2013沈阳市高一数学统考试题

2013年沈阳市高中一年级教学质量监测
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至6页. 满分150分. 考试时间为120分钟.
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号用2B 铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的）
1．若集合A={}|∈x y =
-x,x 2R ， B={}|∈x x <,x 4R 错误！未找到引用源。

，则A ，B 间的关系为（ ） A ．A ⊆B B ．B ⊆A
C ．A ⊆ðR B
D ．B ⊆ðR A 2．若过点()A -m 2,和()B m 4，的直线与直线2x+y-1=0平行，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．8-
C ．2
D ．10 3．在斜四棱柱的四个侧面中，矩形的个数最多有（ ）个
A ．1
B ．4
C ．3
D ．2 4．圆O 1∶x 2+y 2-2x=0与圆O 2∶x 2+y 2-4y=0的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
5．如果一个几何体的主（正）视图，左（侧）视图，俯视图都是全等的图形，那么称这个几何体为“完美几何体”. 在
下面选项中，可以由“完美几何体”组成的选项是（ ）
A ．正方体、球、侧棱两两垂直且相等的正三棱锥
B ．正方体、球、各棱长都相等的正三棱柱
C ．球、高和底面半径相等的圆柱、高和底面半径相等的圆锥
D ．正方体、正四棱台、棱长相等的平行六面体
6．若直线l 1∶(a-2)x+3y+a=0，l 2∶ax+(a-2)y-1=0相互垂直，错误！未找到引用源。

则实数a 的值为（ ）
A ．-3
B ．2或-3
C ．2
D ．-2或3
7．已知函数()31log 3-⎛⎫ ⎪⎝⎭
x
f x =x . 若实数x 0是函数()f x 的零点，且0＜x 1＜x 0，则()f x 1的值（ ） A ．恒为正 B ．等于零 C ．恒为负 D ．正负无法确定 8．已知圆锥的底面半径为2，高为6. 若一个高为3的圆柱内接于该圆锥，则此圆柱的侧面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
9．若函数≠a f x =x +x a >,a 2()l og (2)(01)在区间1(0,)2
内恒有f x >()0，则f (x)的单调增区间为（ ） A ．⎛⎫ ⎪⎝⎭1-∞,-4 B ．⎛⎫ ⎪⎝⎭1-,+∞4 C ．(0,+∞) D ．⎛⎫ ⎪⎝
⎭1-∞,-2
10．当a 为任意实数时，直线()a -x-y +a +11=0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程是为（ ）
A ．()()22115x y -+-=
B ．()()22115x y -++=
C ．()()22125x y ++-=
D ．()()22
125x y +++= 11．已知函数()f x 是定义在()()-∞,0∪0,+∞上的偶函数，且()f x 错误！未找到引用源。

