:A. 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用,涉及数列周期性的应用,考查计算能力,属于中等题.
12.D
解析:D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==,说明数列是等差数列,然后求解数列的和即可. 【详解】 解:结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知,11122n n n S S S a +-+-=,
得到1122n n a a a +-==,故数列{}n a 为首项为1,公差为2的等差数列,则12(1)21n a n n =+-=-,所以1529a =,
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==, 故选:D . 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用,考查数列求和,是基本知识的考查.
13.A
解析:A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--,利用累加法求得19a . 【详解】 依题意:
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以11n n n a a -=--(2n ≥),且13a =,
所以()()()
112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选:A 【点睛】
本小题主要考查累加法,属于中档题.
14.C
解析:C 【分析】
根据递推公式,算出数列前4项,确定数列周期,即可求出结果. 【详解】
∵12a =,111n n n a a a +-=+,∴213a =,311131213a -==-+,41123112
a --==--+, 又12
11
1
111
1111
n n n n n n n n a a a a a a a a +++---+===--+++,所以42
1n n n a a a ++=-
=, ∴数列{}n a 的周期为4,且123476
a a a a +++=-, ∵10084252÷=,∴100872522946S ⎛⎫
=⨯-=- ⎪⎝⎭
. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查数列周期性的应用,属于常考题型.
15.B
解析:B 【分析】 由12
2n n a a n n +=++转化为11
121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭
,利用叠加法,求得23n a n =-,即可求解. 【详解】
由122n n a a n n +=++,可得121
12(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭

所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+
+-+
11111
111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
122113n n ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭

所以102143105
a =-=. 故选:B. 【点睛】
数列的通项公式的常见求法:
1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;
2、对于递推关系式可转化为
1
()n n
a f n a +=的数列,并且容易求数列{()}f n 前n 项积时,通常采用累乘法求其通项公式; 3、对于递推关系式形如1
n n a pa q +=+的数列,可采用构造法求解数列的通项公式.
16.B
解析:B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+,且113
a =,可得:111n n n a a a ++=-,可得其周期性,进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =, 所以111n
n n
a a a ++=
-, 21
132113
a +
∴==-,33a =-,412a =-,513a =,⋯⋯, 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=⨯=.
故选:B 【点睛】
方法点睛:已知递推关系式求通项:(1)用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.(2)通过具体的前几项找到其规律,如周期性等求解.
17.D
解析:D 【分析】
根据观察法,即可得出数列的通项公式. 【详解】
因为数列1111
,,,
, (57911)
--可写成 ()()()()234
2322311111,1,1,12,..24.333
-⨯
-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯,
所以其通项公式为(1)(1)23213
n
n
n a n n -=-=
++⨯. 故选:D.
18.C
解析:C 【分析】
先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ,令0n D >解不等式,结合*n N ∈,即可求解. 【详解】
记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ,则
()()12
11245
1232312
n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯

⨯=- 依题意有
()()12362
n n ++>
整理得()()2
3707100n n n n +-=-+> 解得:7n >,
因为*n N ∈,所以min 8n =, 故选:C
19.A
解析:A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选:A
20.D
解析:D 【解析】
分析:已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====,,,. 详解:已知1a 逐一求解234512
2323
a a a a ==
==,,,.故选D 点睛:对于含有()1n
-的数列,我们看作摆动数列,往往逐一列举出来观察前面有限项的规律.
二、多选题
21.ABD 【分析】
对于A ,由题意得bn =an2,然后化简4(b2020-b2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{an}满足a1=a2=1,an =an -1+an -2 (n≥3
解析:ABD 【分析】
对于A ,由题意得b n =
4
πa n 2
,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】
由题意得b n =
4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4π
a 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·
a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;
数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n
-1
2
=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+
(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;
由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·
a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题
22.ABD 【分析】
根据,,,计算可知正确;根据,,,,,,累加可知不正确;根据,,,,,,累加可知正确. 【详解】
依题意可知,,,, ,,,,故正确; ,所以,故正确; 由,,,,,,
可得,故不
解析:ABD 【分析】
根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,
342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正
确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,
,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,
312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;
由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,
故C 不正确;
2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,
,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =,
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题.
23.BD 【分析】
利用递推关系可得,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵,
∴时,, 化为:,
由于数列单调递减, 可得:时,取得最大值2. ∴的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】 本
解析:BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵2
3
n n n S a +=
, ∴2n ≥时,1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-, 化为:112
111
n n a n a n n -+==+--, 由于数列21n ⎧⎫

