第二章基本动态系统
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其中，V 指流体体积，L 指管长，v 指流体流动的 平均速度。可见，流量Q与电流 i 相似。
通常我们假定流体是不可压缩的，管道是刚性的，则 对于一个管道，进入一端管截面的流量必等于流出另一端 管截面的流量。可见，流量是一个通过变量，测量时必须 断开管道才能直接得到。
p p 其跨越变量： p 21 2 1
R
f
p1
（2）不可压缩流体通过长毛细管：如图所示。 应用哈根•泊松定律有: Q
p2
Q
开式油箱
重量 gHA p gH 21 面积A
AdH A dp2 1 则有： Q dt g dt 其中： 为 流 体 密 度 g为 重 力 加 速 度
Q
C
f
定义油箱液容为 C f
A g
p2
p 1 cons
纯液容表示法
得到纯液容的基本方程： AdH A dp 21 Q dt g dt 或 1 p21 Cf Ep
一、压力和流量
1、压力 指的是两点压差，对管来说往往只谈一点 压力而没有明显地表示出参考点。实际情况参考点往往取 大气压等形式。 压力(在物理学中称为压强)定义为作用与单位面积 上的正压力,如下图所示，以 p 表示压力，有： dF n p 总面积 A dA 则在垂直于管中心线的管截面上 的轴向力Fn为整个面积上的积分。
（1）纯转动质量或惯量基本方程及其图示法
d 21 T I dt 1 t 21 Tdt ( 21 ) 0 I 0 1 2 K I 21 2
T
I
2
1 const
纯转动质量表示法
（2） 作旋转运动的纯弹簧基本方程及其图示法 1 dT 21 K K dt T
p1
实际管道是存在摩擦力的，只有流体加速度很大时， 液感才起主导作用，而对于大管径管道中液阻急剧降低时 液感起较大作用。
3、纯液阻 在液压系统中有四种常见的液阻。 （1）不可压缩流体通过多孔芯：如图所示。 该情况与电阻的欧姆定律相 Q Q 似，达西定律有:
p 21 R fQ
液阻 Rf 取决于多孔芯的几何 p 2 尺寸，并常常与压差的 大小有关。
因而：
dw p dV
可见，压力p如同电势，它是移动单位体积流体所作 的功。 在讨论流体受力时，其压力p时有参考点的（通常定 为环境大气压），所以压力是一个跨越变量。
２、流量（Q） 是单位时间通过给定面积的流体量 （ m3 / s ）。对于管路，这个面积是指管道的垂直面积。
dV AdL 即： Q Av dt dt
..
或
k 0 J
..
J
k
转动惯量为
图2-8 实验确定转动惯量装置
二、纯电气系统元件
与机械系统一样，描述电气系统，通常用类似的一组 理想元件来代表电气元件，但仍保持要求的准确性。这些 元件是：电容（把能量存储在电场内），电感（把能量存 储在磁场内），电阻（消耗能量）。 1、理想电容基本方程及其图示法
机械系统有三个最基本的机械元件：质量、弹簧和 阻尼，这些元件代表了机械系统各组成部分的本质。根据 机械系统的运动方式（直线、旋转运动）机械系统的基本 元件各有不同的物理特性。
基本方程（代数方程和微分方程）描述了各种物理系 统建模中的理想元件。基本方程描述了理想元件的运动作 用特性和能量特性。
1、作直线运动的机械系统元件
分相似的一种元件，它是以液势能的形式储存能量的一种元件，在 实际系统中这样的元件有很多，最有代表性的是“油箱”。 “油箱”，这里介绍的油箱最简单的例子是开式油箱，在垂直 力场的作用下，由箱体底部通过油管供油。 当有流动时，液体被压入系 重力 统，则有： p1 AdH
Q
dt
H
面积 A
如果不考虑液体阻尼及加速 度的影响，则液体底部压差正好 支持液体重量，即：
T K
T
1
t
0
21 dt T 0
2
1 T 1 2 p K 21 2 K 2
2
纯扭转弹簧表示法
（3） 纯旋转阻尼基本方程及其图示法
C
T C 21 或 21 T
