2007年高考.辽宁卷.理科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供理科考生使用）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么
其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
3
4π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)
(012)k k n k
n n P k C p p n n -=-=，，，， 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{1
2345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则=⋂)B C ()A (C U U （ ） A ．{1}
B ．{2}
C ．{24}，
D ．{1
234}，，，
2．若函数()y f x =的反函数图象过点(1
5)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(11)
， B ．(15)，
C ．(51)，
D ．(55)，
3．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫
⎪⎝⎭
a a c =a -
b a b ，则向量a 与
c 的夹角为（ ） A ．0
B ．
π
6
C ．
π3
D ．π2
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
5．若35ππ44θ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ）
A ．(12)--，
B ．(12)-，
C ．(12)-，
D ．(1
2)，
7．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m α
γ=n βγ=，m n ∥，则αβ∥
C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≤，
≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）
A ．965⎛⎫
⎪⎝⎭
， B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，
C ．(][)36-∞+∞，，
D ．[36]，
9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A ．
122
B ．
111 C ．
322
D ．
211 10．设p q ，是两个命题：2
12
51:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）
A
．
B ．12
C
．
D ．24
12．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且
()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．
出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知函数2
cos (0)()1(0)
a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a = ．
14．设椭圆
22
12516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1
()2
OM OP DF =+，则||OM = ．
15
为 ．
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛
⎫⎛⎫=+
+--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间．
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30． （I ）证明：111A B C D ⊥；
（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．
19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函
数关系式为3
232010(0)3
q C q q q =-++> 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：
市场情形 概率 价格p 与产量q 的函数关系式 好 0.4 1643p q =- 中 0.4 1013p q =- 差
0.2
704p q =-
设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．
（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；
（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值．
1A 1C
1B
C
B
A
M
D
E
20．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；
（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ，的最大值和最小值． 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：
n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.
（I ）若()1
02f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞
存在，求x 的取值范围； （II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，
1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N *，lim n n a →∞
（用t 表示）．
22．（本小题满分12分）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1
()()2
g x f x =．
（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；
（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；
（III ）证明：3()2
f x ≥．
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(供理科考生使用)试题答案与评分参考
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）B （2）C （3）D （4）B （5）B （6）A （7）C （8）A （9）D （10）A （11）B （12）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）-1（14）2（15）π34（16）30
三、解答题
（17）本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.
(Ⅰ)解：)1(cos cos 2
1sin 23cos 21sin 23)(+--++=
x x x x x x f ωωωωω 1)cos 2
1
sin 23(2--=x x ωω
1)6
π
sin(2--=x ω ···························································· 5分
由1-≤)6πsin(-x ω≤,得3-≤2)6
π
sin(-x ω1-≤1.
可知函数)(x f 的值域为[-3,1]. ··············································· 7分
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(x f y =的周期为ω又由π,＞0，得π2
π
2=，即得
.2=ω ·········································································· 9分
于是有1)2π2sin(2)(--
=x x f ，再由2π2-πk ≤6π2-x ≤2
π
2+πk )(Z ∈k ，解得 6π-
πk ≤x ≤3
π
+πk )(Z ∈k . 所以)(x f y =的单调增区间为[6π-
πk ，3
π
+πk ])(Z ∈k . ········ 12分 （18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分
12分.
(Ⅰ)证明：连结CD.
∵三棱柱ABC-A ，BC 是直三棱柱. ∴.1ABC CC 平面⊥
∴CD 为C 1D 在平面ABC 内的射影. ∵△ABC 中，AC =BC ，D 为AB 中点. ∴,CD AB ⊥
∴,1D C AB ⊥ ∵,//11AB B A
∴.111D C B A ⊥
（Ⅱ）解法一：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF . ∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点. ∵,//AC DE
又,,//AC CE CE AF ⊥ ∴,DE AF ⊥
∵AF 为MF 在平面ABC 内的射影， ∴,DE MF ⊥
∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA . 在Rt △MAF 中,,2
21a
BC AF == ︒=∠30MFA , ∴.6
3
a AM =
作MF AG ⊥，垂足为G. ∵,,DE AF DE MF ⊥⊥ ∴.AMF DE 平面⊥
∴.AMF MDE 平面平面⊥ ∴.MDE AG 平面⊥
在Rt △GAF 中, ︒=∠30MFA ，AF =
,2
a ∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4
a
.
