玛沁县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

玛沁县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________一、选择题
1． 若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
2． 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（
）,m n ,,αβγA ．若，则,m βαβ⊂⊥m α
⊥B ．若，则,//m m n αγ= //αβ
C ．若，则,//m m βα⊥αβ
⊥D ．若，则,αγαβ⊥⊥βγ
⊥3． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（
）
A ．1
B ．
C ．2
D ．44． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4
，则此时△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形
D ．钝角三角形5． 已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为，
M N 、24y x =F MN 2，则直线的方程为（ ）
||||10MF NF +=MN A ． B ． 240
x y +-=240x y --= C ． D ．20
x y +-=20x y --=6． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
7． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、x 与
B 、 与 ()f x =()f x =2x x
()1f x x =-()f x =
C 、与
D 、与()f x x =()f x =()f x x =2
()f x =
8． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（
）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄α
C ．由线段AB 的长短而定
D ．以上都不对9． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π1492+π1482+π2492+π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的
运用，难度中等.10．已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（
）A ．a=3B ．a=﹣3C ．a=±3D ．a=5或a=±3
11．下列给出的几个关系中：①；②
；③；{}{},a b ∅⊆(){}{},,a b a b ={}{},,a b b a ⊆④,正确的有（
）个{}0∅⊆A.个
B.个
C.个
D.个12．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁
殖成（
）A ．512个B ．256个C ．128个D ．64个二、填空题
13．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
14．设函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数．若方程f （x ）=ax 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
15．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
16．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．　
17．（﹣）0+[（﹣2）3] = ．
18．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；
②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小；
③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数；
④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数；以上命题中真命题的序号为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知圆与圆：关于直线对称，且点在圆上.M N 22235(35
(r y x =++-x y =3
5,31(-D M （1）判断圆与圆的位置关系；
M N （2）设为圆上任意一点，，，三点不共线，为的平分线，且交P M 35
,1(-A )3
5,1(B B A P 、、PG APB ∠于. 求证：与的面积之比为定值.
AB G PBG ∆APG ∆
20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？
21．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．
（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；
（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
22．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
23．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
24．已知函数f（x）=log2（x﹣3），
（1）求f（51）﹣f（6）的值；
（2）若f（x）≤0，求x的取值范围．
玛沁县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：，
可得a2=b2，c=a，
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
2．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
3．【答案】B
【解析】解：设圆柱的高为h，则
V圆柱=π×12×h=h，V球==，
∴h=．
故选：B．
4．【答案】A
【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，
∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，
∴sinC=2sin2C，且sinC＞0，
∴sinC=，
∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab ≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC 的面积的最大值S △ABC =absinC ≤=4，∴a=b=4，
则此时△ABC 的形状为等腰三角形．
故选：A ．
5． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设，那么，，∴线段的中点坐标为
1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN .由，两式相减得，而，∴，∴(4,2)2114y x =2224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-1222
y y +=12121y y x x -=-直线的方程为，即，选D ．
MN 24y x -=-20x y --=6． 【答案】 A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c 2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x 轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），双曲线方程可设为mx 2﹣ny 2=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可．
7． 【答案】C
【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A 中两个函数定义域不同，选项B 中两个函数对应法则不同，选项D 中两个函数定义域不同。

故选C 。

考点：同一函数的判定。

8． 【答案】A
【解析】解：∵线段AB 在平面α内，
∴直线AB 上所有的点都在平面α内，
∴直线AB 与平面α的位置关系：
直线在平面α内，用符号表示为：AB ⊂α
故选A ．
【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．
9． 【答案】A
10．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，
∴2a ﹣1=9或a 2=9，
当2a ﹣1=9时，a=5，A ∩B={4，9}，不符合题意；
当a 2=9时，a=±3，若a=3，集合B 违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
11．【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：和是正确的，故选C.
{}{},,a b b a ⊆{}0∅⊆考点：集合间的关系.
12．【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了
=6次，则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个．
故选：D ．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
二、填空题
13．【答案】　真命题　
【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
14．【答案】　（﹣1，﹣]∪[，）　．
【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．
当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．
当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．
当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．
当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2．
当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3．
设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：
当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有2个不同的交点，
则OA的斜率k=，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，
故满足条件的斜率k的取值范围是或，
故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）
【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．
15．【答案】　6　．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．【答案】　90°　．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
17．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
18．【答案】　①②④　．
【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．
②连结MN ，因为EF ⊥平面BDD ′B ′，所以EF ⊥MN ，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．
③因为EF ⊥MN ，所以四边形MENF 是菱形．当x ∈[0，]时，EM 的长度由大变小．当x ∈[，1]时，EM 的长度由小变大．所以函数L=f （x ）不单调．所以③错误．
④连结C ′E ，C ′M ，C ′N ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C ′EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C ′EF 的面积是个常数．M ，N 到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
三、解答题
19．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2.
【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，,然后根据圆心距与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP DM r =MN 的距离相等，所以两个三角形的面积比值,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求和PA
PB S S APG PBG =∆∆PB ,最后得到其比值.PA 试题解析：（1） ∵圆的圆心关于直线的对称点为，
N 35,35(-N x y =)35
,35(-M ∴，916)34
(||222=-==MD r ∴圆的方程为.M 9
16)35()35
(22=-++y x
∵，∴圆与圆相离.3
823210)310()310(||22=>=+=r MN M N
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1
20．【答案】
【解析】解：设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有，
．
由①②得，c=2b ，a=75b ，代入③得，75b+10b ≤20bx ，
∴x ≥，即至少同时开5个窗口才能满足要求．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5（2A+1）进行奖励，
∴0＜x ≤8时，y=0.15x ；x ＞8时，y=1.2+log 5（2x ﹣15）
∴奖金y 关于销售利润x 的关系式y=
（2）由题意知1.2+log 5（2x ﹣15）=3.2，解得x=20．
所以，小江的销售利润是20万元．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）
解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…
（2）由①得…（7分）
∴…（11分）
∴…（12分）
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．　
23．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=log2（x﹣3），
∴f（51）﹣f（6）=log248﹣log23=log216=4；
（2）若f（x）≤0，则0＜x﹣3≤1，
解得：x∈（3，4]
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免出错．。