2 T 2 功率 P C 21 C
C
T
T
1
2
纯扭转阻尼表示法
第二章 基本动态系统
本章介绍动态系统的机械系统元件、电气系统元件、 电气 — 机械变换器、动态系统的液压元件、纯液压变换 器、液压－机械变换器。基本动态系统建模与分析，连续 系统的数学模型形式（包括微分方程、传递函数、权函数、 状态空间表达式）。
2.1 基本物理元件建模
对于动态系统的分析，总是首先建立一个模型的表 达式。这些模型则是有一些理想化的基本环节组成，这些 环节代表了实际系统本质的物理现象。无论机械系统、电 气系统或液压系统，都是有一些基本的这样的环节组成， 这些环节构成了系统，本课程将系统的基本的环节理想化 后，所获得的能够用数学方法表示的基本单元称作基本物 理元件。
其通过变量： Q
Q
Q
p2
p1
液压元件表示法
3、功率及能量
dw dV 由式 ：压力 p 和 Q dv dt dw dV 可得出功率 P p pQ dt dt 功率P是通过变量和跨越变量 的乘积。
二、纯流体系统元件
这些元件是：液容、液感和液阻。
1、纯液容 是与电气系统的电容和机械系统的质量具有十
三、广义化的元件方程
通过变量为 f，跨越变量为 e。
A型储能元 B 型储能元 件 件
D 型元件
de21 f C dt
df eL dt
eR f
2 e 21 P R
1 2 Ea C e21 2
1 Eb L f 2 2
2.3 动态系统的流体元件
在工程领域中，液压系统是指采用液体的流体系统， 流体系统的数学模型一般是非线性的。然而，如果假设非 线性系统在正常工作点附近工作，那么该系统在工作点附 近可以认为是线性的，数学模型可以线性化。在许多工程 中包含流体系统。如电站和能量转换系统（水电、热电站、 内燃机、喷气发动机等）以及控制系统（自动车床、化工 生产、自动装置、飞机、导弹及船舶等）。 在讨论中，将直接模拟电器和机械系统元件。流体 系统的元件通常由管道连接起来组成网络。液体的流量与 电流相似，压力（压强）与电流相似，工作介质为液体。
例 2.1 试验确定转动惯量
实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转 轴就是要确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体轴与弹 性系数（k）已知的扭转弹簧连接（如图2-8）。使弹簧 做微小的扭转后释放，由此产生的简谐运动的周期就可 以测量。由于该系统的运动方程为
J k 0 固有频率为 振动周期为 k n J 2 2 T n k J kT 2 J 2 4
对于已经介绍的三种系统，功和能从一个元件通过连 接点传递给另一元件，元件间以功率的形式传递能量，我 们发现，功率都是通过变量和跨越变量的乘积。 在讨论基本元件时，我们已经把理想元件分成储能元 件和耗能元件两类。其中的质量、转动惯量和电容通过它 的跨越变量存储能量，我们叫它为A 型储能元件；弹簧及 电感靠通过变量来储能，我们叫它为B 型储能元件；阻尼 及电阻消耗能量，我们叫它为D 型元件。 我们也讨论了能量变换器，它们的输入功率和输出功 率相等。对于这种装置，输入的通过变量和跨越变量的乘 积等于输出的通过变量和跨越变量的乘积。
dV 21 i C dt 1 t V 21 idt ( V 21 ) 0 c 0 1 2 E e C V 21 2
i
V2
V1
C
理想电容表示法
2、理想电感基本方程及其图示法 di V 21 L i dt L 1 t V1 V 2 i V dt i 21 0 L 0 1 E m L i2 理想电感表示法 2 3、理想电阻基本方程及其图示法
一、通过变量和跨越变量
变量是用来度量系统随时间的变化的量。
1 通过变量 f ：在元件两端具有相同的数值。如力、 力矩、电流、包括以后介绍的流体流量、热通量，测量时 必须截断装置。
