2020年山东高考数学金榜冲刺卷08(含解析)

2020年高考金榜冲刺卷（八）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．
1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5M =，集合{}3,4N =，则图中阴影部分所示的集合是（ ）
A ．{}1
B ．{}3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}4
2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21i
a z =-
-是纯虚数“是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不
同的摆放方法有（ ）种 A ．24 B ．36
C ．48
D ．60
4．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=（ ）
A ．
12
B C ．12
-
D ． 6．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
12
13
B ．
1314
C ．
2129
D ．
1415
7．设0.231
log 0.6,log 2
0.6m n ==
，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+
D ．m n m n mn +>->
8．已知函数46()4sin 2,0,63f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=-
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x L ，且123n x x x x <<<<L ，则1231222n n x x x x x -+++++L =（ ）
A ．
12763
π
B ．445π
C ．455π
D ．
14573
π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部
选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）
A ． 0d >
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．
0n S >时n 的最小值为8 10．下列命题中不正确．．．
的是（ ） A ．设m 为直线，,αβ为平面，且m α⊥；则“//m β”是“αβ⊥”的充要条件
B ．设随机变量1)0(N ζ，
:，若()3P p ζ≥=，则()1
302
P p ζ-<<=- C ．若不等式9
22x m x
+
≥+(0x >)恒成立，则m 的取值范围是(,2)-∞ D ．已知直线2ax by +=经过点(1
)3，，则28a b +的取值范围是[4)+∞， 11．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2
3
（细
管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）
A ．沙漏中的细沙体积为
3102481
cm π
B ．沙漏的体积是3128cm π
C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈）
12．已知P 是双曲线22
:13x y C m
-=上任一点，,A B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点.设直线,PA PB 的
斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12k k t +≥恒成立，且实数t 则下列说法正确的是（ ）
A ．双曲线的方程为2
213
x y -=
B ．双曲线的离心率为2
C ．函数log (1)(0,1)u y x a a =->≠的图象恒过C 的一个焦点
D ．直线230x y -=与C 有两个交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量()2,1AB =u u u r ，()3,AC t =u u u r ，1BC =u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r
__________．
14．过点(的直线将圆()2
2325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为__________．
15．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体的表面上运动，且与点A 的距离为
3
.动点P 的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD 1C 1上部分的形状是__________；整条曲线的周长是__________．
16．若曲线(1)1
x
m
y xe x x =+
<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB =4AC =，3AD =.
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积.
18．（12分）给出下列条件：①焦点在x 轴上；①焦点在y 轴上；①抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；①抛物线的准线方程是2x =-.
（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是
24y x =，并说明理由；
（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2
:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥u u u r u u u r
？请说
明理由.
19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）令1
(1)(2)
n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n
T . 20．（12分）如图，四棱锥S ABC -中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,AD SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．
（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； （2）若1
2
EF BC =
，求二面角B SC D --的余弦值． 21．（12分）设()x f x ae a =-，2
()g x ax x =-，其中0a >.
（1）证明：()()f x g x ≥；
（2）设函数()()()2F x f x g x ax =+-，若()F x 在R 上单调递增，求a 的值.
22．（12分）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；
y 表示人数)：
（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
1
2
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +）
，直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx
y
b a
y b x x
nx ==-==--∑∑.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．
1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5M =，集合{}3,4N =，则图中阴影部分所示的集合是（ ）
A ．{}1
B ．{}3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}4
【答案】D
【解析】由图可知，阴影部分表达的集合是()N C M N ⋂；容易知{}3M N ⋂=,故(){}4N C M N ⋂=.故选：D.
2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21i
a z =-
-是纯虚数“是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222
a a a a z +=
-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.
3．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24
B ．36
C ．48
D ．60
【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有2
2A 种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体
与其它两本共三本，有23
23A A 种排法；①23223224A A A =，故选：A.
4．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，
1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A.
5．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=（ ）
A ．
1
2
B ．
2
C ．12
-
D ． 【答案】A
【解析】由题意可得三角函数的定义可知：
22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o
o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47
α==+o o o o
，则： ()()
1
sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin13cos 4713cos60.
2
ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o
6．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
12
13
B ．
1314
C ．
2129
D ．
1415
【答案】C
【解析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+,在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()2
2252x x +=+，解得21
4
x =
,所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21
214P 2122924
x x ===++,故选C.
