初三数学切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段知识精讲 人教版

初三数学切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段知识精讲
一. 本周教学内容：
切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段
［学习目标］
1. 切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2. 切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7. 与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法
相交弦定理⊙O中，AB、CD为
弦，交于P
PA·PB＝PC·PD 连结AC、BD，证：
△APC∽△DPB
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直
径，CD⊥AB于P
PC2＝PA·PB 用相交弦定理
切割线定理
⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2
＝PA ·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB ∽△PAT
切割线定理推论
PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C
PA ·PB ＝PC ·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C ·P'D ＝r 2
－OP'2
PA ·PB ＝OP 2－r 2
r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，
延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过
P 作切线用切割线定理勾股定理证 8. 圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数|OP R 2
2
-|（R 为圆半径），因为OP R 2
2
-叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

例1. 如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。

在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。

图1
解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理
()()11114
2
2
2
+=-+=
x x x ， ∴DE =-=11434，AE =+=1145
4，
∴：：：DE AE ==345
4
35
例2. ⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6cm ，BE ＝2cm ，CD ＝7cm ，那么CE ＝_________cm 。

图2
解：由相交弦定理，得 AE ·BE ＝CE ·DE
∵AE ＝6cm ，BE ＝2cm ，CD ＝7cm ， DE CD CE CE =-=-7， ∴627×=-CE CE ()， 即CE CE 2
7120-+=
∴CE ＝3cm 或CE ＝4cm 。

故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3. 已知PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则AB AC PB 2
2
：：=________。

解：∵∠P ＝∠P ∠PAC ＝∠B ， ∴△PAC ∽△PBA ， ∴
AB AC PB
PA
=
， ∴AB AC PB PA 222
2
=。

又∵PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，由切割线定理，得 PA PB PC 2
=·
∴AB AC PB PB PC PB
PC
222==·， 即 AB AC PB PC 2
2
：：=，
故应填PC 。

点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

例4. 如图3，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。

图3
解：∵PC 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线，且PA ：PB ＝1：4 ∴PB ＝4PA 又∵PC ＝12cm
由切割线定理，得PC PA PB 2
=· ∴1242
=PA PA · ∴PA 2
36=， ∴PA cm =6()
∴PB ＝4×6＝24（cm ） ∴AB ＝24－6＝18（cm ）
设圆心O 到AB 距离为d cm ， 由勾股定理，得
d cm =-=1091922() 故应填19。

例5. 如图4，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D ，（1）求证：CE CD CB 2
=·；（2）若AB ＝BC ＝2厘米，求CE 、CD 的长。

图4
点悟：要证CE CD CB 2
=·，即要证△CED ∽△CBE 。

证明：（1）连结BE
BC O A CBE OA OE A OEA OEA DEC CED CBE C 是⊙的切线∠∠∠∠∠∠∠∠∠公用角⇒==⇒==⎫
⎬⎪
⎭⎪⇒=⎫⎬⎭
⇒
△∽△·CED CBE CE CD CB
CE
CE CB CD ⇒
=⇒=2 （2）
BC O AB ABD AB OB BC OC OE 是⊙切线为直径∠°⎫
⎬⎭⇒==⇒==⎫
⎬⎪⎭
⎪⇒=+==⎫
⎬⎭902124151 ⇒=-CE 51。

又∵CE CD CB CB 2
2==·，，
∴()()512352
-=⇒=-CD CD 厘米。

点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6. 如图5，AB 为⊙O 的直径，弦CD ∥AB ，AE 切⊙O 于A ，交CD 的延长线于E 。

图5
求证：BC AB DE 2
=· 证明：连结BD ， ∵AE 切⊙O 于A ， ∴∠EAD ＝∠ABD
∵AE ⊥AB ，又AB ∥CD ， ∴AE ⊥CD
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°
∴∠E ＝∠ADB ＝90° ∴△ADE ∽△BAD ∴
AD AB DE
AD
=
∴AD AB DE 2
=· ∵CD ∥AB
∴AD BC ⋂=⋂
∴AD ＝BC ，∴BC AB DE 2
=·
例7. 如图6，PA 、PC 切⊙O 于A 、C ，PDB 为割线。

