上海宝山区2022届九年级初三数学一模试卷+答案

2022年上海市宝山区中考数学一模试卷
2022.1
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果
23a b =，且b 是a 和c 的比例中项，那么b
c 等于（）
A.
34
B.
43
C.
32 D.
23
2.在比例尺为1:5000的地图上，如果A B 、两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距
离是（
）
A.50000米
B.5000米
C.500米
D.50米
3.已知c 为非零向量，2,3a c b c ==-
，那么下列结论中，不正确的是（
）
A.23a b
= B.32
a b
=-
C.320
a b +=
D.a b
∥
4.如图，已知Rt ,ABC CD 是斜边AB 边上的高，那么下列结论正确的是
（
）
A.tan CD AB B =⋅
B.cot CD AD A =⋅
C.sin CD AC B
=⋅ D.cos CD BC A
=⋅5.把抛物线()2
13y x =-+向左平移2个单位长度，
平移后抛物线的表达式为（
）
A.()2
15y x =-+ B.()2
11
y x =-+C.()2
13
y x =++ D.()2
33
y x =-+6.下列格点三角形中，与右侧已知格点ABC 相似的是（
）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7.已知点B 在线段AC 上，2AB BC =，那么:AC AB 的比值是_________．8.如果
x y y -的值是黄金分割数，那么x
y
的值为_________．9.计算：22sin 30cos 45 ＋＝_________．10.在Rt ABC 中，90C ∠= ，如果3
4
AC BC =，那么sin A 的值是_________．11.已知二次函数2
113
y x x =
+-，当3x =-时，函数y 的值是_________．12.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y 万吨，
如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为(0)x x >，那么y 关于x 的函数解析式为_________．
13.如果抛物线221y x x m =++-的顶点在x 轴上，那么m 的值是_________．
14.已知ABC 的两条中线AD BE 、相交于点F 如果10AF ＝，那么AD 的长为
_________．
15.如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD 为3米，路基高为1米，
斜坡AB 的坡度1:1.5i =，那么路基的下底宽BC 是_________
米．
16.如图，已知一张三角形纸片,5,2,4ABC AB BC AC ===，点M 在AC 边上．如果过
点M 剪下一个与ABC 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM x =，那么x 的取值范围是_________．
17.如图，
在矩形ABCD 中，3,5AB BC ==，点P 在CD 边上，联结AP ．如果将ADP 沿直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么
ADP
ABCP
S S 四边形的值为_________．
18.如果一条抛物线()2
0y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，
那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知()2
>0y x bx b =+的“特征
三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为_________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）
如图，在ABC 中，5,6AB AC BC ===．（1）求tan B 的值；
（2）延长BC 至点D ，联结AD ，如果∠ADB ＝30°，求CD 的长．
20.（本题满分10分）
如图，已知在四边形ABCD 中，F 是边AD 上一点，2AF DF =，BF 交AC 于点E ，
又14
AF BC = ．
（1）设,AB a AD b == ，用向量a b 、表示向量BF
=
；AC =；（2）如果90,3,4ABC AD AB ︒∠===，求BE 的长．
21.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图像的顶点为()1,2A -，且经过()3,0B -．（1）求二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标．
如图，小杰在湖边高出水面MN 约10m 的平台A 处发现一架无人机停留在湖面上空的点P 处，该无人机在湖中的倒影为点P'，小杰在A 处测得点P 的仰角为45︒，点P'的俯角为60︒，求该无人机离开湖面的高度（结果保留根号）．
23.（本题满分12分）
如图，已知ABC 和DCE 都是等边三角形，点B C E 、、在同一直线上，联结BD 交
AC 边于点F ．
（1）如果ABD CAD ∠∠=，求证：2BF DF DB =⋅；
（2）如果2,18ABCD AF FC S ==四边形，求DCE S 的值．
已知在平面直角坐标系xOy 中，拋物线()2
0y ax bx c a =++≠经过点()1,0A -、
()()3,0,0,3B C ，顶点为点D ．
（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；
（2）联结BD CD 、，试判断BCD 与AOC 是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点P ，使得45PAC ∠= ．如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．
（1）求证：CE EF =；（2）联结CF ，如果
1
3
DP CF =，求ABP ∠的正切值；（3）联结AF ，如果2
2
AF AB =
，求n 的值．
2022年上海市宝山区中考数学一模试卷
答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.D
2.C
3.B
4.D
5.C
6.A
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.3:2##3
2
8.
