2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷(理科)

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．
1
2
B ．12
-
C ．2
D ．2- 2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+，则(M N = )
A ．[3-，2)
B ．(3,2)-
C ．(1-，0]
D ．(1,0)-
3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A ．19
B ．
16
C ．
118
D ．
512
4．（5分）在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = ) A ．2
B ．4
C ．
1
2
D ．8
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )
A ．53
B ．85
C ．
138
D ．
2113
6．（5分）已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +的最大值是( ) A 2
B ．1
C 3
D ．2
7．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π
=++，则()f x 的最小值为( )
A ．
12
B ．
14
C 3
D 2 8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}
n a
的通项公式(n a = ) A ．2n
B ．2n
C ．2n +
D ．32n -
9．（5分）已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为
( )
A ．
2
5
B ．35
C ．15
D ．
215
11．（5分）已知点P 在椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O
的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3
4PD PQ =，直线AD 与椭圆Γ的另一个交
点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )
A ．
12
B C D 12．（5分）已知关于x 的不等式31x
e x alnx x --对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取
值范围为( ) A ．(-∞，1]e -
B ．(-∞，3]-
C ．(-∞，2]-
D ．(-∞，22]e -
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ． 14．（5分）若函数cos ()sin x a
f x x
+=
在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．
15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．
16．（5分）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，
SA =SB =若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共
60分．
17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan
tan tan tan A B c b
A B c
--=
+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．
18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，
11C D ，BC 的中点．
（1）求证：AC QL ⊥；
（2）求点A 到平面PQL 的距离．
19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，3) （1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据： 第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入
/亿元
()x
32.0
31.0
33.0
36.0
37.0
38.0
39.0
43.0
45.0
10x
商品销售额/
25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0
10y
且已知1380.0i i x ==∑
（1）求第10年的年收入10x ；
（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363
ˆˆ254
y
x a
=+ ()I 求第10年的销售额10y ；
（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)
附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1ˆn
i i i n
i
i x y
n xy b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =- （2）10
2
2
1
10254.0i
i x x =-=∑，9
1
12875.0i i i x y ==∑，9
1
340.0i i y ==∑．
21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2
π
π--上单调递增； （2）证明函数()2sin x
e f x x x =-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y α
αα=⎧⎨=⎩
为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x ；
（2）已知关于x 的不等式2
()2a f x 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．
2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．
1
2
B ．12
-
C ．2
D ．2-
【解答】解：(12)(1)(12)(2)z i ai a a i R =++=-++∈，
20a ∴+=，即2a =-．
故选：D ．
2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+，则(M N = )
A ．[3-，2)
B ．(3,2)-
C ．(1-，0]
D ．(1,0)-
【解答】解：{|(3)0}[3N x x x =+=-，0]， 集合{|12}M x x =-<<， 则(1M
N =-，0]，
故选：C ．
