高中数学解题技巧之函数最值求解

高中数学解题技巧之函数最值求解
函数最值求解是高中数学中常见的题型，也是考试中的重点内容之一。

掌握函数最值求解的方法和技巧，不仅可以帮助学生在考试中取得好成绩，还能提高数学思维能力和解题能力。

一、函数最大值和最小值的定义
在解决函数最值问题之前，我们首先要明确函数最大值和最小值的定义。

对于函数f(x)，如果在定义域D上存在一个数x1，使得对于任意的x∈D，都有
f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在D上的最大值；如果在定义域D上存在一个数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在D上的最小值。

二、求解函数最值的方法
1. 函数图像法
通过观察函数的图像，我们可以大致判断出函数的最值所在的区间。

例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，那么函数的图像将开口向上，最小值一定在顶点处取得；如果a<0，那么函数的图像将开口向下，最大值一定在顶点处取得。

举例：求函数f(x)=2x^2+3x-4的最值。

首先，我们可以通过观察函数的图像来判断最值所在的区间。

由于a=2>0，所以函数的图像开口向上，最小值一定在顶点处取得。

根据二次函数的顶点公式，顶点的横坐标为x=-b/2a，代入得到x=-3/4。

将x=-3/4代入函数中求得f(-3/4)=-37/8，所以函数f(x)=2x^2+3x-4的最小值为-37/8。

2. 导数法
对于一元函数，我们可以通过求导数来求解函数的最值。

首先，我们求函数的导数，然后求导数为0的点，再通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

举例：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的最值。

首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x-9。

然后，令导数f'(x)为0，解方程
3x^2-6x-9=0得到x=3或x=-1。

接下来，我们可以通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

当x<-1时，导数f'(x)为正；当-1<x<3时，导数f'(x)为负；当x>3时，导数f'(x)为正。

所以，函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的最大值在x=-1处取得，最小值在x=3处取得。

3. 定义域法
有些函数在定义域上是有界的，我们可以通过求解函数在边界点处的函数值来确定最值。

举例：求函数f(x)=1/x的最值。

首先，我们要确定函数的定义域。

由于分母不能为0，所以x不能等于0，因此函数的定义域为R-{0}。

接下来，我们来求解函数在边界点处的函数值。

当
x→+∞时，函数f(x)趋近于0；当x→-∞时，函数f(x)也趋近于0。

所以，函数
f(x)=1/x的最大值和最小值都是0。

三、举一反三
掌握了函数最值求解的方法和技巧，我们不仅可以解决单一函数的最值问题，还可以应用到更加复杂的题目中。

举例：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在区间[-2,4]上的最值。

首先，我们可以通过求导数来求解函数的最值。

求导得到f'(x)=3x^2-6x-9，令导数f'(x)为0，解方程3x^2-6x-9=0得到x=3或x=-1。

然后，我们可以通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

当x<-1时，导数f'(x)为正；当-1<x<3时，导
数f'(x)为负；当x>3时，导数f'(x)为正。

所以，函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在区间[-2,4]上的最大值在x=-1处取得，最小值在x=3处取得。

通过以上的例子，我们可以看到，掌握了函数最值求解的方法和技巧，我们可
以灵活应用到不同的题目中，解决更加复杂的函数最值问题。

总结起来，函数最值求解是高中数学中的重点内容之一。

通过观察函数的图像、求导数和判断导数的正负性以及确定定义域等方法，我们可以解决函数最值问题。

掌握了函数最值求解的方法和技巧，不仅可以帮助学生在考试中取得好成绩，还能提高数学思维能力和解题能力。

希望同学们能够认真学习和练习，掌握函数最值求解的方法，提高数学解题的能力。