高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及模拟题)

第三节 等比数列及其前n 项和
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1．等比数列的相关概念 S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1 q ＝a 1－q n 1－q
＝a 1－a n q
1－q q
[探究] 1.b 2
＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的什么条件？
提示：b 2
＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件，因为当b ＝0时，a ，c 至少有一个为零时，b 2
＝ac 成立，但a ，b ，c 不成等比数列；若a ，b ，c 成等比数列，则必有b 2
＝ac .
2．如何理解等比数列{a n }与指数函数的关系？ 提示：等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q
n －1
可改写为a n ＝a 1q
·q n
.当q >0，且q ≠1时，y
＝q x
是一个指数函数，而y ＝a 1
q
·q x
是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q
·q x
的图象上的一群孤立的点．
2．等比数列的性质
(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q 则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2
p .
(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2
＝S m (S 3m
－S 2m )(m ∈N *
，公比q ≠－1)．
(3)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n
＋3k
，…为等比数列，公比为q k
.
[自测·牛刀小试]
1．在等比数列{a n }中，如果公比q <1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列
C ．常数列
D ．无法确定数列的增减性
解析：选D 当a 1>0,0<q <1，数列{a n }为递减数列，当q <0，数列{a n }为摆动数列． 2．(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2
＋…＋log 3a 10＝( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 35
解析：选B ∵数列{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5
＝5log 3a 5a 6＝5log 39＝10.
3．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.
解析：∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 5－a 1＝15，
a 4－a 2＝6，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
q 4－
＝15，
a 1q 3－q ＝6.
∴q 2
－1≠0，q 4－1q 3－q ＝5
2
.
∴2q 2
－5q ＋2＝0，解得q ＝12或q ＝2.
当q ＝2时，a 1＝1，∴a 3＝a 1q 2
＝4.
当q ＝12时，a 1＝－16，∴a 3＝a 1q 2
＝－4.
答案：4或－4
4．在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a 2
3＋2a 3a 5＋a 2
5＝25， 即(a 3＋a 5)2
＝25，又a n >0，故a 3＋a 5＝5. 答案：5
5．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为q ，则4＝q 4
.即q ＝± 2. 当q ＝2时，插入的三个数是2，2,2 2. 当q ＝－2时，插入的三个数是－2，2，－2 2. 答案：2，2,22或－2，2，－2 2
[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1
＋a 10＝( )
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7
(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 2
5＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
(3)(2012·浙江高考)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，
S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.
[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝4，
a 7＝－2，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝－2，
a 7＝4，
所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－8，q 3＝－1
2，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
q 3
＝－2，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－8，a 10＝1，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a 10＝－8，
所以a 1＋a 10＝－7.
(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n ·q 2
＝5a n ·q ， 即2q 2
－5q ＋2＝0， 解得q ＝2或q ＝1
2(舍去)．
又∵a 2
5＝a 10＝a 5·q 5
， ∴a 5＝q 5
＝25
＝32. ∴32＝a 1·q 4
，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2
n －1＝2n ，故a n ＝2n
.
(3)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2
－q －3＝0，
解得q ＝3
2或q ＝－1(舍去)．
[答案] (1)D (2)2n
(3)32
—————
——————————————
等比数列运算的通法
与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等
比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1
(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1，q ＝1，a 1－q n
1－q
，q ≠1中共有
五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q 时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．
1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( ) A.1
16
B.18
C.14
D.12
(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.15
2 B.314 C.334
D.172
解析：(1)选B 在等比数列{a n }中，a 2
4＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12
，所以
a 7＝18
.
(2)选B 显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1q ·a 1q 3
＝1，a 1－q 3
1－q ＝7，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝4，q ＝1
2
，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，q ＝－1
3，(舍去)
故S 5＝
a 1
－q
5
1－q
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12
＝314.
[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 2是等差数列，并求a n .
[自主解答] (1)证明：∵由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①
知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1.
∴{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1
，
∴
a n ＋12
－a n 2＝3
4
. ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列．
∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －1
4. a n ＝(3n －1)×2n －2.
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等比数列的判定方法
(1)定义法：若
a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．
(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *
)，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n
(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．
(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n
－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
S n ＋54是等比数列．
解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .
依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22
，
即5＝b 1×22
，解得b 1＝54
.
所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3
.
(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝
5
4
－2
n
1－2
＝5×2
n －2
－54，即S n ＋54
＝5×2n －2
.
所以S 1＋54＝5
2，S n ＋1＋
5
4S n ＋
54
＝5×2n －15×2
n －2＝2.
因此⎩
⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以5
2为首项，以2为公比的等比数列.
[例3] (1)在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，则
a 41·a 42·a 43·a 44＝________.
(2)已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *
，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6
＝6，则S 12＝________.