2 跨越变量 e ：用元件两端差值或相互关系来表示。 如速度、电压、压差、温度等，测量时必须跨接在元件的 两端进行。
二 、功和能
（1） 作直线运动的纯质量基本方程及其图示法
v2
F
dv 21 F m dt 1 t v 21 Fdt ( v 21 ) 0 m 0 1 2 E K mv 21 2
v 1 const
m
纯质量的符号及表示法
质量所储存的能量直接取决于通过质量的运动速度。
（2） 作直线运动的纯弹簧基本方程及其图示法
dv dV 21 理想质量 F m 理想电容 i C 21 dt dt
1 dF di 理想 v 弹簧 理想 V 电 L感 21 21 K dt dt
我们将两个理想元件的这种关系叫做相似性。对于相 似的理想元件，只要将变量比较，就可以得出其相似性， 在分析变量时将基本变量分为通过变量和跨越变量。
为产生液体质量加速 dv 度 / dt所 需 的 力 F为： dv F A( p2 p1 ) Al dt dV Adl 由： Q Av dt dt l dQ dQ 所以： p2 1 J A dt dt
l
Q Q
p2
p1
l Q 把： J 称为液感 A J p2 则液感的基本方程为： dQ 1 t p 21 J 或 Q p 21 dt Q 0 液感表示法 dt J 0 存储在纯液容中能量叫 做液动能 E k tb Qb 1 E k Qp 21 dt JQdQ JQ 2 ta Qa 2 能量 E k 取决于通过变量 Q。
v 21
1 dF k dt
t 0
v2
F
v1
K
F K v 21 dt F 0 EP 1 F 2k
2
x2
2 21
x1
1 kx 2
纯弹簧表示法
弹簧所储存的能量直接取决于通过弹簧的力或变形。
（3） 直线运动的纯阻尼基本方程及其图示法 物体的运动常常受到来自各方面的阻力作用，如液 体、空气的粘性阻尼，或物体相对运动表面的干摩擦。在 机械系统中，由于粘性等原因产生的摩擦力正比于物体的 相对速度，这种摩擦力叫做粘性或线性摩擦。
FC v 21
功率 P Cv F / C
2 2
纯阻尼的符号及表示法
阻尼所消耗的能量能取决于通过阻尼的力或运动速度。
2、作旋转运动的机械系统元件
机械系统中相当一部分运动是围绕固定轴或无加速度 轴的旋转运动，这些作旋转运动机械元件是旋转质量或惯 量、扭簧或旋转弹簧以及扭转式旋转阻尼。与直线运动相 比较，所不同的只是旋转运动绕轴转动，而直线运动是沿 轴向运动，同时作用的是力矩而不是力。
有时，在一个给定的实际系统中，对于某一部分或 基本环节，其中一个因素与其他因素相比是占主导地位的。 而在有的场合，两种或三种因素同时出现，并且很难加以 区分。这个区分工作正是建模过程的一部分，利用这些基 本元件的组合，建立和实际系统足够接近的模型，这是对 于大型工程系统进行分析的关键。
一、机械系统基本元件
t
Qdt ( p
0
t
21 0
)
由于压力存储于液容中 的 能量叫做液势能 E p
0
1 2 p21Qdt C f p21 2
2、纯液感 和电感有着相似特性的流体元件为液感， 当有外力加速管道火通道中的流体时，便产生液感。
假如液体不可压缩，无摩擦。
在管路中，管道的任何截面上的流量是一样的。如果 管道粗细均匀，速度沿截面分布均匀，我们可以说所有流 体质点具有相同的速度和加速度。
F n n dF pdA
A A
dF n
dA
假如压力在这个面积A上处处相等，则：
F n pdA
p如果是变化的，则压力p可定义为该截面上的平均压 强。当流体沿Fn或p方向通过面积A，并使流体移动一段 距离dx，则力Fn所作的功为：
dw F dx pAdx n
流体通过A的体积为：
dV Adx
V2 1 R i 或 i V2 1 R
V2
i
V1
1 2 功 率 P V2 1 R i 2 R
R
理想电阻表示法
2.2 理想系统元件的相似性及广义化
