高中数学选修1-2教案3：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学设计

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
整体设计
教材分析
复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一．复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材．对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过向量加法、减法法则来进行)，它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合．
课时分配
1课时．
教学目标
1．知识与技能目标
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．
2．过程与方法目标
培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．
3．情感、态度和价值观
培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．
重点难点
重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则．
难点：复数加法、减法的几何意义．
教学过程
引入新课
我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算．
探究新知
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
提出问题：
问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
问题2：当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？
问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
活动设计：学生独立思考，口答．
活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
设计意图
加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性．
提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．活动设计：学生先独立思考，然后小组交流．
活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
证明：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1.同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
设计意图
引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．
下面我们根据复数的几何意义，探究一下复数加法的几何意义．
提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证．
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决．
设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，
则OZ 1＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ 1＋OZ 2＝(a ＋c ，b ＋d )．
这说明两个向量OZ 1→与OZ 2→的和就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．
活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义． 设计意图
既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想．
下面我们来研究复数的减法
提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义．
活动设计：学生独立完成，口述，教师板书．
活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c ＋d i)＋(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋yi 叫做复数a ＋b i 减去复数c ＋d i 的差，记做(a ＋b i)－(c ＋d i)．
2．复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的．
设计意图
考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力．
提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．
学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a ＋b i)＋(－1)(c ＋d i)
＝(a ＋bi )＋(－c －d i)
＝(a －c )＋(b －d )i.
活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c ＋x ＝a ，d ＋y ＝b ，
因此x ＝a －c ，y ＝b －d ，
即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.
设计意图
让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯．
理解新知
提出问题：
问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？
问题2：复数的加(减)法实质是什么？
问题3：多个复数相加减怎样运算？
活动设计：学生独立完成，口述，教师完善．
活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；
2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；
3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
设计意图
加深对复数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础．
运用新知
例1 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出．
解法一：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i.
解法二：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2)＋(－6－1)i －(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝－11i.
点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性．解法一是直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好．
变式练习
计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(99－100i)＋(－100＋101i)．
思路分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加．
解：原式＝(1－2＋3－4＋…＋99－100)＋(－2＋3－4＋5－…－100＋101)i ＝－50＋50i. 点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性．
变练演编
教师：我们知道，在复数减法的几何意义中，复数z 1－z 2与向量Z 2Z 1→一一对应，那么，
z 1－z 2的模长呢？显然，|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|Z 1Z 2|，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复
数所对应的两个点之间的距离．
提出问题：设动点Z 与复数z ＝x ＋y i 对应，定点P 与复数p ＝a ＋b i 对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程．
活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果．
活动成果：解：设定点P 为圆心，r 为半径，如图，由圆的定义，得复平面内圆的方程|z －p |＝r .
提出问题：
1．复平面内满足__________的点Z 的集合表示的图形是以P 为圆心，r 为半径的不含边界的圆面部分．
2．由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内点的轨迹方程．
活动设计：学生分组完成，教师完善．
活动成果：1.|z －p |<r
2．(1)复数等式|z ＋i|＋|z －i|＝3在复平面上表示一个椭圆．
(2)复数等式|z ＋i|－|z －i|＝1在复平面上表示双曲线的一支．
(3)复数等式|z －z 1|＝|z －z 2|(z 1≠z 2)在复平面上表示线段的中垂线．
(4)复数等式|z ＋i|＋|z －i|＝2在复平面上表示一条线段．
(5)复数等式|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|在复平面上表示平行四边形对角线相等，即表示矩形． 设计意图
设置本组题目，意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义，增加问题的多样性、趣味性，训练学生思维的发散性、深刻性．
达标检测
1．计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．
2．复数6＋5i 与－3＋4i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量AB →，BA →对
应的复数．
3．求复数2＋i ，3－i 所对应的两点之间的距离．
【答案】1.(1)5；(2)－2＋2i.2.－9－i ；9＋i. 3. 5.(提示：两复数所对应的点分别是(2,1)，(3，－1)，求这两点距离即可．)
课堂小结
知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．
1．若干个复数相加(减)，可以将它们的实部与虚部分别相加(减)，复数的加(减)法则与多项式的加(减)法是类似的．
2．复数加(减)法的几何意义可以按照向量的加(减)法来进行．
3．两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．
布置作业
习题3.2 A 组1,3题．
补充练习
基础练习
1．如果复数a ＋b i 与c ＋d i 的和是一个纯虚数，则有( )
A ．b ＋d ＝0且a ＋c ≠0
B ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0
C ．a ＋d ＝0且b ＋c ≠0
D ．b ＋c ＝0且a ＋d ≠0
2．当－1<m <12
时，复数m (2＋i)－(1－i)在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向
量BC →对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．
4．在平行四边形OABC 中(其中O 为原点)，点A 、B 、C 所对应的复数分别是z 1＝4＋a i 、z 2＝6＋8i 、z 3＝a ＋b i(a ，b ∈R )，求复数z 1，z 3，并求出z 1－z 3的值．
【答案】1.B 2.B 3.4－2i 4.z 1＝4＋2i ；z 3＝2＋6i ；z 1－z 3＝2－4i.
拓展练习
5．在复平面内，求满足方程|z ＋i|＋|z －i|＝4的复数z 所对应的点的轨迹．
6．复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.
【答案】5.提示：方程可以变形为|z －(－i)|＋|z －i|＝4，表示到两个定点(0，－1)和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆．
6．提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线的长度为2，则所求的另一条对角线的长度也等于 2.
法二：(向量法)设z 1，z 2所对应的向量分别是a ，b ，将|z 1＋z 2|＝2两边平方得a ·b ＝0，
则(z1－z2)2＝2，所以|z1－z2|＝ 2.
设计说明
本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题入手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念．对于复数减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．
例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生．。