7章 小波与小波变换
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1 + [ D0 / D(u , v)]2 n
其中D0是指定得非负数值, D(u, v) = [(u − M / 2) 2 + (v − N / 2) 2 ]1/ 2
2、高斯高通滤波器(GHPF)： 高斯高通滤波器(GHPF)： (GHPF)
截止频率距原点的距离为D 的传递函数如下: 截止频率距原点的距离为 0 的GHPF的传递函数如下 的传递函数如下
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 11/46
7.1 小波介绍
小波(wavelet)是什么 是什么 小波
在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内， 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍 续8) 小波介绍(续
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波 器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析 变成为现实 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之 后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其 广泛的应用
x+ y
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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1.巴特沃思低通滤波器(BLPF): 1.巴特沃思低通滤波器(BLPF): 巴特沃思低通滤波器 n级(n取2）巴特沃思低通滤波器 级 取 ）巴特沃思低通滤波器(BLPF)的传递函数为： 的传递函数为： 的传递函数为
1 H (u , v) = 1 + [ D(u, v) / D0 ]2 n
16/46
7.1 小波介绍 续4) 小波介绍(续
1909: Alfred Haar(哈尔)
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 10/46
小波变换的理论基础
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互 关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息， 关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅 立叶变换不同， 立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波 （Mother wavelet）的宽度来获得信号的频 ） 率特征， 率特征， 通过平移母小波来获得信号的时 间信息。 间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了 计算小波系数， 计算小波系数，这些小波系数反映了小波和 局部信号之间的相关程度。 局部信号之间的相关程度。
a ≥ 0且b > a, a的典型值在0.25到0.5之间, b的典型值在1.5到2.0之间. 当a = ( A − 1)且b = 1时高频加强转化为高频提升过虑. 当b > 1时, 高频得到加强.
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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频域滤波方法
1）将输入图像f乘以 (−1) 将输入图像f 进行中心变换； 进行中心变换； 将其进行DFT变换， DFT变换 2）将其进行DFT变换，即 F (u , v) ； 3）用滤波器函数 H (u, v) 乘以 F (u, v) ； 计算出结果后并对其进行反DFT变换， DFT变换 4）计算出结果后并对其进行反DFT变换，得 出实部； 出实部； (−1) x+ y 得出最后结果。 得出最后结果。 5）实部乘以
2 − D 2 ( u , v ) / 2 D0
H (u , v) = 1 − e
DO取30、80 取 、
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
3/46
3、高频加强滤波器（有选择性的增强） 高频加强滤波器（有选择性的增强） 理想高频加强滤波器的转移函数可表示成
H (u , v) = α + H l (u , v) H h (u , v)
STFT的时间-频率关系图
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 18/46
7.1 小波介绍 续6) 小波介绍(续
1980：Morlet(摩雷特 ) 摩雷特
20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)
图7-1 正弦波与小波——部分小波
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 14/46
7.1 小波介绍 续2) 小波介绍(续
小波简史
小波变换 (wavelet transform)是什么 是什么
老课题： 老课题：函数的表示方法 新方法： 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform － －
7.1 小波介绍 续7) 小波介绍(续
1988：Mallat算法(马拉特）
法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空 间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交 小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法。 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法， 其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的 地位
D0为30，80，230的截止频率为好 D0为30，80，230的截止频率为好
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 7/46
高通滤波器的平滑效果示意图： 高通滤波器的平滑效果示意图：
低通滤波器的平滑效果示意图： 低通滤波器的平滑效果示意图：
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
8/46
由三种滤波器构成： 由三种滤波器构成：ห้องสมุดไป่ตู้