观测到不同系统类型之间的很多相似点（数学关系） 是惊人的，更有趣的是这些系统有着共同的行为模式和变 量。例如理想质量和理想电容的基本方程：
通常我们假定流体是不可压缩的，管道是刚性的，则 对于一个管道，进入一端管截面的流量必等于流出另一端 管截面的流量。可见，流量是一个通过变量，测量时必须 断开管道才能直接得到。
p p 其跨越变量： p 21 2 1
R
f
p1
（2）不可压缩流体通过长毛细管：如图所示。 应用哈根•泊松定律有: Q
p2
Q
开式油箱
重量 gHA p gH 21 面积A
AdH A dp2 1 则有： Q dt g dt 其中： 为 流 体 密 度 g为 重 力 加 速 度
Q
C
f
定义油箱液容为 C f
A g
p2
p 1 cons
纯液容表示法
得到纯液容的基本方程： AdH A dp 21 Q dt g dt 或 1 p21 Cf Ep
一、压力和流量
1、压力 指的是两点压差，对管来说往往只谈一点 压力而没有明显地表示出参考点。实际情况参考点往往取 大气压等形式。 压力(在物理学中称为压强)定义为作用与单位面积 上的正压力,如下图所示，以 p 表示压力，有： dF n p 总面积 A dA 则在垂直于管中心线的管截面上 的轴向力Fn为整个面积上的积分。
（1）纯转动质量或惯量基本方程及其图示法
d 21 T I dt 1 t 21 Tdt ( 21 ) 0 I 0 1 2 K I 21 2
T
I
2
1 const
纯转动质量表示法
（2） 作旋转运动的纯弹簧基本方程及其图示法 1 dT 21 K K dt T
p1
实际管道是存在摩擦力的，只有流体加速度很大时， 液感才起主导作用，而对于大管径管道中液阻急剧降低时 液感起较大作用。
3、纯液阻 在液压系统中有四种常见的液阻。 （1）不可压缩流体通过多孔芯：如图所示。 该情况与电阻的欧姆定律相 Q Q 似，达西定律有:
p 21 R fQ
液阻 Rf 取决于多孔芯的几何 p 2 尺寸，并常常与压差的 大小有关。
因而：
dw p dV
可见，压力p如同电势，它是移动单位体积流体所作 的功。 在讨论流体受力时，其压力p时有参考点的（通常定 为环境大气压），所以压力是一个跨越变量。
２、流量（Q） 是单位时间通过给定面积的流体量 （ m3 / s ）。对于管路，这个面积是指管道的垂直面积。
dV AdL 即： Q Av dt dt
..
或
k 0 J
..
J
k
转动惯量为
图2-8 实验确定转动惯量装置
二、纯电气系统元件
与机械系统一样，描述电气系统，通常用类似的一组 理想元件来代表电气元件，但仍保持要求的准确性。这些 元件是：电容（把能量存储在电场内），电感（把能量存 储在磁场内），电阻（消耗能量）。 1、理想电容基本方程及其图示法
机械系统有三个最基本的机械元件：质量、弹簧和 阻尼，这些元件代表了机械系统各组成部分的本质。根据 机械系统的运动方式（直线、旋转运动）机械系统的基本 元件各有不同的物理特性。
基本方程（代数方程和微分方程）描述了各种物理系 统建模中的理想元件。基本方程描述了理想元件的运动作 用特性和能量特性。
1、作直线运动的机械系统元件
分相似的一种元件，它是以液势能的形式储存能量的一种元件，在 实际系统中这样的元件有很多，最有代表性的是“油箱”。 “油箱”，这里介绍的油箱最简单的例子是开式油箱，在垂直 力场的作用下，由箱体底部通过油管供油。 当有流动时，液体被压入系 重力 统，则有： p1 AdH
Q
dt
H
面积 A
如果不考虑液体阻尼及加速 度的影响，则液体底部压差正好 支持液体重量，即：
T K
T
1
t
0
21 dt T 0
2
1 T 1 2 p K 21 2 K 2
2
纯扭转弹簧表示法
（3） 纯旋转阻尼基本方程及其图示法
C
T C 21 或 21 T
2 T 2 功率 P C 21 C
C
T
T
1
2
纯扭转阻尼表示法
第二章 基本动态系统