在()-∞,0错误！未找到引
用源。

上是增函数. 若()f 2=0，则
()<xf x 10的解集为（ ） A. ()()-2,0∪0,2
B. ()()-∞,-2∪0,2错误！未找到引用源。

C. ()()-∞,-2∪2,+∞
D. ()()-2,0∪2,+∞错误！未找到引用源。

12．已知函数f (x)满足f (p+q)= f (p) f (q)，f (1)= 3，则
f f f 2(1)+(2)
(1)+2(2)+(4)(3)f f f +2(3)+(6)(5)f f f + 2(4)+(8)(7)f f f +2
(5)+(10)(9)
f f f 的值为（ ） A.15 B. 30 C. 75 D. 60
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中相应位置处）
13．已知函数()⎧⎪⎨⎪⎩22-1,<0=1-,>02
x x f x x x . 若()f x =4，则x= .
14．若过球面上三点A ，B ，C 的截面与球心O 的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm ，则该球的体积为 .
15．已知空间两点()()-3,-1,1,-2,2,3A B . 若Z 轴上有一点C ，它与A,B 两点的距离相等，则C 点的坐标为 .
16．若函数()()
x -x f x =e +e a 2l g +1是R 上的偶函数，则实数a= . 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)在△ABC 中，顶点()A 1,3，AB 边上中线所在直线方程为x-y+1=0，AC 边上中线所在的直线方程
为y-2=0，求△ABC 各边所在直线方程.
18．(本小题满分12分)函数()a x+b f x =x +2
21是定义在()-1,1上的奇函数，且⎛⎫ ⎪⎝⎭12=25f . （1）求实数a,b 的值；
（2）用定义证明函数()f x 在()-1,1上是增函数；
（3）解关于x 的不等式()()f x-+f x <10.
19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥S-ABC 中，SA ⊥AC ，AC ⊥BC ，M 为SB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正
三角形.
（1）求证：DM ∥平面SAC ；
（2）求证：平面SBC ⊥平面SAC ；
（3）若BC=4，SB=20，求三棱锥D-MBC 的体积.
20．(本小题满分12分)国务院“十二五”规划通知中强调节能减排，把能源消耗强度降低和主要污染物排放总量
减少确定为国民经济和社会发展的约束性指标. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米隔热层建造成本为6万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)之间满足关系
()()≤≤k
C x =x x+01035. 若不建隔热层，每年的能源消耗费用为8万元. 设()f x 为
隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）已知函数()g x a
=x+a x x (>0,>0)有如下性质：()g x 在(0,⎤⎦a 上为减函数，在)
,+∞⎡⎣a 为增函数. 请你结合此结论给出函数()f x 在定义域内的单调区间(不要求证明)，并指出当隔热层x 为多少时，函数()f x 取得
最小值，最小值是多少？
21．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为x +y +x-y+a 22224-1=0，A 点坐标()1,2，过点A 作圆C 的切线有两条.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）当过A 的两条切线互相垂直时，求实数a 的值及两条切线的方程.
22．(本小题满分12分)已知函数()f x =x 2
-1，()g x ||=a x-1，∈a R . （1）若关于x 的方程()()||f x =g x 只有一个实数解，求a 的取值范围；
（2）若∈x R 时，不等式()()≥f x g x 恒成立，求a 的取值范围；
（3）若2-≥a ，求函数()()()||h x =f x +g x 在区间[]-2,2上的最大值
.一、选择题(每小题5分，共60分)
1.A
2.B
3.D
4.B
5.A
6.B
7.A
8.D
9.D 10.C 11.D 12.B
二、填空题(每小题5分，共20分) 13.10
-2；14.332cm 3π(不写单位扣2分)；15 .⎛⎫ ⎪⎝
⎭30,0,2；16.±3. 三、解答题(共6小题，共70分)
17. ∵B 点在直线y=2上，∴可以设B (),2a . ………………………………………… (2分)
∵AB 边上中线所在直线方程为x-y+1=0，
∴AB 中点D ⎛⎫
⎪⎝⎭+15,22a 在直线x-y+1=0上， ∴+1
5
-+1=022a ，∴a=2，B ()2,2. ……………………………………………… (4分)
∵AB 边上中线CD 所在直线方程为x-y+1=0，
∴可以设C ()m ,m +1. ……………………………………………………………… (6分)
∵AC 的中点⎛⎫
⎪⎝⎭+1+4,22m m E 在直线y=2上， ∴+4
=22m ，∴m=0，∴C ()0,1. ………………………………………………… (8分)
AB ：x+y-4=0，AC ：2x-y+1=0，BC ：x-2y+2=0. ……………………………… (10分)
18. （1）∵函数()f x a x+b
=x +221是定义在()-1,1上的奇函数，
∴()f 0 =0，∴()f 0 =0+1b
=b=0，∴()f x =
a x x 2
2+1. …………………… (2分) ∵⎛⎫ ⎪⎝⎭12=25f ，∴=⎛⎫ ⎪⎝⎭a
f 21
122=125
+14，∴a 2=1，a=±1. ………………… (4分) （2）证明：设x 1，x 2是()-1,1内的任意两个实数，且x 1＜x 2.
()()()()()()222x x +-x x +x x f x -f x =
-=x x x +x +22121112222121211+1+111
()()()()()x x x -x +x -x x x +x -x x -x ==x +x +x +x +22122112121122222212121111
()()()()12122212-1-=+1+1x x x x x x . ……………………………………………………… (6分)
∵()()
＞x x 2212+1+10，＜＞x -x x x 12120,1-0， ∴()()＜f x -f x 120，函数()f x 在()-1,1上是增函数. ……………… (8分)
（3）∵()()＜f x-+f x 10，∴()()＜f x -f x -1，
∴()()＜f x f -x -1，……………………………………………………… (10分)
