集合综合复习课件

人教A 版 ·数学 （理）
2．已知集合 M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N等于 ()
A．{x|－5<x<5} B．{x|－3<x<5} C．{x|－5<x≤5} D．{x|－3<x≤5} 解 析 ： 画 数 轴 ， 找 出 两 个 区 间 的 公 共 部 分 即 得 M∩N ＝ {x| － 3<x<5}． 答案：B
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若 B≠Ø，则 a≠0，由 ax－1＝0，得 x＝1a， ∴1a＝3 或1a＝5，即 a＝13或 a＝15. 故 C＝0，13，15.
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即时训练 已知函数f(x)＝x2＋x－1，集合M＝{x|x＝f(x)}，N＝
{y|y＝f(x)}，则 ( )
，则称集合A与集
合B相等，这时集合A与集合B中的元素是一样的．
4．集合的运算性质
(1)交集：①A∩B＝B∩A，②A∩A＝A，③A∩Ø＝Ø；④A∩B⊆A，
A∩B⊆B，⑤A∩B＝A⇔A⊆B.
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(2)并集：①A∪B＝B∪A，②A∪A＝A，③A∪Ø＝A，④A∪B⊇A， A∪B⊇B，⑤A∪B＝B⇔A⊆B.
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热点之三 集合的基本运算 在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把 所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦 恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思 想方法，使运算更加直观、简捷．
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[例3] 设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋ a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B； (2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围． [思路探究] 高考对集合运算的考查是一个热点，经常考查具体 的运算，多数情况下会与求函数定义域、值域、解不等式、求范围等 问题联系在一起．解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么， 然后对集合进行化简，并注意将集合之间的间接关系转化为直接关系 进行求解，同时，一定要善于运用数轴等工具进行分析和运算．
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3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的
值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，
又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}．∴a＝4，故选D.
答案：D
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(4)我们约定，用N表示自然数集，N＋或N*表示正整数集，Z表示 整数集，R表示实数集，Q表示有理数集．
2．集合的表示方法
集合有三种表示方法，分别是 列举法 、描述法 和 韦恩图 ． 它
们各有优缺点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析．
3．集合间的基本关系
(1)子集与真子集
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当m＝3时，由x－m<0，得x<3， ∴B＝{x|x<3}． ∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁UB＝{x|3≤x<4}． ∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}． (2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}， 又A∩B＝Ø，∴m≤－2. (3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}， 由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
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1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
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解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}． ∵M＝{－1,0,1}，∴N M，故选B. 答案：B
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[课堂记录]
(1)∵A＝x21≤x≤3
，
当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}，
∴A∩B＝x21≤x<2
，
A∪B＝{x|－2<x≤3}．
(2)∁RA＝xx<12或x>3
，
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当(∁RA)∩B＝B 时，B⊆∁RA. ①当 B＝Ø，即 a≥0 时，满足 B⊆∁RA； ②当 B≠Ø，即 a<0 时，B＝{x|－ －a<x< －a}，要使 B⊆∁
RA，需要 －a≤12，解得－14≤a<0.
综上可得，实数 a 的取值范围是aa≥－14
.
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即时训练 若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}． (1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)； (2)若A∩B＝Ø，求实数m的取值范围； (3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 解：(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4， ∴A＝{x|－2<x<4}．
热点之二 集合间的基本关系 判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关 系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素和它的属性，可 将元素列举出来或通过元素特性，求同存异，定性分析．解决这类问 题应做到意义化(分清集合的种类，包括数集、点集、图形、定义域、 值域、方程或不等式的解等)、具体化(具体求出相关的集合并化简)、 直观化(借助数轴、Venn图、函数图象等，即数形结合的思想)．
①对于两个集合A与B，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，
那么集合A叫做集合B的子集，记作 A⊆B 或 B⊇A
.
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②如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合
A叫做集合B的真子集，记作 A B 或 B A .
(2)集合的相等
对于两个集合A、B，若 A⊆B 且 B⊆A
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4 ． 若 集 合 A ＝ {x|x≤2} ， B ＝ {x|x≥a} 满 足 A∩B ＝ {2} ， 则 实 数 a ＝ ________.
解析：A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}． ∴a＝2. 答案：2
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5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则 (A∪B)∩(∁UC)＝________.