本章介绍动态系统的机械系统元件、电气系统元件、 电气 — 机械变换器、动态系统的液压元件、纯液压变换 器、液压－机械变换器。基本动态系统建模与分析，连续 系统的数学模型形式（包括微分方程、传递函数、权函数、 状态空间表达式）。
2.1 基本物理元件建模
对于动态系统的分析，总是首先建立一个模型的表 达式。这些模型则是有一些理想化的基本环节组成，这些 环节代表了实际系统本质的物理现象。无论机械系统、电 气系统或液压系统，都是有一些基本的这样的环节组成， 这些环节构成了系统，本课程将系统的基本的环节理想化 后，所获得的能够用数学方法表示的基本单元称作基本物 理元件。
其通过变量： Q
Q
Q
p2
p1
液压元件表示法
3、功率及能量
dw dV 由式 ：压力 p 和 Q dv dt dw dV 可得出功率 P p pQ dt dt 功率P是通过变量和跨越变量 的乘积。
二、纯流体系统元件
这些元件是：液容、液感和液阻。
1、纯液容 是与电气系统的电容和机械系统的质量具有十
三、广义化的元件方程
通过变量为 f，跨越变量为 e。
A型储能元 B 型储能元 件 件
D 型元件
de21 f C dt
df eL dt
eR f
2 e 21 P R
1 2 Ea C e21 2
1 Eb L f 2 2
2.3 动态系统的流体元件
在工程领域中，液压系统是指采用液体的流体系统， 流体系统的数学模型一般是非线性的。然而，如果假设非 线性系统在正常工作点附近工作，那么该系统在工作点附 近可以认为是线性的，数学模型可以线性化。在许多工程 中包含流体系统。如电站和能量转换系统（水电、热电站、 内燃机、喷气发动机等）以及控制系统（自动车床、化工 生产、自动装置、飞机、导弹及船舶等）。 在讨论中，将直接模拟电器和机械系统元件。流体 系统的元件通常由管道连接起来组成网络。液体的流量与 电流相似，压力（压强）与电流相似，工作介质为液体。
例 2.1 试验确定转动惯量
实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转 轴就是要确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体轴与弹 性系数（k）已知的扭转弹簧连接（如图2-8）。使弹簧 做微小的扭转后释放，由此产生的简谐运动的周期就可 以测量。由于该系统的运动方程为
J k 0 固有频率为 振动周期为 k n J 2 2 T n k J kT 2 J 2 4
对于已经介绍的三种系统，功和能从一个元件通过连 接点传递给另一元件，元件间以功率的形式传递能量，我 们发现，功率都是通过变量和跨越变量的乘积。 在讨论基本元件时，我们已经把理想元件分成储能元 件和耗能元件两类。其中的质量、转动惯量和电容通过它 的跨越变量存储能量，我们叫它为A 型储能元件；弹簧及 电感靠通过变量来储能，我们叫它为B 型储能元件；阻尼 及电阻消耗能量，我们叫它为D 型元件。 我们也讨论了能量变换器，它们的输入功率和输出功 率相等。对于这种装置，输入的通过变量和跨越变量的乘 积等于输出的通过变量和跨越变量的乘积。
dV 21 i C dt 1 t V 21 idt ( V 21 ) 0 c 0 1 2 E e C V 21 2
i
V2
V1
C
理想电容表示法
2、理想电感基本方程及其图示法 di V 21 L i dt L 1 t V1 V 2 i V dt i 21 0 L 0 1 E m L i2 理想电感表示法 2 3、理想电阻基本方程及其图示法
一、通过变量和跨越变量
变量是用来度量系统随时间的变化的量。
1 通过变量 f ：在元件两端具有相同的数值。如力、 力矩、电流、包括以后介绍的流体流量、热通量，测量时 必须截断装置。
2 跨越变量 e ：用元件两端差值或相互关系来表示。 如速度、电压、压差、温度等，测量时必须跨接在元件的 两端进行。
