阅读材料伽罗瓦理论-北师大版选修3-4对称与群教案

阅读材料：伽罗瓦理论-北师大版选修3-4 对称与群教
案
前言
伽罗瓦理论是代数学中的重要分支，得名于法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦。

伽罗瓦理论研究对象是代数方程。

在代数方程的解法中，用到了很多对称性和群的概念。

因此，在学习伽罗瓦理论之前，再学习一下对称性和群的概念就显得尤为重要。

本文就是一份针对北师大版选修3-4《伽罗瓦理论》中的对称与群教案。

一、对称性
1. 定义
对称性指的是某个物体在空间变换中仍然保持自身不变的性质。

比如说平面的正方形，通过将它绕其中心旋转90度，它仍然是一个正方形，平面仍然保持不变。

2. 对称性的分类
根据对称的变换类型，对称性可以被分为以下几种：
•平移对称性：如果某个物体在平移变换下仍然保持不变，那么它就具有平移对称性。

•旋转对称性：如果某个物体在旋转变换下仍然保持不变，那么它就具有旋转对称性。

•翻转对称性：如果某个物体在镜面对称变化下仍然保持不变，那么它就具有翻转对称性。

3. 对称群
对称群指的是能够对一个对象进行保持不变的所有变换的集合。

比如说，正方形具有4个旋转对称性和4个翻转对称性，所以它的对称群就包含了8个元素。

二、群
1. 定义
群是一种抽象的数学结构，指的是一种集合和在集合内的一种运算之间的关系。

如果一个集合和一个运算满足以下条件，那么它就是一个群：
•封闭性：对于集合中的任意两个元素，它们的运算结果也在集合内。

•结合律：运算在群内是满足结合律的。

•单位元：存在一个元素在运算下不发生变化，称它为单位元。

•逆元：对于任意元素a，存在一个元素b，使得a和b在运算下等于单位元。

2. 群的分类
根据群的性质，可以将群分为以下几种：
•有限群和无限群
•阿贝尔群和非阿贝尔群
•循环群和非循环群
3. 序
序是指一种具有可比较性的结构。

如果一个集合内的元素可以根据某种特定方式进行排序，那么它就具有序。

三、对称与群在伽罗瓦理论中的应用
伽罗瓦理论通过对称性和群的概念，对代数方程的解法进行了深入的探讨。

其中的对称性和群理论的重要性体现在以下几个方面：
•解方程时，需要找到所有的对称性变换，以确定方程的根。

•对称性是每个方程的内在特征，可以用来推广解决一类方程的方法。

•对于一个方程的求解问题，如果该方程的对称性已知，那么求解过程将大大简化，有效提高解题效率。

四、总结
对称性和群的概念在伽罗瓦理论以及代数学中具有重要的地位。

对于学习伽罗瓦理论，掌握对称性和群的基础知识是至关重要的。

在解决代数方程的问题时，对称性和群理论能够帮助我们快速推导解题过程，缩短求解时间，提高效率。