3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A ．19
B ．
16
C ．
118
D ．
512
【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，
向上的点数之和小于5包含的基本事件有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，
∴向上的点数之和小于5的概率为61366
p =
=． 故选：B ．
4．（5分）在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = ) A ．2
B ．4
C ．
1
2
D ．8
【解答】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，5115a a -=，426a a -=，
41(1)15a q ∴-=，31()6a q q -=，
解得：2q =，11a =． 则34a =． 故选：B ．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )
A ．53
B ．85
C ．
138
D ．
2113
【解答】解：0i =，1s =，
第一次执行循环体后，1i =，2s =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，2i =，3
2
s =
，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，3i =，5
3s =，不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，4i =，8
5
s =，不满足退出循环的条件；
第五次执行循环体后，5i =，13
8
s =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为138
， 故选：C ．
6．（5分）已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +的最大值是( ) A 2
B ．1
C 3
D ．2
【解答】解：设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ； 并设PO 与OE 的夹角为θ
如图：
因为等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=， 所以O 在AE 上且21OA OE ==；
∴
2222211
()22()()2[()]2[()2]2[11cos 2()]1cos 22
PA PB PC PA PE PO OA PO OE PO PO OA OE OA OE PO PO OE OE θθ
+==++=+++=+--=-⨯⨯-⨯=-；
∴当cos 1θ=-即点P 在AE 的延长线与圆的交点时；
()PA PB PC +取最大值，此时最大值为1(1)2--=；
故选：D ．
7．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π
=++，则()f x 的最小值为( )
A ．12
B ．
14
C 3
D 2 【
解
答
】
解
：
函数
222222135331()sin sin ()sin (sin )sin cos 2sin(2)1
324426
f x x x x x x x x x x ππ
=++=+=+=-+，
当sin(2)16x π-=-时，函数11
()122
min f x =-=．
故选：A ．
8．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}
n a 的通项公式(n a = ) A ．2n
B ．2n
C ．2n +
D ．32n -
【解答】解：11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a a ++∴+-=
∴11n n a a +-11a =，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴1(1)1n n =+-⨯=，
2n a n ∴=．
故选：B ．
9．（5分）已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【解答】解：根据题意，20.4
540.8()5a ==，40.8520.4()5b ====，
842log 483
lg c lg ====
= 又由
163216
62524325
<<
， 故有b c a <<； 故选：D ．
10．（5分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为
( )
A ．
2
5
B ．35
C ．15
D ．
215
【解答】解：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，
基本事件总数1132213
543531322
22
()150C C C C C C n A A A =+=， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数2212
531
260m C C C A ==， ∴恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为602
1505
m P n =
==． 故选：A ．
11．（5分）已知点P 在椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O
的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3
4
PD PQ =，直线AD 与椭圆Γ的另一个交
点为B，若PA PB
⊥，则椭圆Γ的离心率(
e=)
A ．1
2
B．
2
C．
3
D
．
3
【解答】解：设
(P x，
)
y由题意可得
(A x
-，
)
y
-，
(
Q x，
)
y
-，由
3
4
PD PQ
=可得
(
D x，
0)
2
y
-，所以0
PA
y
k
x
=，
000
2
4
AD
y
y y
k
x x x
-+
==
+
设(,)
B x y，
则
22
000
22
000
PB AB
y y y y y y
k k
x x x x x x
-+-
==
-+-
，
因为P，B在椭圆上，所以
22
22
22
00
22
1
1
x y
a b
x y
a b
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，两式相减可得
222
222
y y b
x x a
-
=-
-
，
所以可得
2
2
PB AB
b
k k
a
=-
所以
222
222
4
11
BP
AB AD
x
b b b
k
a k a k a y
=-=-=-，
因为PA PB
⊥，则1
AP PB
k k=-，即
2
00
2
00
4
()1
y x
b
x a y
-=-，整理可得：22
4
a b
=，
所以离心率
22
22
13
11
4
c c b
e
a a a
===-=-=，
故选：C．
12．（5分）已知关于x的不等式