512
+9.
3
4
##0.7510.4
5
##0.811.-112.()2
1001(0)y x x =+>13.2
14.1515.6
16.34
x ≤<17.
513
18.2
三、解答题：
19.【答案】（1）43
（2）3
【解析】
【分析】（1）作AD ⊥BC 于D ，利用等腰三角形的三线合一的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，再根据公式计算即可；
（2）由∠ADB ＝30°，AE =4，求出AD =2AE =8，利用勾股定理求出DE ，根据CD =DE-CE 求出数值．【小问1详解】解：作AE ⊥BC 于E ，
∵AB=AC ，BC =6，∴BE=CE =3，
∴4AE ==，
∴tan B=
4
3
AE BE =；【小问2详解】
解：∵∠ADB ＝30°，AE =4，
∴AD =2AE =8，
∴DE ==，
∴CD =DE-CE =3．
20.【答案】
（1）23b a - ,83
a b + （2）5
【解析】
【分析】（1）先用a 和b 表示出向量AF 和BC
，然后根据三角形法则计算即可；
（2）由14
AF BC = 可得AF //BC 、
1
4AF BC =,然后再根据平行线等分线段定理即可解答．【小问1详解】
解：∵2AF DF =，AD b =
∴23
AF b
= ∵14AF BC
= ∴843
BC AF b
== ∴23
BF BA AF AF AB b a
=+=-=-
83
AC AB BC a b =+=+ ．
【小问2详解】
解：∵14
AF BC
= ∴AF //BC 、
1
4
AF BC =∴
1
4
AE AF AB BC ==∴
1
4
AE AF AB BC ==，即AE =11
4AB =∴AE =AB +AE =4+1=5．21.【答案】（1）21322
y x x =--+（2）()
4,0【解析】
【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，然后用待定系数法求解即可；（2）根据题意设出平移后的表达式为()2
1122
y x m =-
+-+，将原点()0,0代入即可求出平
移后的表达式，当0y =时，即可求出与x 轴的另一个交点的坐标．【小问1详解】
解：设二次函数的表达式为：()()
2
102y a x a =+≠+将()3,0B -代入得：420a +=解得：12
a =-∴()2
1122y x =-
++，即21322
y x x =--+；【小问2详解】
解：设将该二次函数图像向右平移()>0m m 个单位，∴平移后的表达式为()2
1122
y x m =-
+-+，∵平移后所得图像经过坐标原点，∴将原点()0,0代入得，()2
100122m =-
+-+，即()21122
m -=，解得：123,1m m ==-(舍去)，∴3m =，
∴平移后的表达式为()2
1222
y x =--+，当0y =时，即()2
12202
x -
-+=，解得：120,4x x ==，
∴平移后所得图像与x 轴的交点坐标为()0,0和()4,0，∴平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标为()4,0．
22.【答案】20+【解析】
【分析】连接PP '，过点A 作AQ PP '⊥于点Q ，PP '交MN 于点B ，根据俯角与仰角求得45,60PAQ P AQ '∠=︒∠=︒，解直角三角形即可求得,AQ P Q '，根据轴对称的性质列出方程进而求得PQ ，根据PB PQ QB =+即可求得该无人机离开湖面的高度．【详解】如图，连接PP '，过点A 作AQ PP '⊥于点Q ，PP '交MN 于点B ,
45,60PAQ P AQ '∴∠=︒∠=︒，10AM QB ==，
设PQ x =,则tan PQ
AQ PQ x PAQ
=
==∠
，tan PQ AQ P AQ ''=⋅∠=
3x
= P 、P '关于MN 对称∴PB P B
'=即PQ QB P Q QB '+=-即1010
x +=-10x =+∴该无人机离开湖面的高度101020PB PQ QB =+=++=+23.【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【分析】（1）根据ASA 证明ACD ABF ≅ 得AD =BF ，再证明ADF BDA 得AD DF
BD AD
=，从而可得结论；
（2）证明DCF ABF 得
2BF AF
DF FC
==，设DCF S x ∆=，则可得2ADF S x ∆=，
4ABF S x ∆=，2BCF S x ∆=，根据18ABCD S =四边形可得关于x 的方程，求解即可．
【小问1详解】
∵,ABC DCE 均为等边三角形，
