配套K12辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷(4)

辽宁省名校2011年领航高考数学预测试卷（4）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,5}A =，{4,5,6}
U C B =，则A
B =（ ）
A ．{1,2}
B ．{5}
C ．{1,2,3}
D ．{3,4,6}
2．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、 酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽 取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽 取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是 （ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
3．已知定义在复数集C 上的函数)(x f 满足
⎩⎨
⎧∉-∈+=R x x i R x x
x f )1(1)(，则()1f i +等于
A ．2-
B ．0
C ．2
D ．2i +
4．已知两个平面α、β，直线α⊂a ，则“βα//”是“直线a β//”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则 函数)(x f 的解析式为
（ ）
A ．
)
421sin(2)(π
+=x x f
B ．
)
4321sin(2)(π
+=x x f
C ．
)
421sin(2)(π
-=x x f
D ．
)
4321sin(2)(π
-=x x f
6．下列命题中是假命题的是
（ ）
A ．
,)1()(,3
42
是幂函数使+-⋅-=∈∃m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减
B ．
有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02
C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ；
D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数
7．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结
果为 （ ）
A ．51
B ．52
C ．53
D ．54
8．若
n
x x )12(+的展开式中，二项式系数最大的项只有第三项，则展开式中常数项的值为
A ．12
B ．18
C ．24
D ．32
9．过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为
A ．3-<a 或
231<
<a B ．231<<a C ．3-<a D ．31a -<<或3
2a >
10．对于非零向量,m n ，定义运算“#”：#
||||s i n m n m θ=⋅，其中θ为,m n 的夹角．有
两两不共线的三个向量,,a b c ，下列结论： ①若##a b a c =，则b c =； ②##a b b a =；
③若#0a b =，则//a b ； ④##)#(+=+； ⑤#()#a b a b =-．
其中正确的个数有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．已知y x ,满足⎪⎩⎪
⎨⎧≤++≤+≥0
4
1
c by ax y x x ,记目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则
=++a c
b a
（ ）
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．-2
12．定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]5,3[∈x 时42)(--=x x f ，则
A ．
(sin )(cos )
66f f ππ
< B ．(sin1)(cos1)f f > C ．
22(sin
)(cos )33f f ππ< D ．(sin 2)(cos 2)f f >
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为
02=-y x ，则此双曲线的标准方程是 .
14．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺 寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 3
cm .
15．已知一个公园的形状如图所示，现有4种不同的植物 要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要 求有公共边界的的两块相邻区域种不同的植物，共有 种不同的种法 16．若函数
)
,,,()(2R d c b a c bx ax d
x f ∈++=
，其图象如图所示，则=d c b a ::: ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17．（本小题12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ．b ．c ，且22
()(2a b c bc --=-，
2cos sin sin 2
C
B A =，B
C 边上中线AM 的长为7．
（Ⅰ） 求角A 和角B 的大小； （Ⅱ） 求ABC ∆的面积．
18．（本小题12分） 盒子中装着标有数字1、2、3、4的卡片分别有1张、2张、3张、4张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片的最大数字，求： （Ⅰ）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（Ⅲ）设取出的三张卡片上的数字之和为η，求)7(≥ηP ． 19．（本小题12分）
如图，已知ABCD 为平行四边形，︒=∠60A ，2AF FB =，6=AB ，点E 在CD 上，
BC EF //，AD BD ⊥，BD 与EF 相交于N ．现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在
平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上． （Ⅰ）求证：⊥BD 平面BCEF ；
（Ⅱ）求折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥N —ABF 的体积．
20．（本小题12分）
已知椭圆22122:1(0)
x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为21
，21,F F 分别为其左右
焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆1C 的方程； （ⅱ）求动圆圆心轨迹C 的方程；
（Ⅱ） 在曲线C 上有两点M 、N ，椭圆C 上有两点P 、Q ，满足2MF 与2NF 共线，2PF 与2QF 共线，且022=⋅MF PF ，求四边形PMQN 面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
.)1ln()(2
3ax x x ax x f --++= （Ⅰ）若
32
=
x 为)(x f 的极值点，求实数a 的值；
（Ⅱ）若)(x f y =在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若1-=a 使，方程x b
x x f =
---3)1()1(有实根，求实数b 的取值范围．
22．（本小题满分10分）
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE2=EF·EC . （1）求证：∠P=∠EDF ； (2)求证：CE·EB=EF·EP ．
23．（本小题满分10分）
已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6π
α=
，
（1）写出直线l 的参数方程;
（2）设l 与圆
422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.