∵,//DE CA ∴,//MDE CA 平面
∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等,为
4
a ， 解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF . ∵D 、E 分别为AB 、CB 的中点， ∴,//AC DE
又∵,,//AC CE CE AF ⊥ ∴,DE AF ⊥
∵,ABC MA 平面⊥
∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影， ∴,DE MF ⊥
∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA . 在Rt △MAF 中,,2
21a
BC AF == ︒=∠30MFA , ∴.6
3
a AM =
设C 到平面MDE 的距离为h . ∵MD E C CNE M V V --=,
∴
.·3
1·31h S MA S MDE CDE ∆∆= ,63
,8·212a MA a DE CE S CDE ===∆
,6330cos ,21·212
a AF DE MF CE S MDE =︒==∆
∴,12
383122h a a ⨯⨯⨯ ∴4a h =,即C 到平面MDE 的距离相等,为4
a
(19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知
识建模解决实际问题的能力.满分12分 .
(Ⅰ)解:由题意可得
L 1=)102033
()?
3164(22
++---q q q q q 101443
3
-+-=q q (q ＞0).
同理可得10813
3
2-+-=q q L (q ＞0) 10503
3
3-+-=q q L (q ＞0) ··············· 4分
(Ⅱ) 解:由期望定义可知
3212.04.04.0L L L E ++=ξ
)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.03
33-+-⨯+-+-⨯+-+-⨯=q q q q q q
.101003
3-+-=q q
(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知ξE 是产量q 的函数,设 101003)(3
-+-==q q E q f ξ(q ＞0)
得='+-=')(.100)(2
q f q q f 令0解得 10,10-==q q (舍去).
由题意及问题的实际意义(或当0＜q ＜10时,f ′(q )＞0;当q ＞10时, f (q ) ＜0＝可知,当q=10时, f (q )取得最大值,即ξE 最大时的产量q 为10.
(20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解法一:设A 、B 两点坐标分别为),2
(),,2(22
2
121y y y y ，由题设知 .)()22()2()2(22122
2212
222221221y y y y y y y y -+-=+=+解得 ,122
221==y y
所以).32,6(),32,6()32,6(),32,6(B A B A --或 设圆心C 的坐标为（r ,0），则.463
2
=⨯=
r 因此圆C 的方程为 .16)4(22=+-y x ··················· 4分 解法二：设A 、B 两点坐标分别为),,(),,(2211y x y x 由题设知
2
2
222121y x y x +=+. 又因为,22,2,222
2121222121x x x x x y x y +=+==可得即 .0)2)((2121=++-x x x x
由x 1＞0，x 2＞0，可知x 1=x 2，故A 、B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上. 设C 点的坐标为（r ,0），则A 点坐标为)23,23
(r r ，于是有r r 2
32)23(2⨯=，解得r =4,所以圆C 的方程为
.16)4(22=+-y x ··················· 4分
(Ⅱ)解：设∠ECF =2a ,则
16cos 322cos 162|穋os |穦|·2-===a a a CF CE CF CE . ·· 8分
在Rt △PCE 中,|
|4
||cos PC PC r a ==.由圆的几何性质得 ||PC ≤,8171||=+=+MC ||PC ≥,6171||=-=-MC · 10分
所以
21≤αcos ≤3
2
，由此可得 8-≤CF CE ·≤9
16
-.
故·的最大值为9
16
-，最小值为8-.
