不等式综合练习题

不等式专题练习题
一、知识内容
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用．
二、核心思想方法
解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第5题是对2,a b使用不等式，而不是对,a b使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式）、距离（目标函数含二元二次多项式）、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第9、22、23、24题．
三、高考命题趋势
本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握：
1．以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变，每年高考必有一题．四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第8、28题．（2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第7、9题．（3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第17、18题．（4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的，如下
面练习题的第20题．
2．以解答题形式命题：不等式证明与解法是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高．均值不等式在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高．线性规划问题也可以用实际问题进行考查，考查优化思想在解决问题的广泛应用，体现数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识．但是，考虑到线性规划应用题毕竟知识较为单一，所以在高考中出现的频率不高．考虑到不等式与函数、导数、解析几何的综合题中，不等式仅是其中的一个工具，所以本专题的选的解答题主要侧重于不等式的证明与解法． 练习题
1．（山东省临沂市高三教学质量检测考试）集合{}220A x x x =--≤，{}1B x x =<，则()R A C B ⋂=（ ）
（A ）{}1x x > （B ）{}12x x ≤≤ （C ）{}12x x <≤ （D ）{}
1x ≥
2．（安徽省安庆市高三3月模拟考试（二模））下列命题中错误的是（ ）
A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”
B ．若,x y R ∈，则“x y =”是22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则例题p 与q 中必一真一假
D ．对命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++…
3．（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设条件p ：
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x x -≥+，条件:q (1)(2)0x x -+≥，则条件p 是条件q 的（ ） A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件
4．（湖南省长、望、浏、宁高三3月一模联考）设,x y R ∈，则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5． （山东省青岛市3月高三统一质量检测）已知0,0a b >>,且24a b +=,则1ab
的最小值为（ ）
A ．14
B ．4
C ．12
D ．2 6．（广东省六校高三第二次联考试题）若函数1(),(2)2f x x x x =+
>- 在x n =处有最小值，则n =( ) A
．1
．1 C ．4 D ．3
7．（山东省临沂市高三教学质量检测考试）实数,x y 满足1,(1),0,x y a a x y ≥⎧⎪≤>⎨⎪-≤⎩
若目标函数z x y =+取得最大值4，则实
数a 的值为（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）32
8．（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设实数,x y 满足 2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，则22x y u xy +=的取值范围是 （ ） .A ．5
[2,]2 .B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．1[,4]4 9．（广州市普通高中毕业班综合测试）在平面直角坐标系中，若不等式组2020x y x y x t +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为4，
则实数t 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．（安徽省安庆市高三3月模拟考试）已知,x y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的最大值与最小值的比值
为（ ）
A ． 12
B ．2
C ．32
D ．43
11．（江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 （填写序号）． ①1a b >- ②1a b >+ ③22a b > ④33a b >
12．（山东青岛高三期末检测） 已知点(,)A m n 在直线220x y +-=上，则24m n +的最小值为 ．
13． (江苏省泰州市高三年级第一次模拟)已知正实数,,x y z 满足112()x x yz y z ++=，则11()()x x y z
++的最小值为_____．
14．（湖南省长、望、浏、宁高三3月一模联考）若实数,,a b c 满足
111111,122222a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是 ．
15． (江苏省南京市高三第一次模拟考试)已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 ．
16．（山东省胜利油田一中高三下学期第一次调研考试）已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y
+的最小值为 ．
17．（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）若正实数,,a b c 满足：320a b c -+=
的最大值为 ． 18．（浙江省宁波市高三“十校”联考） 设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y
+最小值为 ． 19．（上海华师大一附中高三联合调研考试数学试卷）若213
16log 1a a M a -+=-,[4,17]a ∈,则M 的取值范围是_____．
