高考数学总复习 专题06 第2节 一元二次不等式及其解法课件 理
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高考数学第一轮复习 第六篇 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版
规律方法
第八页，共22页。
用不等式(组)表示(biǎoshì)不
考
等关系题
点
【训练 1】(2013·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数．当 x＞0
时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为________．
解 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当 x＜0 时，－x＞0，
第七页，共22页。
一元(yī yuán)二次不等式的解法
考 点
接上 f(x)＝－x2＋2x＋3 ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3， 由－4x2－4x＋3＜0， 得 4x2＋4x－3＞0， 解得 x＞12或 x＜－32，故选 A.
f(x)=4x2＋4x－3
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再 根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后(ránhòu)结合相应 二次函数的图象写出不等式的解集．
①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，
2
② ③解解 当当得得aa＜＞xx≥0≤0 时2a时－或，，1x.原原≤不不－等等1.式式化化为为xx－－2a2a((xx＋＋11)≤)≥00. ，
a
当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤a2；
当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意；
小关系，从而确定解集形式．
规律方法
第十一页，共22页。
训练 2 (1)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且
x2－x1＝15，则 a 等于(
)．A.52
7 B.2
15 C. 4
15 D. 2
法一∵不等式 x2－2ax－8a2＜0 的解集为(x1，x2)，
高三总复习数学优质课件 第六章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法
2
Δ=b -4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
2
y=ax +bx+c(a>0)的图象
2
ax +bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1} .
{x|x1<x<x2}
< ,
≥ ,
所以 f(x)>3⇔
或
- + > 3
+ > 3
≥ ,
< ,
≥ ,
< ,
⇔
或
⇔
或
⇒x>1.
(-)( + ) > - + < 0
< -或 >
∈⌀
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
答案:{x|x>1}
6<0},则A∩B等于( B
)
(A)(-2,3)
(B)(1,3)
(C)(3,4)
(D)(-2,4)
解析:由题意知A={x|1<x<4},B={x|-2<x<3},
所以A∩B=(1,3).故选B.
3.不等式2x2-x-3>0的解集为
.
2
解析:由 2x -x-3>0,得(x+1)(2x-3)>0,
Δ=b -4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
2
y=ax +bx+c(a>0)的图象
2
ax +bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1} .
{x|x1<x<x2}
< ,
≥ ,
所以 f(x)>3⇔
或
- + > 3
+ > 3
≥ ,
< ,
≥ ,
< ,
⇔
或
⇔
或
⇒x>1.
(-)( + ) > - + < 0
< -或 >
∈⌀
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
答案:{x|x>1}
6<0},则A∩B等于( B
)
(A)(-2,3)
(B)(1,3)
(C)(3,4)
(D)(-2,4)
解析:由题意知A={x|1<x<4},B={x|-2<x<3},
所以A∩B=(1,3).故选B.
3.不等式2x2-x-3>0的解集为
.
2
解析:由 2x -x-3>0,得(x+1)(2x-3)>0,
高考数学总复习 专题06 第2节 一元二次不等式及其解法课件 理
－x＋2＜0，∴x＞2；
若 a≠0，原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0；
当 a＜0 时，1a＜2，解集为x| x＜1a或x＞2；
当 0＜a＜12时，1a＞2，解集为x| 2＜x＜1a； 当 a＝12时，1a＝2，解集为∅；
当 a＞12时，1a＜2，解集为x| 1a＜x＜2.
综上可知，当
a＜0
时，解集为x|
x 1 2x 1
0
(2x
1)(x 2x 1
1) 0
0
1 2
x
1
.
练习巩固
1. 不等式x2＞2x的解集是( )
A. (－∞，0) C. (2，＋∞)
B. (0,2) D. (－∞，0)∪(2，＋∞)
解析：x2＞2x⇔x2－2x＞0⇔x(x－2)＞0，∴x＞2或x＜0. 答案：D
2.（2011 广西柳铁一中第一次月考）不等式 2 x x 1的解集是
预测2013年高考仍将以解一元二次不等式，含参数的一元二次不等 式的求解为主要考查点，重点考查学生的运算能力及逻辑推理能力．
(2012
年高考重庆卷理科
2)不等式
x 1 2x 1
0
的
解集为（ ）
A.