增益为 H
h
增益为α 的全通滤波器 H a (u, v) = α
D
h0
1 − α , 截止频率为
的理想高通滤波器
h0 h0
0 (u , v ) = 1−α
1 − α , 截止频率为
D (u , v ) ≤ D D (u , v ) > D
D
l 0
1986：Y.Meyer(梅耶 梅耶) 梅耶
法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0的 整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 19/46
增益为 H
l
的理想低通滤波器
l0 l0
1 − α (u , v ) = 0
D (u , v ) ≤ D D (u , v ) > D
第7章 小波与小波变换
2011年3月22日
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4、高频加强
高频加强 : H hfe (u,v) = a + bH hp (u,v) a≥0 b>0
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
13/46
7.1 小波介绍 续1) 小波介绍(续
部分小波
许多小波函数以开发者的名字命名，例如， 许多小波函数以开发者的名字命名，例如，
Moret小波函数是 小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 小波函数是 和 在 年开发的 db6缩放函数和 缩放函数和db6小波函数是 小波函数是Daubechies多贝西开发的 缩放函数和 小波函数是
7.1 小波介绍 续5) 小波介绍(续
1945: Gabor(伽柏 )
开发了STFT (short time Fourier transform)
STFT (τ , ω ) = ∫ s (t ) g (t − τ )e − jωt dt where: s (t ) = signal g (t )= windowing function windowing
1807: Joseph Fourier
傅立叶理论指出， 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和， 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
15/46
7.1 小波介绍 续3) 小波介绍(续
F (ω ) = ∫
+∞ −∞
f (t )e − jωt dt
第7章 小波与小波变换 章
复习上一课内容
1、频域增强步骤 第一步，将原空域图像f(x,y) f(x,y)乘以 第一步，将原空域图像f(x,y)乘以 ( −1) x+ y 作傅里 叶变换， 叶变换，得到其频谱 F（u,v); 第二步，根据处理要求，设计合适的转换函数H(u,v) ； 第二步，根据处理要求，设计合适的转换函数H(u,v) 第三步，将转换函数H和原空域图像的频谱F相乘: 第三步，将转换函数H和原空域图像的频谱F相乘: u,v)× F（u,v)× H(u,v) 按需要对某些频段的频谱进行增强， 按需要对某些频段的频谱进行增强，对另一些频段的频谱 进行抑制。 进行抑制。 第四步，对已经增强的频谱进行傅里叶反变换， 第四步，对已经增强的频谱进行傅里叶反变换，得到符合 处理要求的空域图像。 处理要求的空域图像。
12/46
小波变换的定义
小波：持续时间有限，但具有不同频率的波形— 小波：持续时间有限，但具有不同频率的波形— 这种有限宽度的波形，称为小波(wavelet) (wavelet)。 —这种有限宽度的波形，称为小波(wavelet)。 基于小波函数的变换称为小波变换(wavelet 基于小波函数的变换称为小波变换(wavelet transforms，WT)。 transforms，WT)。
+∞ −∞
1 f (t ) = 2π
∫
F (ω ) e jωt
where e − jωt = cos ωt − j sin ωt
只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号， 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
作业
在频域中进行图像滤波、增强（锐化）： 1。巴特沃思低通滤波(BLPF)； 2。高斯低通滤波(GLPF)； 3。巴特沃思高通增强(BHPF)； 4。高斯高通滤波增强(GHPF)； 5。图像的高频加强增强； 6。有选择性的高频增强；
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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1、巴特沃思高通滤波器(BHPF)： n阶（ n取2）且截止频 巴特沃思高通滤波器(BHPF)： (BHPF) 率距原点的距离为DO BHPF的传递函数如下:DO取30、 DO的 的传递函数如下:DO 率距原点的距离为DO的BHPF的传递函数如下:DO取30、80 1 为好。 为好。 H (u, v) =
小波分析属于时频分析的一种。 小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是 建立在傅里叶（ 建立在傅里叶（Fourier）变换的基础之上的，但 ）变换的基础之上的， 分析使用的是全局的变换， 是，Fourier分析使用的是全局的变换，无法表述 分析使用的是全局的变换 信号的时频局域性质， 信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非 平稳信号最根本和关键的性质。于是， 平稳信号最根本和关键的性质。于是，短时傅里 叶变换和小波变换应运而生， 叶变换和小波变换应运而生，而短时傅里叶变换 是一种单一分辨率的信号分析方法， 是一种单一分辨率的信号分析方法，使用的是一 固定的短时窗函数;而小波变换具有多分辨率分析 固定的短时窗函数 而小波变换具有多分辨率分析 的特点， 的特点，在时频两域都具有表征信号局部特征的 能力， 能力，其在低频部分具有较高的频率分辨率和较 低的时间分辨率， 低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分 辨率和较低的频率分辨率， 辨率和较低的频率分辨率，适合于探测正常信号 中夹带的瞬态反常现象，所以被誉为分析信号的 中夹带的瞬态反常现象， 数字显微镜。 数字显微镜。
D(u , v) = [(u − M / 2) 2 + (v − N / 2) 2 ]1/ 2
D0为30，80，230的截止频率为好 D0为30，80，230的截止频率为好 2.高斯低通滤波器(GLPF)： 2.高斯低通滤波器(GLPF)： 高斯低通滤波器(GLPF)
H (u , v) = e
2 − D 2 ( u , v ) / 2 D0