二 、功和能
（1） 作直线运动的纯质量基本方程及其图示法
v2
F
dv 21 F m dt 1 t v 21 Fdt ( v 21 ) 0 m 0 1 2 E K mv 21 2
v 1 const
m
纯质量的符号及表示法
质量所储存的能量直接取决于通过质量的运动速度。
（2） 作直线运动的纯弹簧基本方程及其图示法
dv dV 21 理想质量 F m 理想电容 i C 21 dt dt
1 dF di 理想 v 弹簧 理想 V 电 L感 21 21 K dt dt
我们将两个理想元件的这种关系叫做相似性。对于相 似的理想元件，只要将变量比较，就可以得出其相似性， 在分析变量时将基本变量分为通过变量和跨越变量。
为产生液体质量加速 dv 度 / dt所 需 的 力 F为： dv F A( p2 p1 ) Al dt dV Adl 由： Q Av dt dt l dQ dQ 所以： p2 1 J A dt dt
l
Q Q
p2
p1
l Q 把： J 称为液感 A J p2 则液感的基本方程为： dQ 1 t p 21 J 或 Q p 21 dt Q 0 液感表示法 dt J 0 存储在纯液容中能量叫 做液动能 E k tb Qb 1 E k Qp 21 dt JQdQ JQ 2 ta Qa 2 能量 E k 取决于通过变量 Q。
v 21
1 dF k dt
t 0
v2
F
v1
K
F K v 21 dt F 0 EP 1 F 2k
2
x2
2 21
x1
1 kx 2
纯弹簧表示法
弹簧所储存的能量直接取决于通过弹簧的力或变形。
（3） 直线运动的纯阻尼基本方程及其图示法 物体的运动常常受到来自各方面的阻力作用，如液 体、空气的粘性阻尼，或物体相对运动表面的干摩擦。在 机械系统中，由于粘性等原因产生的摩擦力正比于物体的 相对速度，这种摩擦力叫做粘性或线性摩擦。
FC v 21
功率 P Cv F / C
2 2
纯阻尼的符号及表示法
阻尼所消耗的能量能取决于通过阻尼的力或运动速度。
2、作旋转运动的机械系统元件
机械系统中相当一部分运动是围绕固定轴或无加速度 轴的旋转运动，这些作旋转运动机械元件是旋转质量或惯 量、扭簧或旋转弹簧以及扭转式旋转阻尼。与直线运动相 比较，所不同的只是旋转运动绕轴转动，而直线运动是沿 轴向运动，同时作用的是力矩而不是力。
有时，在一个给定的实际系统中，对于某一部分或 基本环节，其中一个因素与其他因素相比是占主导地位的。 而在有的场合，两种或三种因素同时出现，并且很难加以 区分。这个区分工作正是建模过程的一部分，利用这些基 本元件的组合，建立和实际系统足够接近的模型，这是对 于大型工程系统进行分析的关键。
一、机械系统基本元件
t
Qdt ( p
0
t
21 0
)
由于压力存储于液容中 的 能量叫做液势能 E p
0
1 2 p21Qdt C f p21 2
2、纯液感 和电感有着相似特性的流体元件为液感， 当有外力加速管道火通道中的流体时，便产生液感。
假如液体不可压缩，无摩擦。
在管路中，管道的任何截面上的流量是一样的。如果 管道粗细均匀，速度沿截面分布均匀，我们可以说所有流 体质点具有相同的速度和加速度。
F n n dF pdA
A A
dF n
dA
假如压力在这个面积A上处处相等，则：
F n pdA
p如果是变化的，则压力p可定义为该截面上的平均压 强。当流体沿Fn或p方向通过面积A，并使流体移动一段 距离dx，则力Fn所作的功为：
dw F dx pAdx n
流体通过A的体积为：
dV Adx
V2 1 R i 或 i V2 1 R
V2
i
V1
1 2 功 率 P V2 1 R i 2 R
R
理想电阻表示法
2.2 理想系统元件的相似性及广义化
观测到不同系统类型之间的很多相似点（数学关系） 是惊人的，更有趣的是这些系统有着共同的行为模式和变 量。例如理想质量和理想电容的基本方程：