1 2
,1
B.
1 2
,1
C.
.
1 2
1,
[来源:学#科#网]
D.
,
1 2
1,
【答案】 A
【解析】
考点四 一元二次不等式的实际应用
【例4】 某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，
税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于 市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的 税率为P%(即每百元征收P元)时，每年销售量减少10P万件，据此，问：
高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法课件(理)
答案：A
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0
恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析：因为
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝
x2＋2x＋a x >0
恒成立，即
x2
＋2x＋a>0 恒成立．即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立．设 g(x)＝－
(1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解为－12<x<13，则不等式 2x2＋bx ＋a<0 的解集是________．
(2)不等式2xx－＋11≤0 的解集是________． 解析：(1)由题意，知－12和13是一元二次方程 ax2＋bx＋2＝0 的两 根且 a<0，
所以－－1212×＋3311＝＝2a－，ba，解得ab＝＝－－122. ，
(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，
所以 g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3.
所以，实数 a 的取值范围是{a|a>－3}．
答案：{a|a>－3}
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出 厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求， 计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比 例为 x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售 量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－（12－10）×10 0<x<1，
000>0，即0－<6x<010，0x2＋2
高考数学(理)一轮复习精选课件：第6章 第2节 一元二次
(3)已知一元二次不等式的解集求参数．根据根与系数的关系求解．
高频考点全通关——一元二次不等式的解法 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立， 即Δ＝(－a)2－8a<0， ∴0<a<8，即 a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)
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【解析】 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，
又当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.又 f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，
x2－4x，
x>0，
∴f(x)＝ 0，
x＝0，
－x2－4x，
x<0.
①当 x>0 时，由 f(x)>x，得 x2－4x>x，解得 x>5；
的解集为(－2a,4a)，又∵不等式 x2－2ax－8a2<0 的解集为(x1，x2)，
∴x1＝－2a，x2＝4a.∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，解得
【答案】A
a＝5. 2
高频考点全通关——一元二次不等式的解法 闯关二:典题针对讲解——直接考查一元二次不等式的解法 [例 2](2013·广东高考)不等式 x2＋x－2<0 的解集为_____． 【解析】由 x2＋x－2<0，得(x－1)(x＋2)<0，∴－2<x<1，
闯关二:典题针对讲解——已知一元二次不等式的解集求参数
[例 1] (2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的
高频考点全通关——一元二次不等式的解法 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立， 即Δ＝(－a)2－8a<0， ∴0<a<8，即 a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)
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【解析】 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，
又当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.又 f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，
x2－4x，
x>0，
∴f(x)＝ 0，
x＝0，
－x2－4x，
x<0.
①当 x>0 时，由 f(x)>x，得 x2－4x>x，解得 x>5；
的解集为(－2a,4a)，又∵不等式 x2－2ax－8a2<0 的解集为(x1，x2)，
∴x1＝－2a，x2＝4a.∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，解得
【答案】A
a＝5. 2
高频考点全通关——一元二次不等式的解法 闯关二:典题针对讲解——直接考查一元二次不等式的解法 [例 2](2013·广东高考)不等式 x2＋x－2<0 的解集为_____． 【解析】由 x2＋x－2<0，得(x－1)(x＋2)<0，∴－2<x<1，
闯关二:典题针对讲解——已知一元二次不等式的解集求参数
[例 1] (2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的
高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
第三页，共38页。
二、二次函数(hánshù)、一元二次方程与一元二次不等式的关
Δ＝b2－4ac
Δ>0
函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根
有两相异实根x1,2＝
b 2a
一元二 次
不等式 的
解集
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
点评：主元转换是解不等式的一种方法(fāngfǎ)，当不等 式中的参数给出已知范围时，通常将不等式转化为以参数为主 元的不等式，结合函数的单调性和参数的范围，求得原不等式 的解集．
第二十八页，共38页。
变式探究 (tànjiū)
5．(2012·青岛市模拟)若对任意(rènyì)a∈[－1,1]，不等式x2 ＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x的取值范围是( )
第二十七页，共38页。
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题(mìng tí)等 价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝m(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2.
