船舶结构力学 力法位移法能量法
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2
0
2
l/2
2A
2 2 v 2 a l v ( 0 ) 2 a l 将 及 1 1
代入可计算出
总应变能为： V 4.5EIa2l 1 (2)计算力函数。此梁的力函数包括集中力F引起U1 及分布荷重引起的U2两部分。 计算U2时，先写出分布荷重的表达式。对图示坐标 有 q( x) 2q0 x q0 , l x l 2 2 因而 l l 2q0 x 1 2 3
(4)列节点平衡方程
4 EI0 8EI 4 EI12 4 EI 1 12 2 1 0 2 l12 l12 l0 l0 2 EI23 4 EI23 6 EI0 12EI0 M 32 2 3 2 3 l23 l23 2.2l0 2.2l0 16EI0 2 EI24 4 EI24 M 42 2 4 2 l24 l24 3l0 M 21
虚位移原理等价于结构的平衡条件，因此基于虚位移 原功方法是位移法。由虚位移原理可导出位能驻值原理， 最小势能原理的计算公式。常用的计算方法是势能驻值原 理的近似法，即里兹法。 虚应力原理等价于结构的变形协调条件，因此基于虚 应力原理的方法是力法。由虚应力原理可导出余能驻值原 理。常用的计算方法是最小功原理及卡氏第二定理。
Q0l0 Q0l0 M , M 21 12 15 10 M Q2 (3l ) Q1 (3l ) 33 Q l 24 0 0 0 0 15 12 10 Q Q 21 Q0l0 M 42 2 (3l0 ) 1 (3l0 ) 10 12 5 M 23 M 32 0
位移法
计算步骤（不可动节点刚架和连续梁）
• 确定未知数（n=N-r）
• 加抗转约束，计算固端弯矩 • 强迫转动，计算转角引起的杆端断面弯矩，计 算杆端总弯矩 • 列节点平衡方程式
• 解出未知转角位移，求弯曲要素
位移法
位移法
解： (1)将1、2、3节点加固成固定端，因此有三个未知数1 , 2 ,3 。 (2)计算固端弯矩 M ij
例题：用里兹法求图中变断面梁的中点挠度。已 l F q l , A v( x) a1 (l x。 )2 知 。计算时试取挠曲线函数 3EI
3 0
F
I
l/4 l/4
q0
2I l/2
A
解：经检查，挠曲函数 v( x) a1 (l x)2 满足边界条件。 (1)计算应变能。此梁的应变能包括两部份，一是梁 本身的弯曲应变能V1，二是弹性支座的应变能V2， 注意到梁是变断面 2 1 l/2 1 l v 2 2 ,x V2 (0) V1 EIv ( x)dx E (2 I )v ( x)d
船舶结构力学 力法、位移法、能量法 总结
包涛
船舶结构力学
力法
位移法
能量法
力法
概念：以多余力作为基本未知量来计算 超静定结构的方法，称为力法。
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方法：1.以支座反力R为未知数。 2.以支座断面弯矩M为未知数。
力法
位移法
(3)计算由转角 引起的杆端弯矩
8EI0 4 EI0 4 EI12 2 EI12 M 2 , 12 1 2 1 l l l l 12 12 0 0 4 EI23 2 EI23 12EI0 6 EI0 2 3 1 2 , M 23 l23 l23 2.2l0 2.2l0 32EI0 2 EI24 4 EI24 M 2 , 2 4 24 l24 l24 3l0
i i i
及梁上弹 2A v 性固定端的应变能 V 2 ；如果梁在a≤x≤b中有刚度为k的 1 V 弹性基础，则还要加上弹性基础的应变能 2 kv dx。
V
0
1 2
l
v2 EIv2 ( x )dx V ，如梁上弹性支座的应变能
2
b
2
a
能量法
(4)计算梁的力函数时，它等于梁上外力与对应的 位移的乘积之和。对于所取的v(x) ，计算时要注 意外力的方向是否与位移方向一致。在一般情 况下(参看附录附图1)，力函数为：
方法：
方法一（支座反力法）： 1点处挠度为零的表达式：
力法
方法二（支座断面弯矩法）：
1点处转角连续的表达式：
力法
解题步骤：
• 解除多余约束，代以未知反力 结构（基本结构）
静定
• 在去掉约束出现约束反力处列变形连续 方程（方程数=未知反力数）
• 解方程求出未知力，进而求弯曲要素
力法