其中D0是指定得非负数值, D(u, v) = [(u − M / 2) 2 + (v − N / 2) 2 ]1/ 2
2、高斯高通滤波器(GHPF)： 高斯高通滤波器(GHPF)： (GHPF)
截止频率距原点的距离为D 的传递函数如下: 截止频率距原点的距离为 0 的GHPF的传递函数如下 的传递函数如下
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 11/46
7.1 小波介绍
小波(wavelet)是什么 是什么 小波
在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内， 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍 续8) 小波介绍(续
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波 器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析 变成为现实 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之 后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其 广泛的应用
x+ y
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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1.巴特沃思低通滤波器(BLPF): 1.巴特沃思低通滤波器(BLPF): 巴特沃思低通滤波器 n级(n取2）巴特沃思低通滤波器 级 取 ）巴特沃思低通滤波器(BLPF)的传递函数为： 的传递函数为： 的传递函数为
1 H (u , v) = 1 + [ D(u, v) / D0 ]2 n
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7.1 小波介绍 续4) 小波介绍(续
1909: Alfred Haar(哈尔)
Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
17/46
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 10/46
小波变换的理论基础
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互 关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息， 关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅 立叶变换不同， 立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波 （Mother wavelet）的宽度来获得信号的频 ） 率特征， 率特征， 通过平移母小波来获得信号的时 间信息。 间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了 计算小波系数， 计算小波系数，这些小波系数反映了小波和 局部信号之间的相关程度。 局部信号之间的相关程度。
a ≥ 0且b > a, a的典型值在0.25到0.5之间, b的典型值在1.5到2.0之间. 当a = ( A − 1)且b = 1时高频加强转化为高频提升过虑. 当b > 1时, 高频得到加强.
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
5/46
频域滤波方法
1）将输入图像f乘以 (−1) 将输入图像f 进行中心变换； 进行中心变换； 将其进行DFT变换， DFT变换 2）将其进行DFT变换，即 F (u , v) ； 3）用滤波器函数 H (u, v) 乘以 F (u, v) ； 计算出结果后并对其进行反DFT变换， DFT变换 4）计算出结果后并对其进行反DFT变换，得 出实部； 出实部； (−1) x+ y 得出最后结果。 得出最后结果。 5）实部乘以
2 − D 2 ( u , v ) / 2 D0
H (u , v) = 1 − e
DO取30、80 取 、
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
3/46
3、高频加强滤波器（有选择性的增强） 高频加强滤波器（有选择性的增强） 理想高频加强滤波器的转移函数可表示成
H (u , v) = α + H l (u , v) H h (u , v)
STFT的时间-频率关系图
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 18/46
7.1 小波介绍 续6) 小波介绍(续
1980：Morlet(摩雷特 ) 摩雷特
20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)
图7-1 正弦波与小波——部分小波
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 14/46
7.1 小波介绍 续2) 小波介绍(续
小波简史
小波变换 (wavelet transform)是什么 是什么
老课题： 老课题：函数的表示方法 新方法： 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform － －
7.1 小波介绍 续7) 小波介绍(续
1988：Mallat算法(马拉特）
法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空 间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交 小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法。 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法， 其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的 地位
D0为30，80，230的截止频率为好 D0为30，80，230的截止频率为好
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 7/46
高通滤波器的平滑效果示意图： 高通滤波器的平滑效果示意图：
低通滤波器的平滑效果示意图： 低通滤波器的平滑效果示意图：
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
8/46
由三种滤波器构成： 由三种滤波器构成：ห้องสมุดไป่ตู้
增益为 H
h
增益为α 的全通滤波器 H a (u, v) = α