第十六页，共38页。
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
∵sin πx－2<0，∴sin πx－12<0，即 sin πx<12.又－ 1≤x<13，∴－π≤πx<π3.∴由 sin πx<12得－π≤πx<π6，解 得－1≤x<16，即原不等式的解集为－1，16.
二、二次函数(hánshù)、一元二次方程与一元二次不等式的关
Δ＝b2－4ac
Δ>0
函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根
有两相异实根x1,2＝
b 2a
一元二 次
不等式 的
解集
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
ax2＋bx＋c<0 (a>0)
点评：主元转换是解不等式的一种方法(fāngfǎ)，当不等 式中的参数给出已知范围时，通常将不等式转化为以参数为主 元的不等式，结合函数的单调性和参数的范围，求得原不等式 的解集．
第二十八页，共38页。
变式探究 (tànjiū)
5．(2012·青岛市模拟)若对任意(rènyì)a∈[－1,1]，不等式x2 ＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x的取值范围是( )
第二十七页，共38页。
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题(mìng tí)等 价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝m(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2.
第十六页，共38页。
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
∵sin πx－2<0，∴sin πx－12<0，即 sin πx<12.又－ 1≤x<13，∴－π≤πx<π3.∴由 sin πx<12得－π≤πx<π6，解 得－1≤x<16，即原不等式的解集为－1，16.
高考数学大一轮复习 第六章 第2节 一元二次不等式及其解法课件
③若 a＞2，则 a－1＞1,0＜a－1 1＜1,1－a＜0，解得 x＜0， 或a－1 1≤x≤1；
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
ppt精选
17
当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
D.xx≥1或x≤－12
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7
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
．
【答案】 －14
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8
5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
得11＋ ×bb＝ ＝3a2a， .
解得ab＝ ＝12， .
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12
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
(2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或
x≥1；
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16
②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
.
当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
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17
当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
D.xx≥1或x≤－12
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7
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
．
【答案】 －14
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8
5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
得11＋ ×bb＝ ＝3a2a， .
解得ab＝ ＝12， .
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12
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
(2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或
x≥1；
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16
②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
.
当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1
高考数学 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课件 文
第三页，共14页。
(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0.
由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论．
当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a；
当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
综上，a＜0
时，解集为x|x＜
5a，或x＞－a；a＞0
时，解
集为x|x＞5a，或x＜－a.
当 a＝1 时，解集为∅；
当 0＜a＜1 时，解为 1＜x＜1a.
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为x1＜x＜1a
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
第六页，共14页。
[例 2] 解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的 对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a ＜－1； ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a， 解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．
第十二页，共14页。
高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 C ∵x2＋ax＋1≥0，在 x∈0，12时恒 成立， ∴a≥－x－1x. 又－x－1x＝－x＋1x≤－52， ∴a≥－52，即 amin＝－52.
第十三页，共14页。
[针对训练 2] 选 C 函数图象恒在 x 轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0 对于一切 x∈R 恒成立． ①当 a2＋4a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1.若 a＝－5，不等式 化为 24x＋3>0，不满足题意；若 a＝1，不等式化为 3>0，满 足题意． ②当 a2＋4a－5≠0 时，应有 a2＋4a－5>0， 16a－12－12a2＋4a－5<0. 解得 1<a<19. 综上可知，a 的取值范围是 1≤a<19.
(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0.
由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论．
当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a；
当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
综上，a＜0
时，解集为x|x＜
5a，或x＞－a；a＞0
时，解
集为x|x＞5a，或x＜－a.