3
1
x
e
x alnx
x
--对于任意(1,)
x∈+∞恒成立，则实数a的取值范围为()
A．(-∞，1]e
-B．(-∞，3]
-C．(-∞，2]
-D．(-∞，2
2]
e
-
【解答】解：由题意可知，分离参数
31
x
x e x
a
lnx
---
，令
31
()
x
x e x
f x
lnx
---
=，
由题意可知，()min a f x ，由31()x lnx e x
f x lnx ---=，
又1x e x -，
所以313()3x lnx e x
x lnx x
f x lnx lnx
-----=
=-，
所以3a -， 故选：B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为
22
1123
x y -= ． 【解答】解：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：2
24
x y λ-=，又过(4,1)，
所以16
14λ-=，可得3λ=，
所以双曲线的方程为：22
1123
x y -=；
故答案为：22
1123
x y -=．
14．（5分）若函数cos ()sin x a
f x x +=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 1a - ．
【解答】解：22(cos )cos ()0sin x x a x
f x sin x --+'=，
即22sin cos cos 1cos 0x x a x a x ---=--，
cos 1a x -，(0,)2
x π
∈，
1cos a
x -，由于1cos y x =-在(0,)2
x π
∈递减，最大值为(0)1y =-， 所以1a -， 故答案为：1a -．
15．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．
【解答】解：设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ． 若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =，
450，
即22(600cos45)(600sin4530)450t ︒+︒-=； 式两边平方并化简、整理得22021750t t -+= 1025t ∴=-或1025+
10259.14-≈，1025(1025)15210+--==
9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h ． 故答案为：9.14．
16．（5分）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，3SA =23SB =若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 1
2
- ．
【解答】解：由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O '，则323
33CO '==，3
DO '， 球心为过M 的平面ABS 的垂线与过O '的平面ABC 的垂线的交点， 三棱锥外接球的表面积为2214OB ππ=，221
4
OB =， 3MB 3
2
OM =
，由132MD SA ==，
所以tan 3ODM ∠=60ODM ∠=︒， 同理60ODO '∠=︒，得到120MDC ∠=︒， 由1
cos 2MDC ∠=-，
故答案为：1
2
-
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c b
A B c
--=
+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）
tan tan tan tan A B c b
A B c
--=
+． 所以sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos A B
C B
A B A B C A B
-
-=+
，
即
sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin A B B A C B
A B B A C --=
+， 所以
sin cos sin cos sin()sin sin sin A B B A A B B
C C
-+-=
， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-， 所以1cos 2
A =
， （2）由（1）可知60A =︒，
由余弦定理可得，22116
22b c bc +-=
所以22162b c bc bc +=+，
故16bc ，当且仅当4b c ==时取等号，此时ABC ∆面积取得最大值1
sin 60432
bc ︒=．
18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，
11C D ，BC 的中点．
（1）求证：AC QL ⊥；
（2）求点A 到平面PQL 的距离．
【解答】（1）证明：222222211
2()()2222
PQ QL
a a a a PL +=⨯+⨯+==，
PQ QL ∴⊥．
11////AC AC PQ ，
AC QL ∴⊥．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(A a ，0，0)， 1(2P a ，0，)a ，1(2L a ，a ，0)，(0Q ，1
2
a ，)a ， 1(2PQ a =-，12a ，0)，(0PL =，a ，)a -，1
(2
AL a =-，a ，0)，
设平面PQL 的法向量为：(n x =，y ，)z ，则0n PQ n PL ==，可得：11
022
ax ay -+=，
0ay az -=，
可得：(1n =，1，1)，
∴点A 到平面PQL 的距离1
||3
2||3
a
n AL d a n =
==．
19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =，3) （1）求抛物线Γ的方程；
（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，
满足(2FP =
的P 的坐标为(22
p
+
，，P 在抛物线上，
所以22(2)2p
p =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：
24y x =；
（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2
2
24y x =， 直线MN 的斜率101022
101010
4
4
MN y y y y k y y x x y y --=
==--+， 则直线MN 的方程为：200104
()4y y y x y y -=-+，即0101
4x y y y y y +=+①， 同理可得直线ML 的方程整理可得02
02
4x y y y y y +=
+②，
将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪
⎨+⎪-=⎪+⎩