∴⎧⎪⎨⎪⎩＜＜＜＜＜-1-11-11-1-x x x x ，∴⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＜＜＜02-1112
x x x ，∴0＜＜x 12. ………………………… (12分)
19. （1）在三棱锥S-ABC 中，由M ，D 分别为SB ，AB 的中点知MD ∥SA ，
∵SA ⊂面SAC ，⊄M D SAC 面，∴MD ∥面SAC. ……………………… (4分)
（2）∵△AMB 为正三角形，MD 为AB 边上的中线，
∴MD ⊥AB ，MD ∥SA ，∴SA ⊥AB.
∵SA ⊥AC ，AB ∩AC=A ，∴SA ⊥面ABC ，
∴SA ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩BC=C ，∴BC ⊥面SAC.
又∵BC ⊂面SBC ，∴面SBC ⊥面SAC. …………………………………… (8分)
（3）∵由已知易求AC=221，MD=53，
∴D -M BC M -D BC V =V S ⋅⋅D BC ABC M D M D S =11
1==107332
△△. …………… (12分) 20. （1）∵每厘米隔热层建造成本为6万元，能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系
()()≤≤k C x =x x+01035
，不建隔热层，每年的能源消耗量为8万元， ∴()()8×=≤≤k C =x +0010305
，k=40，………………………………… (2分) ∴()()⨯≤≤f x x x x x x 40800=20+6=+60103+53+5. ……………………… (4分) （2）令t=3x+5，则⎛
⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭400400=2+-5=2+-10y t t t t ，[]∈5,35t .
∵函数a g x =x+a >,x >x ()(00)在(⎤⎦0,a 上为减函数，在)
,⎡+∞⎣a 为增函数， ∴⎛
⎫ ⎪⎝⎭
y t t 400=2+-10，[]∈t 5,35在[]5,20上为减函数，在[]20,35为增函数. (7分) ∵=3+5t x 为增函数，
∴函数()f x 的单调递减区间为[]0,5，递增区间为[]5,10.……………… (9分)
∴x=5(cm)时，
⎛
⎫ ⎪⎝⎭
m i n 400=220+-10=7020y (万元). ……………………………………… (11分)
答：隔热层厚度为5cm 时，总费用()f x 达到最小，最小值70万元. … (12分)
21．（1）∵圆C ：222(+1)+(-2)=6-x y a ，
∴20＞a 6-，∴＜＜-66a . …………………………………………… (2分) 又∵过A 作圆C 的切线有两条，∴点A 在圆C 外， ∴＞222(1+1)+(2-2)6-a ，∴＞2a 或＜-a 2. ……………………… (4分) ∴--＜＜a 62或＜＜a 26. ………………………………………… (6分) (说明：如果缺少构成圆的条件，即没有求出＜＜-66a ，那么要扣除2分)
（2）∵过A 的两条切线互相垂直，∴AC =R 2.
⋅∴2=2=26-AC a ，∴±=2a . ……………………………………… (8分) 设过A 的切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，
∵圆心C(-1,2)，∴2-2==2+1
k d k ，∴2=1k ，∴k=±1. …………… (10分) ∴过A 的切线方程为+1=0x-y 和x+y -3=0. ………………………… (12分)
22. 解：（1）方程||f x =g x ()()，即||||x =a x 2-1-1，
变形得||||x x -a =-1(
+1)0，显然，=1x 已是该方程的根，…………… (1分) 欲原方程只有一解，即要求方程||x+=a 1，有且仅有一个等于1的解或无解， ＜0a . ………………………………………………………………………… (3分)
（2）不等式()()f x g x ≥对∈R x 恒成立，即()
||x a x 2-1-1≥（*）对∈R x 恒成立，
①当1x =时，（*）显然成立，此时∈a R ；……………………………… (4分)
②当1≠x 时，（*）可变形为a ≤||x x 2-1-1， 令()||ϕ⎧⎨⎩x x x x x x x 2+1,(>1),-1==-(+1)
,(<1).-1 ………………………………………… (5分) ∵当>1x 时，()2ϕ>x ，当1x <时，()2ϕ>-x ，故此时2a -≤.
综合①②，得所求实数a 的取值范围是a ≤-2. …………………………… (7分)
（3）∵()()()||||||h x =f x +g x =x +a x 2-1-1
=⎧⎪⎨⎪⎩
≤≤≤≤＜＜x +ax-a -,x ,-x -ax+a +,-x ,x -ax+a -,-x -.2221(12)1(11)1(21) …………………………………………… (8分) ①当2
a ＞1，即a ＞2时，结合图形可知h ()x 在[]-2,1上递减，在[]1,2上递增， 且()()a h a h -2=3+3,2=+3，且()()h h a a a ＞-2-2=3+3--3=20，
此时()h x 在[]-2,2上的最大值为3a+3. ……………………………… (9分) ②当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知(
)h x 在[]-2,-1，[-2
a ,1]上递减， 在1,--⎡⎤⎢⎥⎣
⎦a 2，[]1,2上递增，且h ()-2=3a+3,h ()2=a+3，h(-a 2)=a 24+a+1， ∵()()＞h h a a a -2-2=3+3--3=20，
()22331220244--=+---=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞a a a h h a a a -2， ∴h(x)在[]-2,2上的最大值为3a+3. ……………………………………… (10分) ③当-1≤2a ＜0，即-2≤a ＜0时，结合图形可知h(x)在[]-2,-1，,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
a 2上递减， 在1,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦a 2，[1,2]上递增，且()()h a h a -2=3+3,2=+3，⎛⎫ ⎪⎝⎭a a h a 2-=++124
， ∵()()＞h h a a a 2--2=+3-3-3=-20，
()223120244--=+---=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭
≥a a a h h a a 2， ∴h(x)在[]2,2-上的最大值为h ()2=a+3. ……………………………… (11分) 综上，当a ≥0时，h ()x 在[]2,2-上的最大值为33a +；
当-2≤a ＜0时，h ()x 在[]2,2-上的最大值为a+3. …………………… (12分)。