24．（1）若||||,1||,1||b a b a b a -++<<比较与2的大小，并说明理由；
（2）设m 是|||,|b a 和1中最大的一个，当
.2|:|
,||2<+>x b
x a m x 求证时
参考答案 一、选择题：
1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C 9．A 10．C 11．D 12．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．120522=-y x 14．34 15．168
16．1：（-6）：5（-8）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．解：
（Ⅰ）由
22222
()(2,a b c bc a b c --=--=得
222cos 2b c a A bc +-∴==.
6A π
= ---4分
· P
E
O D C
B
A F
由
2cos sin sin 2
C B A =，得2cos 1sin 21C
B +=
即sin 1cos B C =+
则0cos <C ，即C 为钝角，故B 为锐角，且
π
65
=+C B
则
π
ππ32
1)3cos(cos 1)65sin(=⇒-=+⇒+=-C C C C 故
6π
=
B ．
（Ⅱ）设x AC =，
由余弦定理得222
2
7
)21
(224=-⋅⋅-+=x x x x AM
解得2=x 故
323
2221=⋅⋅⋅=
∆ABC S ． ---------14分
18．解：（1）
1253
101
41312141314121312=+++=C C C C C C C C C C P -----4分
（2）ξ的可能取的所有制有2，3，4
------5分
12011)2(310===C P ξ12019
)3(3
103
313232313=+⋅+⋅==C C C C C C P ξ 120100
)4(3
10
3416242614=+⋅+⋅==C C C C C C P ξ ------8分
∴ξ的分布列为
∴
40153120100412019312012=⨯+⨯+⨯
=ξE
----10分
（3）当6≤η时，取出的3张卡片上的数字为1，2，2或1，2，3
当取出的卡片上的数字为1，2，2或1，2，3的概率为
120713
101
3121=+=C C C P ∴
120113
1)7(1=
-=≥P P η
----14分
19．解：（Ⅰ）BN EF DN EF ⊥⊥,，得⊥EF 面DNB
则平面⊥BDN 平面BCEF ， 由=BN 平面 BDN 平面BCEF , 则D 在平面BCEF 上的射影在直线BN 上, 又D 在平面BCEF 上的射影在直线BC 上, 则D 在平面BCEF 上的射影即为点B ,
故⊥BD 平面BCEF ． --------4分
（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系， ∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=3，DN=23，∴折后图中BD=3，BC=3
∴N （0，3，0），D （0，0，3），C （3，0，0）CB
NF 31
==（-1，0，0）
∴=+=NF BN BF （-1，3，0）=DN （0，3，-3）
∴><,cos =4
3
=
∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为43
-----9分
法二．在线段BC 上取点M ，使BM=BF ，则MN ∥BF ∴∠DNM 或其补角为DN 与BF 所成角．
又MN=BF=2，DM=32,102
2
==+DN BM
BD ．
∴
43
2cos 222=
⋅-=∠MN DN DM MN DN DNM
∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为43
（Ⅲ）∵AD ∥EF ， ∴A 到平面BNF 的距离等于D 到平面BNF 的距离，
∴
2331=⋅=
==∆---BD S V V V BNF BNF D BNF A ABF N
即所求三棱锥的体积为23
------14分
20．解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得312214
2222=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪
⎨
⎧===c a b c a a c e a ，
则所求椭圆方程1
34:2
21=+y x C . --------3分
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为)0,1(，准线方程为
1-=x ，则动圆圆心轨迹方程为x y C 4:2
=. --------6分
（Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，4||=MN ，
此时PQ 的长即为椭圆长轴长，4||=PQ
从而
84421
||||21=⨯⨯=⋅=
PQ MN S PMQN
---8分
设直线MN 的斜率为k ，则k ≠0，直线MN 的方程为：)1(-=x k y
直线PQ 的方程为)
1(1
--=x k y
设
)
,(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M
由⎩⎨⎧=-=x y x k y 4)
1(2，消去y 可得
0)42(2222=++-k x k x k
由抛物线定义可知：
22221224424211||||||k k k x x NF MF MN +
=++=+++=+=
---10分
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+--=1
34)1(12
2y x x k y 消去y 得
01248)43(222=-+-+k x x k ， 从而
43)