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热点之四 集合中的“新定义”问题 此类题目，结合已有集合知识，新定义一种集合或集合运算，然 后按要求解决问题，此类题目有人称为即时定义型题，也有人称为新 定义型题．
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[例4] (2010·四川高考)设S为复数集C的非空子集．若对任意x， y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
解析：A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,5}． 答案：{2,5}
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热点之一 集合的基本概念 1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意 集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题 的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满 足互异性以确保答案正确． 2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性 质．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
即时训练 已知集合A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值． 解：∵3∈A，∴a＋2＝3，解得 a＝1. 当 a＝1 时，2a2＋a＝3，∴a＝1(舍去)． 由 2a2＋a＝3， 解得 a＝－32或 a＝1(舍去)． 当 a＝－32时，a＋2＝12≠3， ∴a＝－32.
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①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． [思路探究] 根据封闭集的定义逐个进行检验，以及利用反例进 行否定．
A．M＝N
B．M N
C．M∩N＝Ø
D．M N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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解析：由 f(x)＝x2＋x－1，x＝f(x)得 x2－1＝0， x＝±1，故 M＝{－1,1}． y＝f(x)＝x2＋x－1＝x＋122－54≥－54， 故 N＝{y|y≥－54}，故 M N. 答案：D
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[课堂记录] (1)由 x2－8x＋15＝0，得 x＝3 或 x＝5， ∴A＝{3,5}， 若 a＝15，由 ax－1＝0，得15x－1＝0，即 x＝5， ∴B＝{5}．∴B A. (2)∵A＝{3,5}，又 B⊆A， 故若 B＝Ø，则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0；
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[例 2] 设 A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若 a＝15，试判定集合 A 与 B 的关系； (2)若 B⊆A，求实数 a 组成的集合 C. [思路探究] (1)由 a＝15求得集合 B，再判定集合 A 与 B 的关 系． (2)由 B⊆A 应分 B＝Ø 和 B≠Ø 两种情况．
[课堂记录] 由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知 a≠0，则只能 a＋b＝0.则有以下对应关系：
a＋b＝0，
a＋b＝0，
bab＝＝1a.，
①或b＝a， ab＝1.
②
由①得ab＝＝－1 1， 符合题意；②无解． ∴b2011－a2011＝1－(－1)＝2.
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第一节 集合
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1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合 的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
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[课堂记录] 设x＝a1＋b1i，y＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2为整数， 则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i，x－y＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，xy＝(a1a2－ b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2为整数，故a1±a2，b1±b2， a1a2－b1b2，a1b2＋a2b1都是整数，所以x＋y，x－y，xy∈S，故集合S＝ {a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，①是真命题；若S是封闭 集，若x＝y∈S，则根据封闭集的定义，x－y＝x－x＝0∈S，故命题② 正确；集合S＝{0}，显然是封闭集，故封闭集不一定是无限集，命题 ③不正确；集合S＝{0}⊆{0,1}＝T⊆C，容易验证集合T不是封闭集，故 命题④不是真命题．故填①②.
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1．集合的概念 (1)指定的对象的全体集在一起就构成一个集合，其中每个对象叫 做集合中的元素，集合中的元素具有 确定性 、无序性 、 互异性 三 个特性． (2)根据集合中元素的多少，集合可以分为 有限集 、 无限集 和 空集 ． (3)符号∈，∉表示元素和集合之间的关系．
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[例1] 若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b2011－a2011 的值．
[思路探究] 由{1，a＋b，a}＝{0，，b}可知a≠0，因此只能a＋b ＝0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别求出a、b的值即 可．
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(3)交集、并集、补集的关系 ①A∩∁UA＝Ø；A∪∁UA＝U. ②∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
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③对于元素个数的计算问题，可参照下图，其中U为全集：
区 域 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ 分 别 表 示 ： ∁ U(A∪B) 、 A∩∁UB 、 A∩B 、 B∩∁UA.
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命题热点 1.集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正 确理解概念是解决此类问题的关键． 2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面，一是命题 的四种形式及原命题与逆否命题的等价性；二是充要条件的判定． 3．全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两 种命题的否定形式是解决此类问题的关键． 4．本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也 应注意这两种思想的应用.