[自主解答] (1)法一：a 1·a 2·a 3·a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2
·a 1q 3
＝a 4
1·q 6
＝1，①
a 13·a 14·a 15·a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54
＝8，② 由②÷①，得a 41·q 54
a 41·q
6＝q 48＝8⇒q 16
＝2，
又a 41·a 42·a 43·a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10
＝1·210
＝1 024.
法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，
设公比为q ，T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·q 3
＝1·q 3
＝8，
即q ＝2.
∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·q 10
＝210
＝1 024.
(2)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝6
3
，
即q 3
＝2.
故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3
＋a 2·q 3
＋a 3·q 3
)＋(a 1·q 6
＋a 2·q 6
＋a 3·q 6
)＋(a 1·q 9
＋a 2·q 9
＋a 3·q 9
)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3
＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6
＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9
＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3
＋q 6
＋q 9
)＝3×(1＋2＋22
＋23
)＝45.
法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则
a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63
，即q 3
＝2.
因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，
S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，
所以
S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6
＝ a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6
＝q 6
＝4.
所以S 12＝5S 6＝45. [答案] (1)1 024 (2)45 —————
——————————————
等比数列常见性质的应用
等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
3．已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后面3n 项的和． 解：∵S n ＝2，其后2n 项为S 3n －S n ＝S 3n －2＝12， ∴S 3n ＝14.
由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 即(S 2n －2)2
＝2·(14－S 2n )解得S 2n ＝－4，或S 2n ＝6.
当S 2n ＝－4时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是首项为2，公比为－3的等比数列， 则S 6n ＝S n ＋(S 2n －S n )＋…＋(S 6n －S 5n )＝－364， ∴再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝－364－14＝－378.
当S 2n ＝6时，同理可得再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝126－14＝112. 故所求的和为－378或112.
3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意q ＝1时，S n ＝na ，这一特殊情况．
(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
(3)在应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1和q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．
4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法
(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，
a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在
解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．
(2)整体思想：当公比q ≠1时，S n ＝
a 1
－q n
1－q
＝a 1
1－q ·(1－q n
)，令a 1
1－q
＝t ，则S n ＝t (1－q n )．把
a 1
1－q
与q n
当成一个整体求解，也可简化运算．
(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n
＝na 1；当q ≠1时，S n ＝
a 1
－q
n
1－q
；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．
(4)函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1
q
·q n
，它的各项是函数y ＝a 1q
·q x
图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.
创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题
1．在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题．
2．对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决．
[典例] (2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f (x )＝x 2
；②f (x )＝2x
；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③
D ．②④
[解析] 法一：设{a n }的公比为q . ①f (a n )＝a 2n ，
∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2， ∴{f (a n )}是等比数列．排除B 、D. ③f (a n )＝|a n |， ∵
|a n ＋1|
|a n |
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列． 法二：不妨令a n ＝2n
.
①因为f (x )＝x 2
，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n
)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f (x )＝2x
，
所以f (a 1)＝f (2)＝22
，f (a 2)＝f (4)＝24
，
f (a 3)＝f (8)＝28，
所以f a 2f a 1＝242＝4≠f a 3f a 2＝28
2
＝16，
所以{f (a n )}不是等比数列．
③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n
. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n
＝n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C [名师点评]
1．本题具有以下创新点
(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质．
(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．
2．解决本题的关键有以下两点
(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{a n }为正项等比数列，判断数列{a 2
n }，{2a n }，{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题．
(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键． [变式训练]
1．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝
( )
A.3
2 B.32或2
3 C.23
D ．以上都不对
解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2
－mx ＋2)(x 2
－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝1
2，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b
＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23
. 2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12
，a n ＝f (n )(n ∈N *
)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1 解析：选D 由已知可得a 1＝f (1)＝1
2
，
a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2，
a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123，…，
a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
n ，
∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .
∵n ∈N *
，∴12≤S n <1.
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )
A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n
B ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n
C ．4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
D ．4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
解析：选C (a ＋1)2
＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，
a 1＝4，q ＝3
2
，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
n －1.
2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10
＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选B 由题意可知a 3a 11＝a 2
7＝16，因为{a n }为正项等比数列，所以a 7＝4.所以log 2a 10
＝log 2(a 7×23)＝log 225
＝5.
3．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84
D ．189
解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，
∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2
＝21,3＋3×q ＋3×q 2
＝21， 1＋q ＋q 2
＝7，解得q ＝2或q ＝－3.
∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2
＝21×4＝84.
4．(2013·西安模拟)已知a ，b ，m ，n ，x ，y 均为正数，且a ≠b ，若a ，m ，b ，x 成等差数列，a ，n ，b ，y 成等比数列，则有( )
A ．m >n ，x >y
B ．m >n ，x <y
C ．m <n ，x <y
D ．m <n ，x >y
解析：选B ∵m ＝
a ＋b
2
，n ＝ab (a ≠b )，∴m >n .
又2b ＝m ＋x ，由b 2
＝ny ，得b ＝ny ， 即2ny ＝m ＋x ≥2mx ，∴ny ≥mx ， 即ny ≥mx ，y x ≥m
n
>1.∴y >x .
