人教版高中数学必修4巧记积化和差公式

巧记积化和差公式
二倍积式化和差，角度前减后相加，
同名配余异配正，含C 连接号用加．
这里的“积式”是指含正弦、余弦两个三角函数式的乘积．此歌诀即为公式：
2cosαcosβ= cos(α-β) + cos(α+β)；
2 sinαsinβ= cos (α-β)- cos(α+β)；
2 sinαcosβ= sin (α-β) + sin(α+β)．
不难得知，在积式中只要有一个因式是余弦，则后面的连接号用加号；若不含有余弦则连号用减号．故有“含C 连接号用加”之说．
例1 sin x + sin y = sin x sin y , 求证：[2
sin 2cos y x y x +--]2 = 1． 证明：∵ sin x + sin y = sin x sin y , ∴ 2cos 2sin
2y x y x -+21=[cos(x -y ) - cos(x+y )] =)]2sin 21(12cos 2[21
22y x y x +----=12
sin 2cos 22-++-y x y x ． 由此可得 1 =2sin 2cos 2sin 22cos 22
y x y x y x y x ++-+--, 故 [2
sin 2cos y x y x +--] 2 = 1． 点评：从所给式的两边同时出发，一边和差化积，一边积化和差．这种双箭齐发的战术是我们必须要掌握的．另外，和差化积公式它实际上积化和差的逆运算，对于此公式我们也应有所了解．
例2 在△ABC 中，已知C
cos B cos A cos C sin B sin A sin ++++3=．求证：A 、B 、C 中至少有一个等于60o ． 证明：由已知条件得 B cos 3B sin A cos 3A sin -+-+0cos 3C sin =-C ,
即 2sin(A - 60o ) + 2sin(B -60o ) + 2sin(C - 60o ) = 0，
∴ 2B A cos 2120B A sin 2o --+02
60C cos 260C sin 2o o =--+， 故 0)2cos 260C (cos 206C sin
2o =----B A o ，从而可得 0260sin 260sin 260sin o o o =---A B C , 于是2
60sin ,260sin ,260sin o
o o ---A B C 中至少有一个为0．
又∵ A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴ 260A 0-，260B 0-，2
60C 0-中至少有一个为0， 故A 、B 、C 中至少有一个等于60o ．
点评：本例是运用和差化积公式解题的一个例子．从证法可知，对于含有附加条件的三角等式的证明，若从已知条件入手进行推证，必须注意对条件和结论的剖析，即既要分清条件式与求证式的差异（从条件入手推证正是从这里出发的），又要寻找其相互间的有机联系，这正是把条件代入求证式的突破口．。