········· 14分 （21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)解法一：由题设知⎩⎨
⎧=++=++,
21111n n n b a tbn a 得112++=n n a t
a ，又已知2≠t ,可得
).2
2
(2221-+=-+
+t a t t a n n 由⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t t tb t a t t b g b f n 所以可知 是等比其首项为2,2t
t t tb 公比为-+
.于是 .2
)2)(2()2)(2(221,1---++-+=-+--t t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即
又lim a n 存在，可得0＜|2
|t
＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t
.22
lim t
a n n -=∞→ 解法二.由题设知t
b n +1=2b n +1,且.2≠t 可得
).2
1
(2211-+=-++t b t t b n n
由,0,2),()(≠≠≠t t b g b f 可知02,021≠≠-+t t b ,所以⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+21t b n 是首项为21-+t b ,公2
t
的等比数列. .2
1)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即
由12++n n b a 可知，若n n a ∞
→lim 存在，则n n b ∞
→lim 存在.于是可得0＜|2
|
t
＜1,所以-1＜t 0≠. n n a ∞
→lim =2n n b ∞
→lim .22t
-=
解法三:由题设知tb n +1=2b n +1,即
,2
121+=
+n n b t b ① 于是有
,2
1212+=
++n n b t b ② ②-①得得令,),(2
1112n n n n n n n b b c b b t
b b -=-=-++++
.21n n c t
c =+
由02
,021)2(10,2),()(12≠≠+-=-=≠≠≠t
b t b b
c t t b g b f 可知，所以{}n c 是首项为b 公比
为
2
t
的等比数列，于是 .)(2
1)2(1)(121211b b b t t b c c c b n
n n +---=++⋯⋯++=+ t
t b a n n n --=
=+2]
)2(1[421（b 2-b 1）+2b . 又n n a ∞→lim 存在，可得0＜|2
|t
＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t .22
2)(24lim 12t
b b b t a n n -=+--=∞→ 说明：数列{}n a 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准. (Ⅱ)证明：因为)(),)(),()(11(111
n n n n n a f b b f b g a x f
x g ====++-+-即所以.
下面用数学归纳法证明1+n a ＜*)(N ∈n an . (1)当n =1时，由f (x )为增函数,且)1(f ＜1,得 )1()(11f b f a ==＜1 )1()(12f a f b ==＜1 )(22b f a =＜1)1(a f =， 即2a ＜1a ，结论成立.
（2）假设n=k 时结论成立，即1+k a ＜k a .由f (x )为增函数，得 )(1+k a f ＜f k a 即2+k b ＜1+k b 进而得
)(1+k a f ＜f (1+k b )即2+k a ＜1+k a .
这就是说当n =k +1时，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对任意的*)(N ∈n ，1+n a ＜n a .
(22)本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x x te e x g x e t e x g
又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜x
x e e -+2，即
12)(2+-='x x te e x g ＞0.
由此可知，)(x g 为R 上的增函数.
(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t 12)(2+-='x x te e x g ＜0，即t ＞x x e e -+2
在闭区间[a ,b ]上成立即可.
因此y =x
x e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数.
证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时
12)(2+-='x x te e x g ＜0，
在闭区间[a ,b ]上成立即可.
令,x
e m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当
122+-tm m ＜0(],[b a e e m ∈).
而上式成立只需
⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--b
b a
a e
e t e e t 22 成立.取a a e e -+2与b b e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数.
(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x e t x e t t F x x
,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F x
x 易得
)(t F ≥1)(2
1
2+-x e x .
令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x -='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0.故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以
1)(212+-x e x ≥2
3， 于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f ≥2
3
.
证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x e t x e t x x
)(t F ≥2
3
，当且仅当
2
1
)(22222-+++-x e t x e t x x ≥0
只需证明
)2
1
(42)(4222--⨯-+x e x e x x ≤0，即
2)(x e x -≥1
以下同证法一.
证法三：设)(t F =1)(22222
++++-x e
t x e t x
x
，则
).(24)(x e t t F x +-='
易得.0)2(=+'x e F x 当t ＞2x e x +时, )(t F '＞0; t ＜2x e x +时, )(t F '＜0，故当t =2
x
e )(t F 取最小值.1)(2
12
+-x e x 即
)(t F ≥.1)(2
1
2+-x e x
以下同证法一.
证法四: )(x f 1)()(2
2
+-+-=t x t e x
设点A 、B 的坐标分别为),(),(t t 、e x x
，易知点B 在直线y =x 上，令点A 到直线y =离为d ，则
)(x f 1||2+=AB ≥.1)(2
1122+-=
+x e d x
以下同证法一.。