∴,60AB AC BAC ACB DCE =∠=∠=∠=︒∴18060ACD ACB DCE ∠=︒-∠-∠=︒∴BAC ACD ∠=∠在ABF 和CAD 中，
BAC ACD ABD CAD AB AC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABF ≅CAD ∴AD =BF
∵,ABD FAD ADB ADB ∠=∠∠=∠∴ADF BDA ∴
AD DF
BD AD
=，即2AD DF DB = ∵AD BF
=
∴2BF DF DB
=⋅【小问2详解】
∵,AFB DFC BAF DCF
∠=∠∠=∠∴DCF ABF
∴BF AF DF FC
=∵2,AF FC =∴
2BF AF DF FC ==∴2BF FD
=设DCF S x
∆=∵2ADF DCF S AF S FC
∆∆==∴2ADF S x
∆=同理可得，4ABF S x ∆=，2BCF S x ∆=，
∵18
ABCD S =四边形∴+++18DCF ADF ABF BCF S S S S ∆∆∆∆=，即24218
x x x x +++=解得，2
x =即DCF S △=2
24.【答案】
（1）2y x 2x 3=-++，顶点坐标为：()1,4D ；（2）~AOC DCB ，证明见解析；
（3）存在点P ，57,24P ⎛⎫
⎪⎝⎭，理由见解析．【解析】
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：()()13y a x x =+-，将点C 代入解得1a =-，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出AOC △的三边长，BCD △的三边长，由勾股定理逆定理可得BCD △为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P 使45PAC ∠=︒，作线段AC 的中垂线交AC 于点E ，交AP 于点F ，连接CF ，可得90FEA ∠=︒，13,22E ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，利用等腰直角三角形的性质可得AF FC =，
1
22
EF AC ==，再由勾股定理可得AF FC ==，设(),F x y ，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得34x y +=，同理可得
EF ==102，利用代入消元法解方程即可确定点F 的坐标，然后求出直线AF 的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
【小问1详解】
解：抛物线经过点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C ，
设抛物线解析式为：()()13y a x x =+-，
将点C 代入可得：()()30103a =+-，
解得：1a =-，
∴()()()22132314y x x x x x =-+-=-++=--+，
∴顶点坐标为：()1,4D ；
【小问2详解】
解：如图所示：
AOC △为直角三角形且三边长分别为：
1AO =
，3OC =，AC ==，
BCD △的三边长分别为：
BC ===，
CD =
=
，
BD ===
，
∴222BC CD BD +=，
∴BCD △为直角三角形，
∵CD BC BD AO OC AC
===∴~AOC DCB ；
【小问3详解】
解：设存在点P 使45PAC ∠=︒，作线段AC 的中垂线交AC 于点E ，交AP 于点F ，连接
CF ，如（2）中图：
∴90FEA ∠=︒，13,22E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，∵45PAC ∠=︒，
∴90AFC ∠=︒，
∴AFC △为等腰直角三角形，
∴AF FC =，122
EF AC ==，
∴222AF FC AC +=，即222AF AF +=
解得：AF =
，设(),F x y ，
∴AF =
CF =，∴()()222213x y x y ++=+-，
整理得：34x y +=①，
EF ==2，即22135222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭②，将①代入②整理得：2320y y -+=，
解得：11y =，22y =，
∴11x =，22x =-，
∴()1,1F 或()2,2F -（不符合题意舍去）
，∴()1,1F ，()1,0A -，
设直线FA 解析式为：()0y kx b k =+≠，将两个点代入可得：10k b k b =+⎧⎨=-+⎩
，