支座处挠度为零的表达式：
能量法
3)里兹法求解梁的弯曲问题是重点；里兹法可用于求解任意 结构形式的梁，如变断面梁，有弹性支座、弹性固定端或 有弹性基础的，在任意载荷作用下的挠曲线。具体计算步 骤如下： (1)建立梁的坐标系。 v( x) a ( x)，式中 i ( x ) (2)将梁的挠曲线写成级数形式： 是满足梁端位移边界条件的基函数，是选定的，具体选取 可参考教材表5.1选取，ai为待定系数。 (3)计算梁的应变能V，此应变能必须表达为v(x) 的函数。 在一般情况下，梁的应变能包括：梁本身的弯曲应变能
位移法
(7)画弯矩图
能量法
主要内容及解题要点： 1) 能量法是利用结构在外载荷作用下的 功及应变能的概念解决计算问题的方法， 它在结构分析中应用甚广，因此掌握能量 法中的基本原理及解题方法十分重要。 在具体分析时，能量法常用来处理解 析法不能适用的复杂结构问题。
能量法
2) 能量法的基本原理，包括虚位移原理及虚力原理。
(6)回代求杆端弯矩：
M 21 M 21 M 21 M 23 M 24 M 42 Q0l0 4 0.06794 Q0l0 8 0.15255 Q0l0 104.076kN m 10 12 6 M 23 M 23 0.15255 Q0l0 (0.07628 Q0l0 ) 61.936kN m 2.2 2.2 33 32 Q0l0 0.15255 M 24 M 24 Q0l0 1.6728 Q0l0 166.012kN m 10 3 21 16 Q0l0 0.15255 M 42 M 42 Q0l0 497.448kN m 5 3
正则方程式
力法
支座i 处转角连续的表达式：
为未知弯矩。
力法
三弯矩方程组：
位移法
主要内容与要点
1) 在船舶结构力学中，位移法的主要研究 对象为船体结构中的不可动节点复杂刚架，可动 节点简单刚架及简单板架等。 2)由于位移法中所采用的杆端弯曲要素的符号法则 与第二章单跨粱及第三章力法中不完全相同，因 此首先要明确位移法中新的符号规定：杆件两端 的弯矩与转角一律以顺时针方向为正；杆端的剪 力与挠度要根据杆件的局部坐标来定，但两个端 点处的剪力与挠度的正向相同。
l
q0 )a1 (l x) dx
96
q0 a1l
9 1 55 3 U U U ( ) q a l 总的力函数为： 1 2 16 96 0 1 96 q0a1l 3
(3)计算总势能
0 ，得 a1
V U 4.5EIa12l
q0l 3 a1 0.06366 EI
将上式经整理后得：
Q0l0 2 1 2 60EI 0 Q0l0 6 . 6 39 . 8 4 . 5 5 . 28 1 2 3 EI0 2 2 3 0
位移法
求解上式得：
2 2 2 Q0l0 Q0l0 Q0l0 1 0.06794 , 2 0.15255 , 1 0.07628 EI0 EI0 EI0
U 2 q ( x)v( x)dx (
l/2 l/2
1 l l [ EI 4a12 2 EI 4a12 ] 3EIa12l 2 2 2 3EI V2 3 a12l 4 1.5 EIa12l 2l V1
l l 9 9 U1 Fv( ) Fa1 (l ) 2 Fa1l 2 q0 a1l 2 4 4 16 16
55 q0 a1l 3 96
由 2 2 q0l 故梁的挠曲线为： v( x) 0.06366 (l x) EI 梁中点挠度为：
q0l 4 l q0l 2 v(l / 2) 0.06366 (l ) 0.01591 2 EI EI
Thank You！
节点1： 节点2： 节点3： 节点4：
位移法
(5)将各参数代入节点1、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、3的平衡方程式后得：
Q0l0 8EI0 4 EI0 1 2 0 15 l l 0 0 12EI0 6 EI0 32EI0 Q0l0 33Q0l0 4 EI0 8EI0 1 2 2 3 2 0 10 l0 l0 2.2l0 2.2l0 3l0 10 12EI0 6 EI0 2.2l 2 2.2l 3 0 0 0
U Mv(a) Fv(b) q( x)v( x)dx
c d
(5)计算结构的总势能 V U，并将Π对ai求偏导 ，得出n个联立方程式： 解之可得ai，代入v(x)的式中得梁的挠曲线，并 可进一步求出梁的弯矩、剪力等弯曲要素。