5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝18，则a 2a 3a 4等于( ) A ．36 B ．216 C ．±36
D ．±216
解析：选B 由等比数列的性质得a 2
3＝a 1·a 5＝2×18＝36， 又a 3＝a 1q 2
＝2q 2
>0，故a 3＝6. 所以a 2a 3a 4＝a 3
3＝216.
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2
n －1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
D.
12
n －1
解析：选B 利用等比数列知识求解． ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n .
∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n .∴3a n ＝2a n ＋1. ∴
a n ＋1a n ＝3
2
.
又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴a 2a 1＝1
2
.
∴{a n }从第二项起是以3
2为公比的等比数列．
∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32
＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫32n －
1
⎝
⎛
也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －2
2n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，
⎭
⎪⎫求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2
)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2
8．若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.
解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2
＝22⇒q 3
＝22，a 12＝q 12
＝64. 答案：64
9．(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (a ·b )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，a n ＝f n
n
(n ∈N *
)，b n ＝
f
n
2
n
(n ∈N *
)，
考察下列结论．
①f (0)＝f (1)；②f (x )为偶函数；③数列{a n }为等比数列；④{b n }为等差数列．其中正确的是________．
解析：令a ＝0，b ＝0，则f (0)＝0，令a ＝b ＝1， 则f (1)＝2f (1)，故f (0)＝f (1)＝0； 设a ＝－1，b ＝x ，
因为f (1)＝f [ (－1)×(－1)]＝－2f (－1)， 则f (－1)＝0，
所以f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )，
f (x )为奇函数；
f (2n
)＝2f (2n －1
)＋2n －1
f (2)＝2f (2n －1
)＋2n
⇒
f
n
2
n
＝
f
n －12
n －1
＋1，则{b n }为等差数列；
∵b 1＝f
2
＝1，∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .
∴
f
n
2
n
＝n ，a n ＝
f n
n
＝2n
，则数列{a n }为等比数列．
答案：①③④
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；
(3)当k ＝－1时，求和a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n . 解：(1)∵S n ＝1＋ka n ，①
S n －1＝1＋ka n －1，②
①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1
为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为
k
k －1
的等比数列．
(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝
11－k
. ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－k
n －1
k －
n
.
(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，
∴{a 2
n }是首项为⎝
⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k k －12的等比数列．
当k ＝－1时，等比数列{a 2
n }的首项为14，公比为14，
∴a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .
11．设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝2
3(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)∵S 1＝2
3
(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.
又S 2＝2
3(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，
∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4. ∵{a n }为等差数列， ∴公差d ＝
a 5－a 23
＝6
3
＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝2
3
(b n ＋1－1)，①
S n ＝23
(b n －1)，②
①－②得S n ＋1－S n ＝2
3(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，
∴b n ＋1＝－2b n .
∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，首项b 1＝－2， ∴b n ＝(－2)n
. ∴S n ＝23
[(－2)n
－1]．
12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对n ∈N *
均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵由已知得a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2
＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)．
∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *
)． 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n ＝3·3
n －2
＝3
n －1
(n ∈N *
)．
(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋
c n －1
b n －1
＝a n . 两式相减得，n ≥2时，c n b n
＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3
n －1
(n ≥2)．
又当n ＝1时，c 1
b 1
＝a 2， ∴c 1＝3.
∴c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n ＝，
2·3n －1n
∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋
6－2×3
2 013
1－3
＝3＋(－3＋3
2 013
)＝32 013
.
1．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6
D ．4 2
解析：选A 法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 3
2＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8
＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3
＝(5016
)3＝5 2.
法二：由等比数列的性质知a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9构成等比数列，所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝(a 4a 5a 6)2
，
即a 4a 5a 6＝±5×10＝±52，
又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4
D ．1∶3
解析：选C 由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2
＝S 3·(S 9
－S 6)，
将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝3
4
.
3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝4，a 4a 5a 6＝212
. (1)求首项a 1和公比q 的值； (2)若S n ＝210
－1，求n 的值． 解：(1)∵a 4a 5a 6＝a 3
5＝212
⇒a 5＝16，
∴a 5
a 3
＝q 2＝4⇒q ＝2，a 1q 2
＝a 3，解得a 1＝1.
(2)由S n ＝210
－1，得S n ＝
a 1q n －
q －1
＝2n
－1，
∴2n －1＝210－1⇒2n ＝210
，即n ＝10.
4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝
a n ＋a n ＋1
2
，n ∈N *
.
(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝
a n －1＋a n
2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－1
2
b n －1，
所以{b n }是以1为首项，以－1
2
为公比的等比数列．
(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1
，
当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2
＝1＋1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1
＝53－23⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1
， 又a 1＝1也符合上式，所以{a n }的通项公式为
a n ＝5
3－23⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12n －1(n ∈N *)．。