求证：AD ·BC ＝CD ·AB
图6
点悟：由结论AD ·BC ＝CD ·AB 得AD AB CD
BC
=
，显然要证△PAD ∽△PBA 和△PCD ∽△PBC 证明：∵PA 切⊙O 于A ， ∴∠PAD ＝∠PBA 又∠APD ＝∠BPA ， ∴△PAD ∽△PBA ∴
AD AB PD
AP =
同理可证△PCD ∽△PBC ∴
CD BC PD
PC
=
∵PA 、PC 分别切⊙O 于A 、C ∴PA ＝PC ∴
AD AB CD
BC
=
∴AD ·BC ＝DC ·AB
例8. 如图7，在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，以AB 边为直径作⊙O ，交斜边BC 于点D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E 。

图7
求证：BC ＝2OE 。

点悟：由要证结论易想到应证OE 是△ABC 的中位线。

而OA ＝OB ，只须证AE ＝CE 。

证明：连结OD 。

∵AC ⊥AB ，AB 为直径
∴AC 为⊙O 的切线，又DE 切⊙O 于D ∴EA ＝ED ，OD ⊥DE
∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°－∠B ∵∠ODE ＝90°
∴∠°∠EDC ODB =-90 ∴∠C ＝∠EDC ∴ED ＝EC
∴AE ＝EC
∴OE 是△ABC 的中位线 ∴BC ＝2OE
例9. 如图8，在正方形ABCD 中，AB ＝1，AC ⋂
是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。

点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作AC ⋂
所在圆的切线，交边DC 于点
F ，
G 为切点。

当∠DEF ＝45°时，求证点G 为线段EF 的中点；
图8
解：由∠DEF ＝45°，得
∠°∠°DFE DEF =-=9045，
∴∠DFE ＝∠DEF ∴DE ＝DF 又∵AD ＝DC ∴AE ＝FC
因为AB 是圆B 的半径，AD ⊥AB ，所以AD 切圆B 于点A ；同理，CD 切圆B 于点C 。

又因为EF 切圆B 于点G ，所以AE ＝EG ，FC ＝FG 。

因此EG ＝FG ，即点G 为线段EF 的中点。

【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题
1. 已知：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB ，若AB ＝8，弦AB 的弦心距3，则PA ＝（ ） A.
203
B.
253
C. 5
D. 8
2. 下列图形一定有内切圆的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
3. 已知：如图1直线MN 与⊙O 相切于C ，AB 为直径，∠CAB ＝40°，则∠MCA 的度数（ ）
图1
A. 50°
B. 40°
C. 60°
D. 55° 4. 圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）
A. 8cm
B. 10cm
C. 12cm
D. 16cm
5. 在△ABC中，D是BC边上的点，AD=22cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）
A. 23cm
B. 32cm
C. 22cm
D. 33cm
6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）
A. 20
B. 10
C. 5
D. 85
二、填空题
7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。

8. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。

9. 若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，PA=103，则PC 的长为_____________。

10. 正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于
P，则PC
PA
=_____________。

三、解答题
11. 如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O 于点M，且DE∥AC，求DE的长。

图2
12. 如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB 平分∠DCP。

图3
13. 如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，
且BM＝MN＝NC，若AB 22cm，求⊙O的半径。

图4
[参考答案]
一、选择题 1. A 2. C
3. A
4. B
5. B
6.
A
二、填空题 7. 90
8. 1 9. 30 10.
1
2
51()+
三、解答题：
11. 由切线长定理得△BDE 周长为4，由△BDE ∽△BAC ，得DE ＝1cm 12. 证明：连结AC ，则AC ⊥CB
∵CD ⊥AB ，∴△ACB ∽△CDB ，∴∠A ＝∠1
∵PC 为⊙O 的切线，∴∠A ＝∠2，又∠1＝∠2， ∴BC 平分∠DCP
13. 设BM ＝MN ＝NC ＝xcm
又∵BA BM BN BA cm 2
22==·，
∴·，∴()()22222
==x x x cm
∴BC cm ==236×()
又∵OA 是过切点A 的半径，∴OA ⊥AB 即AC ⊥AB 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得，AC BC AB cm =
-=-=2236827()
由割线定理：CD CA CN CM ··=，又∵CD CA AD =- ∴()CA AD CA CN CM -=··
()272724-=AD ·× AD =
107
7
∴半径为107
7
()cm 。