陕西省西安高新第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

陕西省西安高新第一中学2023-2024学年高一下学期第一次
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}
1
N|24x A x -=∈<，集合{}3|log (1)1B x x =+<，则A B =I （ ）
A ．(3),-∞
B ．(1,3)-
C ．{0,1}
D ．{0,1,2}
2．如图，在△OAB 中，点P 在边AB 上，且
3
2
AP PB =．则OP =u u u r （ ）
A ．3255OA O
B +u u u r u u u r B ．2355OA OB +u u u r u u u r
C ．3255OA OB -u u u r u u u r
D ．2355
OA OB -u u u
r u u u r
3．已知向量,a b r r 为非零向量，向量,a b r
r 之间夹角为,:p θθ为钝角，:0q a b ⋅<r r ，则p 是
q 的（ ）条件.
A ．充要
B ．必要不充分
C ．充分不必要
D ．既非充分也非必要
4．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD =15°，∠BDC =30°，CD =30m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数2()1cos 1e x
f x x ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
的部分图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知()f x 为R 上偶函数，且对1212,[0,),x x x x ∀∈+∞≠时，都有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，
若()
1.1
,(sin1),2
a f
b f
c f -⎛=== ⎝
则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b<c<a
7．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且1b =，cos cos A a B a -=，则（ ） A ．ππ64
A <<
B ．ππ
63A << C ．
ππ
43
A << D ．
ππ42
A << 8．已知ABC V 中，,,A
B
C 所对的边为,,,a b c 若,,O P H 为ABC V 所在平面内点，则下列说法正确的个数为（ ）
①若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则O 为三角形ABC 的重心；
②若222222
HA BC HB CA HC AB +=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点H 是ABC V 的垂心；
③若O 是ABC V 的外心，则sin2sin2sin20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r
；
④若O 是ABC V 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r
.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、多选题
9．已知平面向量()2,1a =-r
，(2,)b t =r ，则下列说法错误的是（ ）
A ．若6t =，则向量a r 与b r
的夹角为锐角
B ．若a b r r
=，则1t =
C ．a r
方向上的单位向量为⎝⎭
D ．若3t =，则向量a r 在b r
上的投影为10．
已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则下列各选项正确的是（ ）
A ．2ω=
B ．将()f x 图象上所有的点向右平移π
6个单位长度，可得到2sin 2y x =的图象
C ．()f x 在π5π,612⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增
D ．直线π
6
x =是图象的一条对称轴
11．在ABC V 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，则下列叙述正确的是（ ）
A ．若cos cos b C c
B b +=，则AB
C V 是等腰三角形. B ．若A B >，则cos2cos2A B <.
C ．若2,3,30a b A ︒==∠=，则解此三角形的结果有一解.
D ．若角C 为钝角，则333a b c +<. 12．下列说法正确的是（ ）
A ．若1
2x <
，则1221
x x +-的最大值是1- B ．若,,x y z 都是正数，且2x y z ++=，则
41
1x y z
+++的最小值是3 C ．若0,0,228x y x xy y >>++=，则2x y +的最小值是3 D ．若实数,x y 满足22228x xy y ++=，则2x y +的最大值是4
三、填空题
13．已知平面向量,a b r r 满足||1a =r ，||2,b a =r r
与b r 的夹角为60︒，则|2|a b +r r 的值.
14．ABC V 的内角,,A B C 所对应边为,,a b c ，若π2,4a A ==
，则
sin sin +=+b c
B C . 15．若ABC V
为边长为P 满足
2CP =u u u r ，则AP BP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为. 16．已知函数241,1()log 3,1
x
x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛
⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M
中有3个元素，则实数t 的取值范围为．
四、解答题
17．已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-r
.
(1)当实数k 为何值时，()()
ka b a b -⊥+r r r r
？
(2)若2AB a b =-u u u r r r
，BC a mb =+u u u r r r ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值.
18．（1）已知函数()log (2)4,(0a f x x a =-->且1),()a f x ≠图像过定点M ，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，角α终边经过点M ，求
3sin(π)cos π2cos(2π)sin()
αααα⎛⎫++- ⎪
⎝⎭-+-的值.
（2）已知()
3sin 30,901805
αα︒︒︒
+=<<，求cos α的值.
19．如图所示，在平面四边形ABCD
中，1,2,AD CD AC ===
(1)求cos CAD ∠的值.
(2)若B
为锐角，2,sin BC BAC =∠=
B . 20．已知函数()π
sin )(0,0,||)2
(f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示.
(1)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间； (2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移
π
12
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.若方程()0g x m -=在7π0,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求()123tan 2x x x ++的值
.
21．在锐角ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a b
C A B
+=+ (1)求角C 的大小；
(2)若c A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围. 22．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．
(1)用AB u u u r ，AC u u u
r 表示AO u u u r ；
(2)若3
4
AM =
，求AN 的值； (3)求22OM ON +的最大值与最小值．。