2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--2.3.3点到直线的距
离公式
2.3.4两条平行直线间的距离
基础过关练
题组一点到直线的距离
1.已知直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为 ()
A.1
B.2
C.√2
D.2√2
2.(2021山东菏泽郓城一中高二上第一次月考)已知点P(-2,3),点Q是直线
l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为()
A.2
B.9
5 C.8
5
D.7
5
3.(2021山东济宁实验中学高二月考)点P(-5,7)到直线12x+5y-1=0的距离
为.
4.(2021山东德州夏津一中高二上月考)已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为1
2
,则a=.
5.在直线x+3y=0上求一点P,使点P到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.
题组二两条平行直线间的距离
6.(2021江西南昌二中高二上月考)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为 ()
A.8
B.4
C.8
5 D.3
2
7.(2020浙江杭州高二上期末)已知P、Q分别为直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0上的两个动点,则线段PQ的长度的最小值为 ()
A.3
5 B.1 C.6
5
D.2
8.(2020重庆一中高二上期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2之间的距离为()
A.1
5B.√5
5
C.3
5
D.3√5
5
9.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.
题组三距离公式的综合应用
10.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()
A.3x-4y-11=0
B.3x-4y+9=0
C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0
D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0
11.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为()
A.(0,5]
B.(0,5)
C.(0,+∞)
D.(0,√17]
12.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
13.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
能力提升练
题组一点到直线的距离
1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是()
A.x+2y-5=0
B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0
D.x-2y+3=0
2.(多选)()已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为 ()
A.-6
B.1
C.-1
2D.1
2
3.(2020安徽合肥一中高二上期中,)点A(1,1)到直线x cos θ+y sin θ-2=0的距离的最大值是.
题组二两条平行直线间的距离
4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()
A.3√2
B.2√3
C.3√3
D.4√2
5.(2019河北衡水冀州中学高一月考,)已知三条直线
l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:(1)P是第一象限的点;(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的
1
2
;(3)P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是√2∶√5?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.
题组三距离公式的综合应用
6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直
线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B(3
2,1
2
),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为
()
A.√130
2B.√13+3√2
2
C.√13
D.3√2
7.(多选)(2021山东德州夏津一中高二上月考,)已知直线l的一个方向向量为
u=(-√3
6,1
2
),且l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是()
A.l的倾斜角等于150°
B.l在x轴上的截距等于2√3
3
C.l与直线√3x-3y+2=0垂直
D.l上不存在与原点距离等于1
8
的点
8.(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)证明:直线恒过定点P;
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少?
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
答案全解全析基础过关练
1.C由已知得,k l
1=-a,k l
2
=1,∵l1⊥l2,
∴-a×1=-1,解得a=1.
此时直线l1的方程为x+y-1=0,
∴点(1,2)到直线l1的距离d=|1+2-1|
√12+12
=√2,故选C.
2.B由题意得|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,∴|PQ|min=
√9+16=9
5
.
故选B.
3.答案 2
解析点P到直线的距离d=|12×(-5)+5×7-1|
√122+52
=2.
4.答案±√3
3
解析由点到直线的距离公式得|3+a-3|
√1+a2=1
2
,解得a=±√3
3
.
5.解析由题意可设P(-3y0,y0),则√9y02+y02=00
√12+32
,
即√10|y0|=
√10∴y0=±1
5
.故点P的坐标为(-3
5
,1
5
)或(3
5
,-1
5
).
6.D易得l1∥l2,
所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1|
√62+82=3
2
,故选D.
7.B由直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0,可得直线l1与l2平行.
当PQ的长度为两平行线间的距离时,线段PQ的长度最小,
则l1与l2之间的距离为
√32+42
=1,故线段PQ的长度的最小值为1.故选B.
8.D由l1∥l2得,a=-1
2
,因此l1:2x−y−2=0,∴l1与l2之间的距离d=
|-2-1|√22+(-1)2=
√5
=3√5
5
,故选D.
9.解析①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,
则l 1的斜截式方程为y =kx +1,即kx -y +1=0,l 2的点斜式方程为y =k (x -5),即
kx -y -5k =0,
因为直线l 1过点A (0,1),所以点A 到直线l 2的距离d =√k 2+(-1)2
=5,
所以25k 2+10k +1=25k 2+25,解得k =12
5,
所以l 1的方程为12x -5y +5=0,l 2的方程为12x -5y -60=0.
②若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x =0,l 2的方程为x =5,它们之间的距离为5,满足条件.
综上所述,满足条件的直线方程有两组:
l 1:12x -5y +5=0,l 2:12x -5y -60=0或l 1:x =0,l 2:x =5.
10.D 依题意知,所求点的轨迹为直线,且与已知直线3x -4y -1=0平行,设所求直线方程为3x -4y +C =0(C ≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得
√32+42
=
|C+1|5
=2,则C 1=-11或C 2=9,
故所求点的轨迹方程为3x -4y -11=0或3x -4y +9=0,故选D.