7．设0.231
log 0.6,log 2
0.6m n ==
，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+ D ．m n m n mn +>->
【答案】B
【解析】因为0.30.32211
log 0.6log 10,log 0.6log 1022
m n =>==
<=，
所以0,0mn m n <->，因为0.60.60.611
2log 2log 0.250,log 0.30n m -
=-=>=>，而0.60.6log 0.25log 0.3>，所以11
0n m
->>，即可得0>+n m ，因为()()20m n m n n --+=->，所以
m n m n ->+，所以m n m n mn ->+>，故选B.
8．已知函数46()4sin 2,0,63f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=-
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x L ，且123n x x x x <<<<L ，则1231222n n x x x x x -+++++L =（ ）
A ．
12763
π
B ．445π
C ．455π
D ．
14573
π
【答案】C
【解析】函数()4sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令26
2
x k π
π
π-
=
+得1,23
x k k Z π
π=
+∈，即()f x 的对称轴方程为1,23
x k k Z π
π=
+∈. ①()f x 的最小正周期为46,03T x
ππ=剟.当30k =时，可得463
x π
=， ①()f x 在460,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数()4sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭与3y =的交点有31个，且交点12,x x 关于
3π对称，23,x x 关于56
π
对称，……，即133123202529
2,2,,2662
3x x x x x x ππππ⎛⎫+=
⨯+=⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭L ， 将以上各式相加得：1233031232x x x x x +++++L
25892(25889)4556663πππππ⎛⎫=+++=++++⨯= ⎪⎝⎭
L L 则1231222455n n x x x x x π-+++++=L ，故选C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部
选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）
A ． 0d >
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．
0n S >时n 的最小值为8 【答案】ABD
【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确；因为
22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，由7722
d n n d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022
n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确.故选：ABD.
10．下列命题中不正确．．．
的是（ ） A ．设m 为直线，,αβ为平面，且m α⊥；则“//m β”是“αβ⊥”的充要条件
B ．设随机变量1)0(N ζ，
:，若()3P p ζ≥=，则()1
302
P p ζ-<<=- C ．若不等式9
22x m x
+
≥+(0x >)恒成立，则m 的取值范围是(,2)-∞ D ．已知直线2ax by +=经过点(1
)3，，则28a b +的取值范围是[4)+∞， 【答案】AC
【解析】A 选项，如图所示：
αβ⊥，m α⊥，m β⊂，不一定//m β，因此不是充要条件，故A 错误.
B 选项，对称轴为0x =，由对称性可知：121
(30)22
p P p ζ--<<=
=-.故B 正确.
C 选项，由96x x +
≥=，可得622m ≥+，所以m 的范围为(]2-∞，
，故C 不正确.
选项D ，由直线2ax by +=经过点(1,3)，可得32a b +=，则284a b +≥==，当且仅当31a b ==等号成立， 所以取值范围是[4,)+∞，故D 正确．故答案为：AC.
11．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2
3
（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）
A ．沙漏中的细沙体积为
3102481
cm π
B ．沙漏的体积是3128cm π
C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈） 【答案】ACD
【解析】A ．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径28
433
r cm =
⨯=，所以体积23
121641610243339381
h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=；
B ．沙漏的体积2
231125622483233h V h cm πππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
；
C ．设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：
2
1102418132h h ππ⎛⎫
⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以
1102416813
h ππ
=，所以1 2.4h cm ≈； D ．因为细沙的体积为
3102481
cm π
，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281
π
⨯=⨯≈秒.故选：ACD. 12．已知P 是双曲线22:13x y C m
-=上任一点，,A B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点.设直线,PA PB 的
斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12k k t +≥恒成立，且实数t
则下列说法正确的是（ ）
A ．双曲线的方程为2
213
x y -=
B ．双曲线的离心率为2
C ．函数log (1)(0,1)u y x a a =->≠的图象恒过C 的一个焦点
D ．直线230x y -=与C 有两个交点
【答案】AC
【解析】设00000(,),(,),(,),A x y B x y P x y x x --≠±，222222
001,,333
mx x y mx y m y m m -==-=-，
22
00012220003k y y y y y y m x x x x x x k -+-=⋅==-+-，12
k k ∴+≥，若12k k == 直线,PA PB 与渐近线平行或重合，不合题意，所以不等式取不到等号，
而12k k t +≥恒成立，1t m ∴≤=∴=，双曲线方程为2
213
x y -=，选项A 正确；
双曲线的离心率为
3
，选项B 错误； 双曲线的焦点为(20)?，函数log (1)(0,1)u y x a a =->≠的图象过定点(2,0)， 所以选项C 正确；
双曲线2213x y -=渐近线方程为y x =，
而直线230x y -=的斜率为23>，所以直线230x y -=与双曲线没有交点，所以选项D 错误.故选：AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量()2,1AB =u u u r ，()3,AC t =u u u r ，1BC =u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r
__________．
【答案】7
【解析】因为()1,1BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ；①1BC =u u u r ，①()2
221110t t +-=⇒=；
①()3,1AC =u u u r ，①23117AB AC ⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r
.故答案为7.