20．（安徽省安庆市高三3月模拟考试）已知4510x y ==，则12x y
+= ． 21．（苏北四市高三年级二轮模拟考试）知ABC ∆的三边长a,b,c 成等差数列,且22284a b c ++=,则实数b 的取值范围是__________．
22．（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）实数,x y 满足，0,1,21x y x y x y -≥+≤+≥，则63z x y =+的最小值为 ．
23．(湖北省黄冈中学模拟考试)若实数x ，y 满足430,14,7.x y x y x y +=⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
_____．
24．（山东省青岛市3月高三统一质量检测）设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
,则目标函数1y z x +=的最小值为 ．
25．（广东省六校高三第二次联考试题）已知,0,0x y xy x y +=>>则x y +的最小值是 ．
26． （浙江省名校新高考研究联盟第一次联考）若不等式222(2)2a x y x xy +≥+对任意非零实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为 ．
27．（北京朝阳区高三期末考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-．则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元．
28．（广东省六校高三第二次联考试题数学理题）如果直线12:220,:840l x y l x y -+=--=与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，求a b +的最小值．
29．（江苏省启东中学高三第二次模拟考试）已知222:6160,:440(0)p x x q x x m m -++≥-+-≤>．
（1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；
（2）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
30．（江苏省南京市高三第二次模拟考试）已知0,0,1a b a b >>+=，求证：14921214
a b +++…． 31．（江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）设命题p ：方程22
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x y a a +=+-表示双曲线，命题q ：圆22(1)9x y +-=与圆22()(1)16x a y -++=相交．若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
32．（山东省青岛市高三期末检测数学理科）已知函
数y 的定义域为R ，解关于x 的不等式220x x a a --+>．
33．（江苏盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题）设1a ，2a ，3a 均为正数，且123a a a m ++=．
求证：1223311119.2a a a a a a m
++≥+++ 34（山东省聊城市水城中学高三下学期第二次模拟考试）已知函数2()log (|1||2|f x x x a =-++-）．
（Ⅰ）当7a =时，求函数()f x 的定义域；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x ≥的解集是R ，求a 的取值范围．
练习题答案：
1．B 2．C 3．B4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B 11．② 12．4 13
．22log 3-
15． 7 16．4 17
18．4 19． 3[2log 2,2]--- (或3[log 18,2]--等 20．2 21
． 22．3 23．[0,10] 24．1 25．4 26．1 27．5，8
28．解：设(),P x y 为封闭区域中的任意点，(),P x y 满足约束条件220
8400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，作出可行域可知目标函数的
最优解为(1,4)B ． 把(1,4)B 代入(0,0)Z abx y a b =+>>得最大值8，解得 4ab =．
由基本不等式得：4a b +≥=（当且仅当2a b ==时，等号成立），故a b +的最小值为4．
29．解：（1）由26160x x -++…得，28x -剟，所以p 为真命题时，x 的取值范围是[2,8]-．
(2):[2,2]q x m m ∈-+,若p 为q 成立的充分不必要条件，则[2,8]-是[2,2]m m -+的真子集，
所以0,22,28.m m m >⎧⎪--⎨⎪+⎩
……解得
6m … 30．证明： 因为0,0,1a b a b >>+=，所以(21)(21)4a b +++=， 而14214(21)()(21)(21)1421212121
b a a b a b a b ++++++=++++++
+59+=…，所以结论成立． 31．解：若p 真，即方程22
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x y a a +=+-表示双曲线，则(6)(7)0a a +-<，解得67a -<<． 若q 真，即圆()2219x y +-=与圆()()22
116x a y -++=
相交，则17,
解得a -<
若“p ⌝且q ”为真命题，则p 假q 真， 则
67a a a ≤-≥⎧⎪⎨-<⎪⎩或
6a -<≤-，
所以符合条件的实数a
的取值范围是6a -≤-．
32．解：因为函
数y 义域为R ，所以2210ax ax ++≥恒成立()*
当0a =时，10≥恒成立,满足题意， 当0a ≠时，为满足()* 必有0a >且2440a a ∆=-≤，解得01a <≤． 综上可知：a 的取值范围是01a ≤≤． 原不等式可化为()()10x a x a -⎡--⎤>⎣⎦． 当102a ≤<
时，不等式的解集为{x x a <或1}x a >-；当12a =时， 不等式的解集为1{}2x x ≠； 当112
a <≤时，不等式的解集为{1x x a <-或}x a >． 33．证明：122331122331111(
)()()()a a a a a a a a a a a a ++++++++++ 3123()(9a a a a a a +++…，又123a a a m ++=，所以原不等式成立． 34．解：（Ⅰ）由题设知：127x x -++>，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
1127x x x ≥⎧⎨-++>⎩，或21127x x x -<<⎧⎨-+++>⎩，或2127
x x x ≤-⎧⎨-+-->⎩ 解得函数()f x 的定义域为(,4)(3,)-∞-+∞． （Ⅱ）不等式()3f x ≥即128x x a -++≥+，x R ∈时，恒有12(1)(2)3x x x x -++≥--+=，不等式128x x a -++≥+解集是R ，83,a +≤∴5,a ≤-∴a ∴的取值范围是(,-5]-∞．。