当 a＝1 时，解集为∅；
当 0＜a＜1 时，解为 1＜x＜1a.
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为x1＜x＜1a
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
第六页，共14页。
[例 2] 解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的 对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a ＜－1； ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a， 解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．
第十二页，共14页。
高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 C ∵x2＋ax＋1≥0，在 x∈0，12时恒 成立， ∴a≥－x－1x. 又－x－1x＝－x＋1x≤－52， ∴a≥－52，即 amin＝－52.
第十三页，共14页。
[针对训练 2] 选 C 函数图象恒在 x 轴上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0 对于一切 x∈R 恒成立． ①当 a2＋4a－5＝0 时，有 a＝－5 或 a＝1.若 a＝－5，不等式 化为 24x＋3>0，不满足题意；若 a＝1，不等式化为 3>0，满 足题意． ②当 a2＋4a－5≠0 时，应有 a2＋4a－5>0， 16a－12－12a2＋4a－5<0. 解得 1<a<19. 综上可知，a 的取值范围是 1≤a<19.
高考数学大一轮复习 第六章 第2节 一元二次不等式及其解法课件
【答案】 A
B.xx≥1或x＜－12
D.xx≥1或x≤－12
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
又因 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，
所以
6 m<x2－x＋1.
因为 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34，
②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
③若 a＞2，则 a－1＞1,0＜a－1 1＜1,1－a＜0，解得 x＜0， 或a－1 1≤x≤1；
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
{x|x1<x<x2}
∅
∅
不等式恒成立问题的解法 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解是全体实数(或恒成立)的条件 是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；当 a≠0 时，aΔ＞＜00，； 不等式 ax2 ＋bx＋c＜0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时， b＝0，c＜0；当 a≠0 时，aΔ＜＜00，.
对点训练 (1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|2＜x＜
3}，则不等式 ax2－bx＋c＞0 的解集为
．
【答案】 {x|－3＜x＜－2}
(2)a∈R，解关于 x 的不等式 x－1x≥a(x－1)． 【解】 原不等式可转化为x－1[1x－ax＋1]≥0(*) (1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1. (2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0 ①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或 x≥1；
高考数学 第2节 一元二次不等式及其解法课件
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一元二次不等式的应用 【例4】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年 销售量为 10000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成 本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同 时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 思路点拨：(1)依据“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”写出；(2)年利润有增 加，即y－(12－10)×10000>0，解此不等式即可得x的范围． 解：(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1) 整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000.(0<x<1)
解：(1)当 B＝∅时，方程 x 2－2ax＋a＋2＝ 0 无解， 则 Δ＝4a 2－4(a＋2)＜ 0， 得－1＜a＜2.
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(2)当 B≠∅时，设 f(x)＝x 2－2ax＋a＋2， A＝{x|x2－5x＋ 4≤ 0}＝{x |1≤x≤ 4}， ∵B⊆A，
∴由图可知
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(对应学生用书第85～86页)
1．一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集： b (1)当 a>0 时，解集为{x|x> }． a b (2)当 a<0 时，解集为{x|x< }． a 质疑探究：不等式 ax＋b>0 是一元一次不等式吗？ 提示：不一定，只有 a≠0 时，它才是一元一次不等式．
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点拨
a>0， 1. f(x)＝ax ＋bx＋c≥0(a≠0)对 x∈R 恒成立时，只要求满足 即 Δ ≤ 0
2
可．另外：
a>0， (1)ax ＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ Δ<0；
解得－7≤a≤－6. 综合①，②，③得a∈[－7,2]．
方法二：f(x)＝x2＋ax＋3≥a，只要f(x)的最小值大于或等于a即可． a a2 2 2 f(x)＝x ＋ax＋3＝x＋2 ＋3－ 4 . a 当－2≤－2≤2，即－4≤a≤4时， a2 f(x)min＝3－ 4 . a2 令3－ 4 ≥a⇔－6≤a≤2，再结合－4≤a≤4，得－4≤a≤2.① a 当－2>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7. 令2a＋7≥a，则a≥－7， ∴－7≤a<－4.② a 当－2<－2，即a>4时， f(x)min＝f(－2)＝7－2a. 7 令7－2a≥a则a≤3，∴a∈∅.③ 由①，②，③，得－7≤a≤2. 即当a∈[－7,2]时，在x∈[－2，2]时，有f(x)≥a恒成立．
x－ax－b≤0， x －a ≤0等价于 x －b x－b≠0.