14．过点(的直线将圆()2
2325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该
直线的斜率为__________．
【解析】Q 点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，
∴只有当过点(的直线与过点(和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角
最小，Q 过点(和圆心()3,0的直线斜率为k =
=，∴过点(的直线斜率为
13
k -
=
，故答案为3.
15．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体的表面上运动，且与点A 动点P 的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD 1C 1上部分的形状是__________；整条曲线的周长是__________．
【答案】圆弧
【解析】由题意得，此问题的实质是以A 为球心、
3
为半径的球在正方体1111ABCD A B C D -各个面上交线的长度计算，正方体的各个面，根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、11AA DD 、11AA BB 为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为
6
π
、1111D C B A 、11B BCC 、11D DCC 为与球心距离为1的截面，
截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r =
2π．∴这条曲线长度为
3363
2
36
ππ
⋅
⋅+⋅
⋅
=．故答案为： 圆弧；6.
16．若曲线(1)1
x
m
y xe x x =+
<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为__________． 【答案】427,0e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【解析】由题意可得，2
(1)0(1)
x
m
y x e x '=+-
=+，即3(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解. 设3()(1)(1)x f x x e x =+<-，2()(1)(4)x
f x x e x '=++.当4x <-时，()0f x '<；当41x -<<-时，
()0f x '>.函数在(,4)-∞-单调递减，(4,1)--单调递增，所以min 427
()(4)f x f e
=-=-
，当1x <-时，()0f x <，由洛必达法则32(1)3(1)6(1)6
lim lim lim lim 0x x x x x x x x x x x e e e e
----→-∞→-∞→-∞→-∞+++====--, 故4
27,0m e ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭.故答案为：427,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB =4AC =，3AD =.
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【解析】（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，
在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC
+-+-+=⨯⨯，
因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，
所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.
（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以1
4362
ADC S ∆=
⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以
1
sin 21
sin 2
ACE BCE
AC CE ACE
S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===.
所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+
7125BCE S ∆==，所以60
7
BCE S ∆=
. 即BCE ∆的面积为
60
7
. 18．（12分）给出下列条件：①焦点在x 轴上；①焦点在y 轴上；①抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；①抛物线的准线方程是2x =-.
（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是
24y x =，并说明理由；
（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2
:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥u u u r u u u r
？请说
明理由.
【解析】（1）因为抛物线2
:4C y x =的焦点()1,0F 在x 轴上，所以条件①适合，条件①不适合.
又因为抛物线2
:4C y x =的准线方程为：1x =-，所以条件①不适合题意，
当选择条件①时，1112A AF x =+=+=，此时适合题意，
故选择条件①①时，可得抛物线C 的方程是2
4y x =；
（2）假设总有OA OB ⊥u u u r u u u r
，由题意得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为4x ty =+，
由244
y x x ty ⎧=⎨=+⎩得24160y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以>0∆恒成立，124y y t +=，1216y y =-，
则()()121244x x ty ty =++()2
1212416t y y t y y =+++2216161616t t =-++=，
所以121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=u u u r u u u r ，所以OA OB ⊥u u u r u u u r ，综上所述，无论l 如何变化，总有OA OB ⊥u u u r u u u r .