(V U ) 0 , i 1,2,3,, n ai ai
0
2
l/2
2A
2 2 v 2 a l v ( 0 ) 2 a l 将 及 1 1
代入可计算出
总应变能为： V 4.5EIa2l 1 (2)计算力函数。此梁的力函数包括集中力F引起U1 及分布荷重引起的U2两部分。 计算U2时，先写出分布荷重的表达式。对图示坐标 有 q( x) 2q0 x q0 , l x l 2 2 因而 l l 2q0 x 1 2 3
(4)列节点平衡方程
4 EI0 8EI 4 EI12 4 EI 1 12 2 1 0 2 l12 l12 l0 l0 2 EI23 4 EI23 6 EI0 12EI0 M 32 2 3 2 3 l23 l23 2.2l0 2.2l0 16EI0 2 EI24 4 EI24 M 42 2 4 2 l24 l24 3l0 M 21
虚位移原理等价于结构的平衡条件，因此基于虚位移 原功方法是位移法。由虚位移原理可导出位能驻值原理， 最小势能原理的计算公式。常用的计算方法是势能驻值原 理的近似法，即里兹法。 虚应力原理等价于结构的变形协调条件，因此基于虚 应力原理的方法是力法。由虚应力原理可导出余能驻值原 理。常用的计算方法是最小功原理及卡氏第二定理。
Q0l0 Q0l0 M , M 21 12 15 10 M Q2 (3l ) Q1 (3l ) 33 Q l 24 0 0 0 0 15 12 10 Q Q 21 Q0l0 M 42 2 (3l0 ) 1 (3l0 ) 10 12 5 M 23 M 32 0
位移法
计算步骤（不可动节点刚架和连续梁）
• 确定未知数（n=N-r）
• 加抗转约束，计算固端弯矩 • 强迫转动，计算转角引起的杆端断面弯矩，计 算杆端总弯矩 • 列节点平衡方程式
• 解出未知转角位移，求弯曲要素
位移法
位移法
解： (1)将1、2、3节点加固成固定端，因此有三个未知数1 , 2 ,3 。 (2)计算固端弯矩 M ij
例题：用里兹法求图中变断面梁的中点挠度。已 l F q l , A v( x) a1 (l x。 )2 知 。计算时试取挠曲线函数 3EI
3 0
F
I
l/4 l/4
q0
2I l/2
A
解：经检查，挠曲函数 v( x) a1 (l x)2 满足边界条件。 (1)计算应变能。此梁的应变能包括两部份，一是梁 本身的弯曲应变能V1，二是弹性支座的应变能V2， 注意到梁是变断面 2 1 l/2 1 l v 2 2 ,x V2 (0) V1 EIv ( x)dx E (2 I )v ( x)d
船舶结构力学 力法、位移法、能量法 总结
包涛
船舶结构力学
力法
位移法
能量法
力法
概念：以多余力作为基本未知量来计算 超静定结构的方法，称为力法。
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方法：1.以支座反力R为未知数。 2.以支座断面弯矩M为未知数。
力法
位移法
(3)计算由转角 引起的杆端弯矩
8EI0 4 EI0 4 EI12 2 EI12 M 2 , 12 1 2 1 l l l l 12 12 0 0 4 EI23 2 EI23 12EI0 6 EI0 2 3 1 2 , M 23 l23 l23 2.2l0 2.2l0 32EI0 2 EI24 4 EI24 M 2 , 2 4 24 l24 l24 3l0
i i i
及梁上弹 2A v 性固定端的应变能 V 2 ；如果梁在a≤x≤b中有刚度为k的 1 V 弹性基础，则还要加上弹性基础的应变能 2 kv dx。
V
0
1 2
l
v2 EIv2 ( x )dx V ，如梁上弹性支座的应变能
2
b
2
a
能量法
(4)计算梁的力函数时，它等于梁上外力与对应的 位移的乘积之和。对于所取的v(x) ，计算时要注 意外力的方向是否与位移方向一致。在一般情 况下(参看附录附图1)，力函数为：
方法：
方法一（支座反力法）： 1点处挠度为零的表达式：
力法
方法二（支座断面弯矩法）：
1点处转角连续的表达式：
力法
解题步骤：
• 解除多余约束，代以未知反力 结构（基本结构）
静定
• 在去掉约束出现约束反力处列变形连续 方程（方程数=未知反力数）
• 解方程求出未知力，进而求弯曲要素
力法
支座处挠度为零的表达式：
能量法