11.A 易知两直线之间的最大距离为P ,Q 两点间的距离,由两点间的距离公式得
|PQ |=√(2+1)2+(-1-3)2
=5.故l 1,l 2之间的距离d 的取值范围为(0,5].
12.C 由{x -2y +3=0,2x +3y -8=0,
得{x =1,
y =2,即直线l 过点Q (1,2).
因为|PQ |=√(1-0)2+(2-4)2
=√5>2,所以满足条件的直线l 有2条.故选C .
13.解析 (1)由题可知,直线BC 过点B (2,3),C (3,-2),∴方程为x -23-2
=
y -3
-2-3
,化简
得5x +y -13=0,∴直线BC 的方程为5x +y -13=0.
(2)由题可知|BC|=√(3-2)2+(-2-3)2=√26,A(1,1)到直线BC的距离d=
|5+1-13|√25+1=7√26
26
,∴S△ABC=1
2
·|BC|·d=1
2
×√26×7√26
26
=7
2
.
能力提升练
1.A根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-1
2
,所以所求直线方程为y−2=
−1
2
(x-1),即x+2y-5=0,故选A.
2.AD由题意得|3m+2+3|
√m2+1=|-m+4+3|
√m2+1
,解得m=−6或m=1
2
,故选AD.
3.答案2+√2
解析依题意得,点(1,1)到直线的距离d=
√cos2θ+sin2θ
=|cos θ+sin θ−2|=
|√2sin(θ+π
4
)-2|.
当sin(θ+π
4
)=−1时,dmax=|−√2-2|
=2+√2.
4.A由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线
的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|
√2=|c+5|
√2
即c=−6,
所以点M在直线x+y−6=0上,
所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y−6=0的距离,即|-6|
√2
= 3√2.
5.解析能.设存在满足条件的点P(x0,y0).
若点P满足条件(2),则有|2x0-y0
√22+(-1)2=1
2
·|-4x00
√(-4)2+22
,化简得2x0−y0+13
2
=
0或2x0−y0+11
6
=0.
若P 点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有00√22+(-1)2
=
√2√5
·00√12+12,
即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|, ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.
又P 是第一象限的点,∴3x 0+2=0不合题意,故舍去. 由{2x 0-y 0+13
2=0,
x 0-2y 0+4=0得{x 0=-3,y 0=12
,不合题意,故舍去.
由{2x 0-y 0+11
6=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=1
9
,
y 0=3718
.
∴P (19,37
18)为同时满足题中三个条件的点. 6.B 如图,由平行线间的距离公式得|PQ |=
3√22
.
过点A 作垂直于l 1的直线,并截取|AA'|=|PQ |. 设点A'(x 0,y 0),
则{x 0=-3+3√2
2×√2
2=-3
2
,
y 0=-3+3√22
×√2
2
=-32
.
因此,点A'(-32,-3
2
),则|A′B|=√13.
连接A'B ,A'Q ,则四边形AA'QP 是平行四边形, 故|AP |+|QB |=|A'Q |+|QB |≥|A'B |=√13.
因此,|AP |+|PQ |+|QB |≥
3√2
2
+√13.
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为3√2
2
+√13.
7.CD因为直线l的一个方向向量为u=(-√3
6,1
2 ),
所以直线l的斜率k=
1
2
-√3
6
=−√3,
设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°),
则tan α=-√3,所以α=120°,所以A错误;
因为l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-√3(x−1),令y=0,则x=−2√3
3
+1,
所以l在x轴上的截距为-2√3
3
+1,所以B错误;
直线√3x−3y+2=0的斜率为√3
3,直线l的斜率为−√3,因为−√3×√3
3
=−1,
所以l与直线√3x-3y+2=0垂直,所以C正确;
原点到直线l的距离d=|2-√3|
√12+(√3)=2-√3
2
>1
8
,
所以l上不存在与原点距离等于1
8
的点,所以D正确,故选CD.
8.解析(1)证明:直线方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,
整理得(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0,
因为对任意m等式恒成立,
所以{-x+2y+3=0,
2x+y+4=0,解得{
x=-1,
y=-2,所以直线恒过定点P(-1,-2).
(2)由题意得,点Q与定点P(-1,-2)的距离就是点Q到直线距离的最大值, 即√(-1-3)2+(-2-4)2=2√13.
因为k PQ=4-(-2)
3-(-1)=3
2
,
所以(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0的斜率为-2
3,可得−2
3
=−2-m
2m+1
,解得m=4
7
.
综上,当m=4
7
时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为2√13.
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,直线方程为y+2=k(x+1),k<0,
则A(2
k
-1,0),B(0,k-2),
所以S△AOB=1
2|2
k
-1||k-2|
=1 2(-2
k
+1)(−k+2)=2+(2
-k
+-k
2
)
≥2+2√2
-k ·-k
2
=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB的面积的最小值为4,此时
直线的方程为2x+y+4=0.。