D
h0
1 − α , 截止频率为
的理想高通滤波器
h0 h0
0 (u , v ) = 1−α
1 − α , 截止频率为
D (u , v ) ≤ D D (u , v ) > D
D
l 0
1986：Y.Meyer(梅耶 梅耶) 梅耶
法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0的 整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
2011年3月22日 第7章 小波与小波变换 19/46
增益为 H
l
的理想低通滤波器
l0 l0
1 − α (u , v ) = 0
D (u , v ) ≤ D D (u , v ) > D
第7章 小波与小波变换
2011年3月22日
4/46
4、高频加强
高频加强 : H hfe (u,v) = a + bH hp (u,v) a≥0 b>0
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
13/46
7.1 小波介绍 续1) 小波介绍(续
部分小波
许多小波函数以开发者的名字命名，例如， 许多小波函数以开发者的名字命名，例如，
Moret小波函数是 小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 小波函数是 和 在 年开发的 db6缩放函数和 缩放函数和db6小波函数是 小波函数是Daubechies多贝西开发的 缩放函数和 小波函数是
7.1 小波介绍 续5) 小波介绍(续
1945: Gabor(伽柏 )
开发了STFT (short time Fourier transform)
STFT (τ , ω ) = ∫ s (t ) g (t − τ )e − jωt dt where: s (t ) = signal g (t )= windowing function windowing
1807: Joseph Fourier
傅立叶理论指出， 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和， 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
15/46
7.1 小波介绍 续3) 小波介绍(续
F (ω ) = ∫
+∞ −∞
f (t )e − jωt dt
第7章 小波与小波变换 章
复习上一课内容
1、频域增强步骤 第一步，将原空域图像f(x,y) f(x,y)乘以 第一步，将原空域图像f(x,y)乘以 ( −1) x+ y 作傅里 叶变换， 叶变换，得到其频谱 F（u,v); 第二步，根据处理要求，设计合适的转换函数H(u,v) ； 第二步，根据处理要求，设计合适的转换函数H(u,v) 第三步，将转换函数H和原空域图像的频谱F相乘: 第三步，将转换函数H和原空域图像的频谱F相乘: u,v)× F（u,v)× H(u,v) 按需要对某些频段的频谱进行增强， 按需要对某些频段的频谱进行增强，对另一些频段的频谱 进行抑制。 进行抑制。 第四步，对已经增强的频谱进行傅里叶反变换， 第四步，对已经增强的频谱进行傅里叶反变换，得到符合 处理要求的空域图像。 处理要求的空域图像。
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小波变换的定义
小波：持续时间有限，但具有不同频率的波形— 小波：持续时间有限，但具有不同频率的波形— 这种有限宽度的波形，称为小波(wavelet) (wavelet)。 —这种有限宽度的波形，称为小波(wavelet)。 基于小波函数的变换称为小波变换(wavelet 基于小波函数的变换称为小波变换(wavelet transforms，WT)。 transforms，WT)。
+∞ −∞
1 f (t ) = 2π
∫
F (ω ) e jωt
where e − jωt = cos ωt − j sin ωt
只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号， 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
作业
在频域中进行图像滤波、增强（锐化）： 1。巴特沃思低通滤波(BLPF)； 2。高斯低通滤波(GLPF)； 3。巴特沃思高通增强(BHPF)； 4。高斯高通滤波增强(GHPF)； 5。图像的高频加强增强； 6。有选择性的高频增强；
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
9/46
7.1 小波介绍
2011年3月22日
第7章 小波与小波变换
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1、巴特沃思高通滤波器(BHPF)： n阶（ n取2）且截止频 巴特沃思高通滤波器(BHPF)： (BHPF) 率距原点的距离为DO BHPF的传递函数如下:DO取30、 DO的 的传递函数如下:DO 率距原点的距离为DO的BHPF的传递函数如下:DO取30、80 1 为好。 为好。 H (u, v) =
小波分析属于时频分析的一种。 小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是 建立在傅里叶（ 建立在傅里叶（Fourier）变换的基础之上的，但 ）变换的基础之上的， 分析使用的是全局的变换， 是，Fourier分析使用的是全局的变换，无法表述 分析使用的是全局的变换 信号的时频局域性质， 信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非 平稳信号最根本和关键的性质。于是， 平稳信号最根本和关键的性质。于是，短时傅里 叶变换和小波变换应运而生， 叶变换和小波变换应运而生，而短时傅里叶变换 是一种单一分辨率的信号分析方法， 是一种单一分辨率的信号分析方法，使用的是一 固定的短时窗函数;而小波变换具有多分辨率分析 固定的短时窗函数 而小波变换具有多分辨率分析 的特点， 的特点，在时频两域都具有表征信号局部特征的 能力， 能力，其在低频部分具有较高的频率分辨率和较 低的时间分辨率， 低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分 辨率和较低的频率分辨率， 辨率和较低的频率分辨率，适合于探测正常信号 中夹带的瞬态反常现象，所以被誉为分析信号的 中夹带的瞬态反常现象， 数字显微镜。 数字显微镜。
D(u , v) = [(u − M / 2) 2 + (v − N / 2) 2 ]1/ 2
D0为30，80，230的截止频率为好 D0为30，80，230的截止频率为好 2.高斯低通滤波器(GLPF)： 2.高斯低通滤波器(GLPF)： 高斯低通滤波器(GLPF)
H (u , v) = e
2 − D 2 ( u , v ) / 2 D0