2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市七年级(下)期中数学试题及答案解析

2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列现象中，不属于平移的是( )
A. 滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B. 时针的走动
C. 商场自动扶梯上顾客的升降运动
D. 火车在笔直的铁轨上行驶
2. 若关于x、y的方程ax+y=2的一组解是{x=4
y=−6，则a的值为( )
A. −1
B. 1
2
C. 1
D. 2
3. 一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为( )
A. 0.65×10−5
B. 65×10−7
C. 6.5×10−6
D. 6.5×10−5
4. 如图，∠1和∠2属于同位角的有( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④⑤
D. ①②⑤
5. 下列计算中，错误的是( )
A. (a2)3÷a4=a2
B. (−5
2
x2)⋅(−2x)=5x3
C. (a−b)(−a+b)=−a2−b2
D. (x−1)(x+3)=x2+2x−3
6. 下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. (x+1)(x−1)=x2−1
B. m2−2m−3=m(m−2)−3
C. 2x2+1=x(2x+1
x
) D. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
7. 如果(x+1)(5x+a)的乘积中不含x一次项，则a为( )
A. 5
B. −5
C. 1
5D. −1
5
8. 若x=2m+1，y=4m−3，则下列x，y关系式成立的是( )
A. y=(x−1)2−4
B. y=x2−4
C. y=2(x−1)−3
D. y=(x−1)2−3
9. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是( )
A. 2019
B. 2020
C. 2021
D. 2022
10. 如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a<b.把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1=6S2，则a，b满足的关系式为( )
A. 3b=4a
B. 2b=3a
C. 3b=5a
D. b=2a
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：a2−2a=______．
12. 计算−(−2022)0+(1
)−2+(−3)3=______．
2
13. 小宁同学用x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张邻边长分别为a、b的长方形纸片，拼出了邻边长分别为9a+b、6a+3b的大长方形，那么小宁原来共有纸片______张．
14. 如图，在三角形ABC中，点E、F分别在边AB、BC上，将三角形BEF沿EF折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连结AD，若BC= 10，则阴影部分的周长为______．
15. 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD=∠BEF=62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为______ 度.
16. 若一个自然数能表示为两个相邻自然数的平方差，则这个自然数为“智慧效”，比如22−12=3，3就是智慧数．从0开始，不大于2022的智慧数共有______个．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(−2a 2)3+3a 2⋅a 4．
(2)−x(3xy −6x 2y 2)÷(3x 2).
18. (本小题5.0分)
先化简，后求值：(2x +3)(2x −3)−(x −2)2−4x(x −1)，其中x =2．
19. (本小题9.0分)
解下列方程组：
(1){y =2x −35x +y =11
； (2){x−y 3=x+y
22x −5y =7． 20. (本小题8.0分)
阅读：已知a +b =−4，ab =3，求a 2+b 2的值．
解：∵a +b =−4，ab =3，
∴a 2+b 2=(a +b)2−2ab =(−4)2−2×3=10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
(1)已知a −b =−5，ab =−2，求a 2+b 2的值．
(2)已知(2021−a)(2022−a)=4043，求(2021−a)2+(2022−a)2的值．
21. (本小题8.0分)
如图，AC//FE ，∠1+∠3=180°．
(1)判定∠FAB 与∠4的大小关系，并说明理由；
(2)若AC 平分∠FAB ，EF ⊥BE 于点E ，∠4=78°，求∠BCD 的度数．
22. (本小题8.0分)
已知关于x ，y 的方程组{2x −y =5a 2x +3y =9a −8
，其中a 是实数． (1)若方程组的解也是方程x −5y =3的一个解，求a 的值；
(2)求k 为何值时，代数式x 2−kxy +9y 2的值与a 的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．
23. (本小题10.0分)