⎬-⎩⎭
单调递减, 可得:2n =时,
2
1
n -取得最大值2. ∴1
n n a a -的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
24.AD 【分析】
分类讨论大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得,则的最大值为.
B ,
C ,错误. 故选:AD. 【点睛】
解析:AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .
∴B ,C ,错误.
故选:AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1
*
1n n a a q
n N -=∈.
25.BD 【分析】
根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】 因为数列满足,, ; ; ;
数列是周期为3的数列,且前3项为,,3; 故选:. 【点睛】 本题主要
解析:BD 【分析】
根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】
因为数列{}n a 满足112a =-
,111n n
a a +=-,
212131()
2
a ∴=
=
--;
32
1
31a a =
=-; 41311
12
a a a =
=-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-
,2
3
,3; 故选:BD . 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.
26.ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】
∵等差数列的前项和为,, ∴,解得, 故,故A 正确;
∵,,故有,故B 正确; 该数
解析:ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=, ∴()11187
5282
a a d a d ⨯++=+
,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;
∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119
2
22
n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,
故C 错误;
由于61656392S a d d ⨯=+=-,1311312
13392
S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】
思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果.
27.BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列,当时不是等比数列,故错; 选项B: ,,得是等差数列,故对; 选项C: ,,当时也成立,是等比数列
解析:BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;
选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈是等差数
列,故对; 故选:BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
28.ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】
因为,,所以a1=3,an =[1+(n-1)d](n+2n).若d =1,则an =n(n+2n);若d =0,则a2=
解析:ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】
因为
1
112a =+,1(1)2
n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得1
5
d =-. 故选ACD
29.ABD 【分析】
由可判断AB ,再由a1>0,d <0,可知等差数列数列先正后负,可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得,所以数列单调递减,A 正确; 由数列单调递减,可知数列有最大值a1,故B 正
解析:ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;
由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD.
30.ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】
由,可得,故B 正确; 由,可得, 由,可得,
所以,故等差数列是递减数列,即,故A 正确; 又,所以,故C 不正确
解析:ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】
由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确;
由56S S <,可得6560S S a -=>, 由78S S >,可得8780S S a -=<,
所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确; 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <, 所以()
117179171702
a a S a +=
=<,故D 正确.
故选:ABD. 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及
()
12
n n n a a S +=
,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题.
31.AC 【分析】
将变形为,构造函数,利用函数单调性可得,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由,可得,令, ,
所以是奇函数,且在上单调递减,所以, 所以当数列为等差数列时,;
解析:AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为320191111
01212
a a e e -+-≤++,构造函数()11
12
x
f x e =
-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由
3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()11
12
x f x e =-+, ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,
所以()11
12
x
f x e =
-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()
320192*********
a a S +=
≥;
当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021
202110110T a =>.
故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题
32.BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若是等差数列,如,
则不是常数,故不是等方差数列,故A 错误; 对于B ,数列中,是常数, 是等方差数
解析:BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,
则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}
n a 不是等方差数列,故A 错误;
对于B ,数列
(){}1n
-中,222121
[(1)][(1)]0n n n n a
a ---=---=是常数, {(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;
对于C ,数列{}n a 中的项列举出来是,1a ,2a ,,k a ,,2k a ,
数列{}kn a 中的项列举出来是,k a ,2k a ,3k a ,

()(
)()()
22222222
12132221k k k k k k k k a
a a a a a a a p +++++--=-=-==-=,将这k 个式子累加得()()()()
22
222
2221
2
1
3
2
221k k
k k k k k k a
a a a a a a a kp +++++--+-+-+
+-=,222k k a a kp ∴-=,
()
221kn k n a a kp +∴-=,{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列,故C 正确; 对于D ,
{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列,
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,22
10n n a a --=是常数,故D 正确.
故选:BCD. 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题.
33.AD 【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由解不等式可判断D . 【详解】
等差数列的前n 项和为,公差,由,可
解析:AD 【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即
12530a d +=,①
由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2
739a a a =,即()()()2
111628a d a d a d +=++,化为
1100a d +=,②
由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,
21
(20222)212
n S n n n n =+-=-,
由2
2144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2
102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.
故选:AD 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
34.AC 【分析】
由求出,再由可得公差为,从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】
由题可知,,即,所以等差数列的公差,
故选:AC. 【点睛】
本题考查等差数列,考查运算求解能力.
解析:AC 【分析】
由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】
由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232
n n n S n n --==-.
故选:AC. 【点睛】
本题考查等差数列,考查运算求解能力.
35.ACD 【分析】
由得,故正确;当时,根据二次函数知识可知无最小值,故错误;根据等差数列的性质计算可知,故正确;根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得,故正确. 【详解】
因为,所以,所以,即
解析:ACD 【分析】
由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】
因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故
A 正确;
当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2
d
n n =-无最小值,故B 错误;
因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910
191902
a a S a
+⨯=
==,故D 正确.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.。

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