分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解， 需要注意分式有意义，即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式的 交集，然后求出其解集．
典例分析
考点一 一元二次不等式及分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： 2 (1)－x2＋2x－3>0； (2)8x－1≤16x2； x＋5 (3) ≥2. x－12
第五单元 不等式、推理与证明
第二节 一元二次不等式及其解法
知识汇合
1. 一元二次不等式的解集如下表
2. 分式不等式与一元二次不等式的关系 设a<b，则有 x －a >0等价于(x－a)(x－b)>0； x －b x －a <0等价于(x－a)(x－b)<0； x －b x－ax－b≥0， x －a ≥0等价于 x －b x－b≠0；
x＋5 x＋5 x＋5－2x－12 －2x2＋5x＋3 (3) ≥2⇔ －2≥0⇔ ≥0⇔ ≥0⇔ x－12 x－12 x－12 x－12 2x2－5x－3≤0， 1 ∴－2≤x≤3且x≠1， x－1≠0， x＋5 1 ∴不等式 2≥2的解集为 x－ ≤x≤3且x≠1 . x－1 2
考点三 不等式恒成立问题 【例3】 函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)∵当x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则 Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， ∴－6≤a≤2. (2)方法一：当x∈[－2,2]时，g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况 讨论：
点拨
1. 一般地，对于aபைடு நூலகம்0的一元二次不等式，可以直接按a>0时的解题步 骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解. 2. 分式不等式转化为对应的一元二次不等式(组)来求解.
考点二 含参数不等式的解法 【例2】 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
解 (1)当a＝0时，原不等式可化为x－2<0，其解集为{x|x<2}； 2 2 (2)当a<0时，有2>a，原不等式可化为(x－2)· x－ <0， a 2 其解集为xa<x<2 ； 2 2 (3)当0<a<1时，有2< a ，原不等式可化为(x－2)· x－a >0，其解集为 2 xx> 或x<2 ； a (4)当a＝1时，原不等式可化为(x－2)2>0，其解集为{x|x≠2}； 2 2 (5)当a>1时，有2>a，原不等式可化为(x－2)x－a >0， 2 其解集为xx>2或x<a .
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－ 6≤a≤2. ②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即
Δ≥0， a x＝－2<－2， g－2≥0，
2 a －43－a≥0， a 即－2<－2， 4－2a＋3－a≥0
解 (1)两边都乘以－3，得 3x2－6x＋2<0. 3 3 ∵3>0，且方程 3x －6x＋2＝0 的根是 x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 ，
2
3 3 . 所以原不等式的解集是x1－ <x<1＋ 3 3
(2)方法一： ∵原不等式即为 16x2－8x＋1≥0， 其相应方程为 16x2－8x＋1＝0， 1 Δ＝(－8)2－4×16＝0，∴上述方程有两相等实根 x＝ . 4 结合二次函数 y＝16x2－8x＋1 的图象知，原不等式的解集为 R. 方法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0， ∴x∈R，∴不等式的解集为 R.
a≥2或a≤－6， a>4， ⇔ a≤7， 3
解得a∈∅. ③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0, 即
Δ≥0， a x＝－2>2 g2≥0，
a －43－a≥0， a ，即－2>2， 4＋2a＋3－a≥0
2
a≥2或a≤－6， ⇔a<－4， a≥－7，
点拨
1. 含参数的不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数 进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 2. 若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项 系数不为零时的情形,以便确定解集的形式. 3. 其次对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.