为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户.若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩.若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
24. (本小题12.0分)
如图，直线PQ//MN ，一副三角尺(∠ABC =∠CDE =90°,∠ACB =30°,∠BAC =60°,∠DCE =∠DEC =45°)按如图①放置，其中点E 在直线PQ 上，点B ，C 均在直线MN 上，且CE 平分∠ACN ．
(1)求∠DEQ 的度数．
(2)如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒3度的速度按逆时针方向旋转(A,C 的对应点分别为F ，G)，设旋转时间为t(s)(0≤t ≤60)．
①在旋转过程中，若边BG//CD ，求t 的值．
②若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒2度的速度按顺时针方向旋转(C,D 的对应点为H ，K).请直接写出当边BG//HK 时t 的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A 、滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行，是平移现象；
B 、时针的走动，是围绕一个点旋转，不是平移现象；
C 、商场自动扶梯上顾客的升降运动，是平衡现象；
D 、火车在笔直的铁轨上行驶，是平移现象．
故选：B ．
利用平移的两要素来判断即可．
本题考查平移的定义，解题关键就是了解平移的两要素：方向和距离．
2.【答案】D
【解析】解：将{x =4y =−6
代入方程ax +y =2，得4a −6=2， 解得a =2．
故选：D ．
根据方程的解满足方程，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a 的方程是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：数字0.0000065用科学记数法表示为6.5×10−6．
故选：C ．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10−n ，其中1≤|a|<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：①、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；
②、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；
③、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；
④、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；
⑤、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；
故选：D．
根据同位角定义进行解答即可．
此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角定义．
5.【答案】C
【解析】解：A、原式=a6÷a4=a2，故A正确．
x2⋅(−2x)=5x3，故B正确．
B、原式=−5
2
C、原式=−(a−b)(a−b)=−a2+2ab−b2，故C错误．
D、原式=x2+2x−3，故D正确．
故选：C．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
6.【答案】D
【解析】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7.【答案】B
【解析】
本题主要考查了多项式乘多项式，当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.首先利用多项式乘以多项的计算方法进行乘法运算，再根据乘积中不含x 的一次项，使含x 的一次项的系数之和等于0即可．
【解答】
解：∵(x +1)(5x +a)=5x 2+ax +5x +a =5x 2+(a +5)x +a ，
又∵乘积中不含x 一次项，
∴a +5=0，
解得a =−5．
故选B ．
8.【答案】D
【解析】解：∵x =2m +1，
∴2m =x −1，
∵y =4m −3=22m −3=(x −1)2−3，
故选：D ．
根据幂的乘方法则可得y =4m −3=22m −3，由x =2m +1可得2m =x −1，再根据幂的乘方计算即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设做竖式的无盖纸盒为x 个，横式的无盖纸盒为y 个，
由题意得：{4x +3y =n x +2y =m
， 两个方程相加得：m +n =5(x +y)，
∵x 、y 都是正整数，
∴m +n 是5的倍数，
∵2018、2019、2020、2021四个数中只有2020是5的倍数，
∴m +n 的值可能是2020，
设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，再根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，然后根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得，S1=(a+b)2−b2−a2=2ab，S2=(b−a)a=ab−a2，
∵S1=6S2，
∴2ab=6(ab−a2)，
2ab=6ab−6a2，
∵a≠0，
∴b=3b−3a，
∴2b=3a，
故选：B．
用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，用含a，b的代数式表示出S1，S2是解答此题的关键．
11.【答案】a(a−2)
