空间向量的数量积运算-ppt课件
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空间向量的数量积运算
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
π;当<a,b>= 时,两向量垂直,记作a⊥b.
Hale Waihona Puke 知识点二 空间向量的数量积
问题3:平面向量中,(a·b)·c=a ·(b·c)对吗?在空间向量中呢? 答案:不对,(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的 向量,c与a却不一定共线.在空间向量中也不对. 梳理 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos<a,b> 叫做a,b的
方法技巧 用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题;(2)用已知向量表示所证向量;(3)结合数 量积公式和运算律证明数量积为0;(4)将向量问题回归到几何问题.
即时训练3-1:已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC. M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OG⊥BC.
数 量积,记作a·b.
(2)数量积的运算律
(3)数量积的性质 ①a,b是非零向量,则a⊥b ⇔a·b=0.
λ(a ·b) b ·a a ·b+a ·c
④|a·b|≤|a||b|.
题型一 空间向量数量积运算
题型二 利用空间向量的数量积求夹角
【例2 】
已知 BB 1 ⊥ 平面 ABC, 且 △ AB
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
π;当<a,b>= 时,两向量垂直,记作a⊥b.
Hale Waihona Puke 知识点二 空间向量的数量积
问题3:平面向量中,(a·b)·c=a ·(b·c)对吗?在空间向量中呢? 答案:不对,(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的 向量,c与a却不一定共线.在空间向量中也不对. 梳理 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos<a,b> 叫做a,b的
方法技巧 用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题;(2)用已知向量表示所证向量;(3)结合数 量积公式和运算律证明数量积为0;(4)将向量问题回归到几何问题.
即时训练3-1:已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC. M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OG⊥BC.
数 量积,记作a·b.
(2)数量积的运算律
(3)数量积的性质 ①a,b是非零向量,则a⊥b ⇔a·b=0.
λ(a ·b) b ·a a ·b+a ·c
④|a·b|≤|a||b|.
题型一 空间向量数量积运算
题型二 利用空间向量的数量积求夹角
【例2 】
已知 BB 1 ⊥ 平面 ABC, 且 △ AB