19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）令1
(1)(2)
n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n
T . 【解析】（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+．
设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d
=+=+，可解得14,3b d ==，
所以31n b n =+．
（2）由（1）知()
()
()1
16631233n n n n
n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341
322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，
()3452
2322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得
()()
()2341222
4213222221234123221n
n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
所以
232n n T n +=⋅．
20．（12分）如图，四棱锥S ABC -中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,AD SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．
（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； （2）若1
2
EF BC =
，求二面角B SC D --的余弦值． 【解析】（1）连接AC 、BD 交于点G ，连接EG 、FG ．
因为四边形ABCD 为矩形，且E 、F 分别是AD 、SC 的中点，
所以EG CD P ，且FG SA P ．又SA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥平面ABCD ，所以GF AD ⊥． 又AD GE ⊥，GE GF G =I ，所以AD ⊥平面GEF ，所以AD EF ⊥．
因为EF 与平面ABCD 所成的角为45︒，所以45FEG ∠=︒，从而GE GF =．所以SA AB =． 取SB 的中点H ，连接AH 、FH ，则由F 、H 分别为SC 、SB 的中点， 从而1
2
FH BC AE P
P ，从而四边形AEFH 为平行四边形． 又由SA AB =，知AH SB ⊥．又BC ⊥平面SAB ，所以AH BC ⊥．
又SB BC B ⋂=，从而AH ⊥平面SBC ．从而EF ⊥平面SBC ．SC ⊂平面SBC ，从而EF SC ⊥． 综上知EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线．
（2）因为12EF BC =
，设1BC =，则1EF =，从而GE GF ==，所以SA AB ==， 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，
则)
B
、()0,2,0D 、(S 、)C
，从而，SC =
u u u r
，()0,2,0BC =uu u r
．
设平面BCS 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ，则110
n SC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v
u v u u u v ， 令11z =，从而得()11,0,1n =u r
．同理，可求得平面SCD
的一个法向量为(2=u u r n ．
121212cos 3⋅⋅===u u r u u r
u u r u u r u u r u u r n n n n n n ．设二面角B SC D --的平面角为θ
，从而cos 3
θ=-
. 21．（12分）设()x f x ae a =-，2
()g x ax x =-，其中0a >.
（1）证明：()()f x g x ≥；
（2）设函数()()()2F x f x g x ax =+-，若()F x 在R 上单调递增，求a 的值.
【解析】（1）令()()()2
x
h x f x g x ae x ax a =-=+--，所以()2x
h x ae x a =+-'，
所以()2x
h x ae x a =+-'在R 上单调递增，且()0
0200h ae a =+⨯-='
易知当(),0x ∈-∞时，()0h x '<，当()0,x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()h x 的最小值为()00h =，所以()()f x g x ≥成立.
（2）由题意得()()()2
2x
F x f x g x ax ae x ax a =+-=---.则()2x
F x ae x a =--'.
易知当x →-∞或x →+∞时，均有()F x '→+∞.
因为函数()F x 在R 上单调递增，所以()0F x '≥在R 上恒成立.
()F x '的导函数()2x F x ae '=-'，令()0F x ''=，得2x ln a
=，
当2x ln
a <时，()0F x ''<，()F x '递减；当2
x ln a
>时，()0F x ''>，()F x '递增.
则()F x '的最小值为2F ln
a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭.所以22220F ln ln a a a ⎛⎫
=-'-≥ ⎪⎝⎭
. 令()2
222222a ln a lna a ln a
ϕ=--=--+， 则()2
1a a
ϕ'=
-，则()a ϕ在()0,2上递增，在()2,+∞上递减， 所以()()20a ϕϕ≤=，当且仅当2a =时取等号.所以2a =.
22．（12分）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；
y 表示人数)：
（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
1
2
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +）
，直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx
y
b a
y b x x
nx ==-==--∑∑. 【解析】（1）123453,5x ++++=
=2050100150180
1005
y ++++==,
5
1
1202503100415051801920i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑,5
2222221
1234555,i i x ==++++=∑
故19205310042,5559
b
-⨯⨯==-⨯$ 从而$10042326,a
y bx =-=-⨯=-$ 所以所求线性回归方程为$4226y x =-，令*
4226300,x x N ->∈，解得8x ≥. 故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人;
（2）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为1
2
,即11
2
P =
.遥控车移到第n （219n 剟）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第2n -格，又掷出奇数，其概率为
21
2n P -, ①遥控车先到第1n -格，又掷出偶数，其概率为
11
2
n P -, 所以211122
n n n P P P --=
+，1121
()2n n n n P P P P ---∴-=--,
∴当119n 剟时，数列1{}n n P P --是公比为1
2
-
的等比数列, 23121321
11111,(),(),()2222
n n n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=-, 以上各式相加，得231111
1()()()()2222
n
n P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦
,
1211()32n n P +⎡⎤∴=
--⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅），∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
,
失败的概率1920181111232P P ⎡⎤=
=+⎢⎥⎣⎦
（）, ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 元，200X =或500,
∴X 的期望201919211115001()2001()1004()32322EX ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤=⨯-+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为1911004()2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，约400元.。