【解析】
【分析】
本题考查提公因式法−因式分解，较为简单，找准公因式即可．
先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】
解：a2−2a=a(a−2)．
故答案为：a(a−2)．
12.【答案】−24
)−2+(−3)3
【解析】解：−(−2022)0+(1
2
=−1+4+(−27)
=3−27
故答案为：−24．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
13.【答案】90
【解析】解：∵(9a+b)(6a+3b)
=54a2+27ab+6ab+3b2
=54a2+33ab+3b2，
∴xa2+yb2+zab=54a2+33ab+3b2，
∴x=54，y=3，z=33，
所以小宁共有纸片54+33+3=90(张)．
故答案为：90．
利用给出的边长为9a+b，6a+3b的长方形计算出面积，从而得到x，y，z的值，相加即可．
本题考查的是多项式的乘法的应用，关键是熟记乘法法则．
14.【答案】10
【解析】解：∵△BEF沿EF折叠点B落在点D处，
∴DF=BF，
∵DF沿BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，
∴四边形ADFC为平行四边形(DF//AC且DF=AC)，
∴AD=FC，
∵BC=BF+FC=10，
∴DF+FC=10，
∴四边形ADFC的周长为：2×(DF+FC)=2×10=20，
故答案为：20．
由折叠性质得DF=BF，四边形ADFC为平行四边形，AD=FC，再由BC=BF+FC=10，可得四边形ADFC的周长为：2×(DF+FC)．
题主要考查了翻折及平移变换，解题的关键是掌握折叠及平移的性质，求出DF+FC=10．
15.【答案】59或121
【解析】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，
∵∠MFD=∠BEF=62°，
∴CD//AB，
∴∠GEB=∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB=∠GEF=1
∠BEF=31°，
2
∴∠FGE=31°，
∴∠PGF=∠PGE−∠FGE=90°−31°=59°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE=90°，
同理：∠P′GF=∠PGE+∠FGE=90°+31°=121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE=90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
16.【答案】1011
【解析】解：∵(n+1)2−n2=2n+1，
∴所有的奇数都是智慧数，
∵2022÷2=1011，
∴不大于2022的智慧数共有1011个．
故答案为：1011．
根据“智慧数”的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案．
此题考查了新定义，平方差公式，理解“智慧数”的定义是解题关键．
17.【答案】解：(1)(−2a 2)3+3a 2⋅a 4
=−8a 6+3a 6
=−2a 6；
(2)−x(3xy −6x 2y 2)÷(3x 2)
=(−3x 2y +6x 3y 2)÷(3x 2)
=−3x 2y ÷(3x 2)+6x 3y 2÷(3x 2)
=−y +2xy 2．
【解析】(1)先算积的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可；
(2)先算单项式乘多项式，再算多项式除以单项式即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应运算法则的掌握．
18.【答案】解：原式=4x 2−9−(x 2−4x +4)−4x 2+4x
=4x 2−9−x 2+4x −4−4x 2+4x
=−x 2+8x −13，
当x =2时，
原式=−22+8×2−13
=−4+16−13
=−1．
【解析】根据完全平方、平方差公式及单项式乘多项式法则先化简，再将x =2代入计算即可． 本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方、平方差公式及单项式乘多项式法则，把所求式子化简．
19.【答案】解：(1){y =2x −3①5x +y =11②
， 把①代入②，得5x +2x −3=11，
解得：x =2，
把x =2代入①，得y =4−3=1，
所以方程组的解是：{x =2y =1
；
(2)整理得：{x +5y =0①2x −5y =7②
， ①+②，得3x =7，
解得：x =73
， 把x =73代入①，得73
+5y =0， 解得：y =−715
， 所以方程组的解是：{x =73y =−715． 【解析】(1)把①代入②得出5x +2x −3=11，求出x ，把x =2代入①求出y 即可；
(2)①+②得出3x =7，求出x ，把x =73代入①求出y 即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)∵a −b =−5，ab =−2，
∴a 2+b 2=(a −b)2+2ab
=25−4
=21；
(2)设m =2021−a ，n =2022−a ，则m −n =−1，mn =(2021−a)(2022−a)=4043， ∴(2021−a)2+(2022−a)2=m 2+n 2
=(m −n)2+2mn
=1+8086
=8087．
【解析】(1)由a 2+b 2=(a −b)2+2ab ，代入计算即可；
(2)设m =2021−a ，n =2022−a ，可得m −n =−1，mn =(2021−a)(2022−a)=4043，利用m 2+n 2=(m −n)2+2mn ，代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．