解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴1122
y x =+，∴联立两个函数得：2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩①②
，将①代入②得：2112322
x x x +=-++，整理得：22350x x --=，解得：11x =-，252x =
，当52x =时，74y =，∴57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．25.【答案】
（1）证明见解析；（2）23；（3）30
【解析】【分析】（1）作CG ⊥CE ，交FD 延长线于G 点，可根据题意得出四边形FECG 为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE ≌△DCG ，从而得到CE =CG ，即四边形FECG 为正方形，即可证得结论；
（2）在（1）的基础之上，连接CF ，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF 和△DFP 均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF 和EF 之间的关系，从而表示出BE 的长度，即可求出∠BCE 的正切值，再根据余角的关系证明∠ABP =∠BCE ，即可得出结论；
（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A 、C 、D 、F 四点共圆，即可得到在变化过程中，∠AFC 始终为90°，从而在Rt △ACF 中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．
【小问1详解】
证：如图所示，作CG ⊥CE ，交FD 延长线于G 点，
∵CE ⊥BP ，DF ⊥BP ，CG ⊥CE ，
∴∠EFG =∠FEC =∠ECG =∠BEC =90°，∴四边形FECG 为矩形，∠G =90°，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BCD =90°，BC =DC ，
∵∠BCD =∠BCE +∠ECD ，∠ECG =∠ECD +∠DCG ，∴∠BCE +∠ECD =∠ECD +∠DCG ，
即：∠BCE =∠DCG ，
在△BCE 和△DCG 中，
BEC G BCE DCG BC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BCE ≌△DCG (AAS )，
∴CE =CG ，
∴四边形FECG 为正方形，
∴CE =EF ；
【小问2详解】
解：如图所示，连接CF ，
由（1）知，CE =EF ，CE ⊥EF ，则△CEF 为等腰直角三角形，由旋转的性质得：∠PAD =n °，AP =AD ，∴∠PAB =90°+n °，∠APD =
12（180°-∠PAD ）=90°-12n °，∵AP =AB ，
∴∠APB =12（180°-∠PAB ）=45°-12
n °，∴∠FPD =∠APD -∠APB =45°，
∵DF ⊥AB ，
∴∠DFP =90°，
∴△DFP 也为等腰直角三角形，PF =DF ，∴△DFP ∽△CEF
，
∵13DP CF =，∴1
3PF DP
FE CF ==，
设PF =DF =x ，则FE =CE =3x ，由（1）知四边形CEFG 为正方形，∴FG =FE =3x ，
∴DG =FG -DF =2x ，
∵△BCE ≌△DCG ，
∴BE =DG =2x ，
∴在Rt △BEC 中，22
tan 33BE
x
BCE CE x ∠===，
∵∠ABP +∠EBC =90°，∠EBC +∠BCE =90°，∴∠ABP =∠BCE ，∴2
tan tan 3ABP BCE ∠=∠=；
【小问3详解】
解：∵090n <<，
∴如图所示，连接AF 和对角线AC ，由（2）可知，∠EFC =45°，∠EFD =90°，∴∠CFD =45°，
∵AC 为正方形ABCD 的对角线，
∴∠CAD =45°，AC AB ，∴∠CAD =∠CFD ，
∴点A 、C 、D 、F 四点共圆，∴∠AFC =∠ADC =90°，
∵AF =2AB ，
∴AF =1
2AC ，
则在Rt △AFC 中，1
sin 2AF ACF AC ∠==，
∵∠ACF为锐角，
∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，
∴∠FAD=60°-45°=15°，
∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，
∴△AFP≌△AFD，
∴∠FAD=∠FAP=15°，
∴∠PAD=30°，
∴n=30．。