，消0y 可得1212y y =，
易知直线124
NL k y y =
+，则直线NL 的方程为：21112
4()4y y y x y y -=-+， 即1212124y y y x y y y y =
+++，故1212
412
y x y y y y =+
++， 所以12
4
(3)y x y y =
++， 因此直线NL 恒过定点(3,0)-．
20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：
且已知1380.0i i x ==∑
（1）求第10年的年收入10x ；
（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363
ˆˆ254
y
x a
=+ ()I 求第10年的销售额10y ；
（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01)
附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1ˆn
i i i n
i
i x y
n xy b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =- （2）10
2
2
1
10254.0i
i x x =-=∑，9
1
12875.0i i i x y ==∑，9
1
340.0i i y ==∑．
【解答】解：（1）因为10
1380.0i i x ==∑，所以10323133363738394345380x +++++++++=，
所以1046x =； （2）()I 由题意可知，
10
1
380
3810
10
i
i x
x ==
=
=∑，10102530343739414244483401010y y y ++++++++++==
， 因为363ˆˆ254
y
x a
=+且1
2
2
1
ˆn
i i i n
i
i x y
n xy
b x
nx ==-=-∑∑，所以
10
1034012875461038363
10254
254
y y ++-⨯⨯
=，解得
1051y =，
所以第10年的销售额1051y =； （Ⅱ）因为1051y =，所以34051
39.110
y +=
=， 因为ˆˆa y bx =-，所以363ˆ39.13815.21254
a =-⨯≈-，
所以线性回归方程为363
ˆ15.21254
y
x =-， 由题可知，40x =，将其代入线性回归方程有363
ˆ4015.2141.96254
y
=⨯-≈． 故估计这种商品的销售额是41.96万元．
21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2
π
π--上单调递增；
（2）证明函数()2sin x
e f x x x
=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．
【解答】解：（1）求导，2cos 2(cos sin )2sin 4cos x x y e x x x x e x x x '=---=+-，(,)2x π
π∈--，
因为0x e >，2sin 0x x >，4cos 0x ->，故0y '>， 函数y 在定义区间递增；
（2）由22
(1)2cos ()x e x x x
f x x
--'=， 令2()(1)2cos x g x e x x x =--，()(2sin 4cos )x g x x e x x x '=+- 当(,)2x π
π∈--，由（1）得()0g x '<，()g x 递减，
由2()(1)022g e π
π
π
-
-=--<，()8(1)0g e πππ--=-+>，
根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x π
π∈--，0()0g x =，
当0(,)x x π∈-时，()0g x >，()f x 递增； 当0(x x ∈，)2
π
-时，()0g x <，()f x 递减，
当(2
x π
∈-，0)时，2
(1)
()2cos 0x e x f x x x -'=-<，所以()f x 递减， 故()f x 在0(x ，0)为减函数， 所以()f x 有唯一的极大值点0x ，
由()f x 在0(x ，)2π-递减，得2
021
()()220222
e
f x f e π
π
πππ-
>-=+=-+>-， 又000()2sin x o e f x x x =-，当0(,)2x π
π∈--时，0
(1,0)o x e x ∈-，002sin 2x <-<， 故0()2f x <，
综上，命题成立．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y α
αα
=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．
【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y α
αα=⎧⎨=⎩
为参数），转换为直角坐标方程为：
22
12516
x y +=． 曲线22:4cos 30C ρρθ-+=．转换为直角坐标方程为22430x y x +-+=，整理得22(2)1x y -+=．
（2）设点(5cos ,4sin )P θθ在曲线1C 上，圆心(2,0)O ，
所以：||PO = 当cos 1θ=时，||3min PO =， 所以||PQ 的最小值312-=．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x ；
（2）已知关于x 的不等式2
()2a f x 在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．
【解答】解：（1）当4a =时，()|24||3|f x x x =-+-，
()i 当3x 时，原不等式可化为378x -，解可得5x ，
此时不等式的解集[5，)+∞；
()ii 当23x <<时，原不等式可化为2438x x -+-，解可得59x ，
此时不等式的解集∅；
()iii 当2x 时，原不等式可化为378x -+，解可得1
3x -，
此时不等式的解集(-∞，1
]3
-，
综上可得，不等式的解集[5，)(+∞-∞⋃，1
]3
-，
（2）()i 当1
12
a a -=即2a =时，2
()3|1|
22
a f x x =-=显然不成立， ()ii 当112a a ->即2a >时，1321,21()1,12321,1x a x a f x x a x a x a x a ⎧
-+-⎪⎪
⎪
=-<<-⎨⎪
-+-⎪⎪⎩
，
结合函数的单调性可知，当12x a =时，函数取得最小值11
()122
f a a =-，
若2()2a f x 在R 上恒成立，则211
122a a -，此时a 不存在，
()iii 当112a a -<即2a <时，321,11()1,121321,2
x a x a f x x a x a x a x a ⎧
⎪-+--⎪
⎪
=-+-<<⎨⎪
⎪
-+⎪⎩
若2()2a f x 在R 上恒成立，则2
11122a a -，解可得21a -，
此时a 的范围[2-，1]， 综上可得，a 的范围围[2-，1]．。