3)里兹法求解梁的弯曲问题是重点；里兹法可用于求解任意 结构形式的梁，如变断面梁，有弹性支座、弹性固定端或 有弹性基础的，在任意载荷作用下的挠曲线。具体计算步 骤如下： (1)建立梁的坐标系。 v( x) a ( x)，式中 i ( x ) (2)将梁的挠曲线写成级数形式： 是满足梁端位移边界条件的基函数，是选定的，具体选取 可参考教材表5.1选取，ai为待定系数。 (3)计算梁的应变能V，此应变能必须表达为v(x) 的函数。 在一般情况下，梁的应变能包括：梁本身的弯曲应变能
位移法
(7)画弯矩图
能量法
主要内容及解题要点： 1) 能量法是利用结构在外载荷作用下的 功及应变能的概念解决计算问题的方法， 它在结构分析中应用甚广，因此掌握能量 法中的基本原理及解题方法十分重要。 在具体分析时，能量法常用来处理解 析法不能适用的复杂结构问题。
能量法
2) 能量法的基本原理，包括虚位移原理及虚力原理。
(6)回代求杆端弯矩：
M 21 M 21 M 21 M 23 M 24 M 42 Q0l0 4 0.06794 Q0l0 8 0.15255 Q0l0 104.076kN m 10 12 6 M 23 M 23 0.15255 Q0l0 (0.07628 Q0l0 ) 61.936kN m 2.2 2.2 33 32 Q0l0 0.15255 M 24 M 24 Q0l0 1.6728 Q0l0 166.012kN m 10 3 21 16 Q0l0 0.15255 M 42 M 42 Q0l0 497.448kN m 5 3
正则方程式
力法
支座i 处转角连续的表达式：
为未知弯矩。
力法
三弯矩方程组：
位移法
主要内容与要点
1) 在船舶结构力学中，位移法的主要研究 对象为船体结构中的不可动节点复杂刚架，可动 节点简单刚架及简单板架等。 2)由于位移法中所采用的杆端弯曲要素的符号法则 与第二章单跨粱及第三章力法中不完全相同，因 此首先要明确位移法中新的符号规定：杆件两端 的弯矩与转角一律以顺时针方向为正；杆端的剪 力与挠度要根据杆件的局部坐标来定，但两个端 点处的剪力与挠度的正向相同。
l
q0 )a1 (l x) dx
96
q0 a1l
9 1 55 3 U U U ( ) q a l 总的力函数为： 1 2 16 96 0 1 96 q0a1l 3
(3)计算总势能
0 ，得 a1
V U 4.5EIa12l
q0l 3 a1 0.06366 EI
将上式经整理后得：
Q0l0 2 1 2 60EI 0 Q0l0 6 . 6 39 . 8 4 . 5 5 . 28 1 2 3 EI0 2 2 3 0
位移法
求解上式得：
2 2 2 Q0l0 Q0l0 Q0l0 1 0.06794 , 2 0.15255 , 1 0.07628 EI0 EI0 EI0
U 2 q ( x)v( x)dx (
l/2 l/2
1 l l [ EI 4a12 2 EI 4a12 ] 3EIa12l 2 2 2 3EI V2 3 a12l 4 1.5 EIa12l 2l V1
l l 9 9 U1 Fv( ) Fa1 (l ) 2 Fa1l 2 q0 a1l 2 4 4 16 16
55 q0 a1l 3 96
由 2 2 q0l 故梁的挠曲线为： v( x) 0.06366 (l x) EI 梁中点挠度为：
q0l 4 l q0l 2 v(l / 2) 0.06366 (l ) 0.01591 2 EI EI
Thank You！
节点1： 节点2： 节点3： 节点4：
位移法
(5)将各参数代入节点1、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、3的平衡方程式后得：
Q0l0 8EI0 4 EI0 1 2 0 15 l l 0 0 12EI0 6 EI0 32EI0 Q0l0 33Q0l0 4 EI0 8EI0 1 2 2 3 2 0 10 l0 l0 2.2l0 2.2l0 3l0 10 12EI0 6 EI0 2.2l 2 2.2l 3 0 0 0
U Mv(a) Fv(b) q( x)v( x)dx
c d
(5)计算结构的总势能 V U，并将Π对ai求偏导 ，得出n个联立方程式： 解之可得ai，代入v(x)的式中得梁的挠曲线，并 可进一步求出梁的弯矩、剪力等弯曲要素。
(V U ) 0 , i 1,2,3,, n ai ai