1(12||)1(1||2
2432++=--+=k k x x k PQ ---12分
∴
24
2
22
2243)1(2443)1(12)44(21||||21k k k k k k PQ MN S PMQN
++=+++=⋅=
令t k =+2
1，
∵,0>k 则1>t
则
=⋅=
||||2
1
PQ MN S PMQN 2
22
2
2123241
2324)1(4)1(324t t t t t t t t --=--=-+-
2123t t --
=)3,0()1
1(42∈+-t
所以PMQN
S =
2
12324
t t --＞8 ----14分
所以四边形PMQN 面积的最小值为8
----15分
21．解：（I ）a x x ax a x f --++='231)(2
1)]2()23(3[22++--+=
ax a x a a x
)(32x f x 为= 的极值点，0
)32
(='∴f
13
2
0)2()23(32)32(322≠+=+--+∴a a a a 且0=∴a
又当0=a 时，)23()(-='x x x f ， 从而)
(32
x f x 为=的极值点成立．
（II ）因为),1[)(+∞在x f 上为增函数，
所以)
,1[01)]
2()23(3[22+∞≥++--+在ax a x a x a x 上恒成立． 6分
若0=a ，则)23()(-='x x x f ，∴),1[)(+∞在x f 上为增函数不成产‘
若.0101,0>>>+≠a x ax a 恒成立知对由
所以
),1[0)2()23(32
2+∞∈≥+--+x a x a ax 对上恒成立．
令)2()23(3)(2
2+--+=a x a ax x g ， 其对称轴为
,21
31a x -=
因为
,
31
2131,0<->a a 所以从而),1[)(+∞在x g 上为增函数．
所以只要0)1(≥g 即可，即
012≥++-a a
所以251251+≤≤-a 又因为.2510,0+≤<>a a 所以 10分 （III ）若1-=a 时，方程x b x x f =
---3)1()1( 可得x b
x x x =-+--)1()1(ln 2
即0ln )1()1(ln 322>-+=-+--=x x x x x x x x x x x b 在上有解
即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域． 法一：)(ln 2x x x x b -+=令2ln )(x x x x h -+=
由x x x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=
' 0>x 0)(,10>'<<∴x h x 时当，
从而)1,0()(在x h 上为增函数；当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数． )(,0)1()(x h h x h 而=≤∴可以无穷小．]0,(-∞∴的取值范围为b 15分 法二：2321ln )(x x x x g -++='x x x x x x g 126621)(2---=-+=''
当
0)(,6710>''+<<x g x 时，所以6710)(+<<'x x g 在上递增； 当,0)(,671<''+>
x g x 时所以
671)(+>'c x g 在上递减； 又67
10,0)(,0)1(00+<<='∴='x x g g 令,0)(,00<'<<∴x g x x 时当
所以00)(x x x g <<在上递减；当0)(,10>'<<x g x x 时，
所以1)(0<<x x x g 在上递增；当1)(,0)(,0><>x x g x g x 在所以时上递减； 又当-∞→+∞→)(,x g x 时，
)41(l n )(l n ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g 当,041ln ,0<+→x x 时则0)1(,0)(=<g x g 且所以]0,(-∞的取值范围为b
22．（本小题满分10分）
证明：（1）∵DE2=EF·EC，∴DE : CE=EF: ED．∵∠DEF是公共角，∴ΔDEF∽ΔCED．∴∠EDF=∠C．∵CD∥AP，∴∠C=∠ P．∴∠P=∠EDF．----5′
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，∴ΔDEF∽ΔPEA．∴DE : PE=EF : EA．即EF·EP=DE·EA．∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．10′
23．（本小题满分10分）
解：（1）直线的参数方程为
1cos
6
1sin
6
x t
y t
π
π
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，即
1
2
1
1
2
x
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
．5′
（2
）把直线
1
2
1
1
2
x
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
代入
4
2
2=
+y
x，
得
222
1
(1)(1)4,1)20
2
t t t
+++=+-=
，12
2
t t=-
，
则点P到,A B两点的距离之积为2．
24．解：（1）
.2
|
|
|
|<
-
+
+b
a
b
a
（2）因为
.|
||
|
,1
|
|
|
|
|
|2b
x
m
x
b
m
x>
≥
>
≥
>所以
且
又因为
,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|,
|
|
|
2
2
2
2
2
=
+
<
+
<
+
≤
+
≥
>
x
x
x
x
x
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
a
m
x所以
故原不等式成立.。