21.【答案】解：(1)∠FAB =∠4，
理由如下：
∵AC//EF ，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1+∠3=180°，
∴∠2=∠3，
∴FA//CD ，
∴∠FAB =∠4；
(2)∵AC 平分∠FAB ，
∴∠2=∠CAD ，
∵∠2=∠3，
∴∠CAD =∠3，
∵∠4=∠3+∠CAD ，
∴∠3=12∠4=12×78°=39°，
∵EF ⊥BE ，AC//EF ，
∴AC ⊥BE ，
∴∠ACB =90°，
∴∠BCD =90°−∠3=51°．
【解析】(1)由已知可证得∠2=∠3，根据平行线的判定得到FA//CD ，根据平行线的性质即可得到∠FAB =∠4；
(2)根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)方程组{2x −y =5a①2x +3y =9a −8②
， ①×3+②得：8x =24a −8，
解得：x =3a −1，
把x =3a −1代入①得：y =a −2，
则方程组的解为{x =3a −1y =a −2
，
把{x =3a −1y =a −2
代入方程x −5y =3得：3a −1−5a +10=3， 解得：a =3；
(2)x 2−kxy +9y 2
=(x −3y)2+6xy −kxy ，
∵{x =3a −1y =a −2
， ∴x −3y =3a −1−3(a −2)=5，
∴x 2−kxy +9y 2，=(x −3y)2+6xy −kxy =25+(6−k)xy ，
∵代数式x 2−kxy +9y 2的值与a 的取值无关，
∴当k =6时，代数式x 2−kxy +9y 2的值与a 的取值无关，定值为25．
【解析】(1)把a 看作已知数，利用加减消元法求出解，把方程组的解代入方程计算求出a 的值，代入原式计算即可求出值；
(2)将代数式x 2−kxy +9y 2配方=(x −3y)2+6xy −kxy =25+(6−k)xy ，即可求解．
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)设医用口罩的单价为x 元/个，洗手液的单价为y 元/瓶，
根据题意得：{800x +120y =5400+2001200x +80y =5400
， 解得：{x =2.5y =30
， 答：医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶；
(2)设增加购买N95口罩a 个，洗手液b 瓶，则医用口罩(1200−a)个，
根据题意得：6a +2.5(1200−a)+30b =5400，
化简，得：7a +60b =4800，
∴b =80−7a 60，
∵a ，b 都为正整数，
∴a 为60的倍数，且a ≤200，
∴{a =60b =73，{a =120b =66，{a =180b =59， ∴有三种购买方案．
【解析】(1)设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可；
(2)设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200−a)个，根据题意得6a+2.5(1200−
a)+30b=5400，解得b=80−7a
，由题意得a为60的倍数，且a≤200，进而得出结论．
60
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用；由题意列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图①中，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACN=180°−∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∠ACN=75°，
∴∠ECN=1
2
∵PQ//MN，
∴∠QEC+∠ECN=180°，
∴∠QEC=180°−75°=105°，
∴∠DEQ=∠QEC−∠CED=105°−45°=60°．
(2)①如图②中，
∵BG//CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN−∠ECD=75°−45°=30°，
∴∠GBC=30°，
∴3t=30，
∴t=10s．
∴在旋转过程中，若边BG//CD，t的值为10s．
②如图③中，当BG//HK时，延长KH交MN于R．
∵BG//KR，
∴∠GBN=∠KRN，
∵∠QEK=60°+2t，∠K=∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN=90°−(60°+2t)=30°−2t，
∴3t=30°−2t，
∴t=6s．
如图③−1中，当BG//HK时，延长HK交MN于R．
∵BG//KR，
∴∠GBN+∠KRM=180°，
∵∠QEK=60°+2t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，∴∠KRM=90°−(180°−60°−2t)=2t−30°，
∴3t+2t−30°=180°，
∴t=42s．
综上所述，满足条件的t的值为6s或42s．
【解析】(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
(2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG//HK时，延长KH交MN于R.根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题．如图③−1中，当BG//HK时，延长HK交MN于R.根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。