考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24
B．一24
C．48
D．一48
正确答案：D
解析：知识模块：线性代数部分
2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．
A．0
B．54
C．-2
D．-24
正确答案：B
解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：线性代数部分
3．设n维行向量，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．
A．0
B．一E
C．E
D．E+αTα
正确答案：C
解析：知识模块：线性代数部分
4．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．
A．若A，B可逆，则A+B可逆
B．若A，B可逆，则AB可逆
C．若A+B可逆，则A—B可逆
D．若A+B可逆，则A，B都可逆
正确答案：B
解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数部分
5．设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．
A．AB为对称矩阵
B．设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵
C．A+B为对称矩阵
D．kA为对称矩阵
正确答案：A
解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．知识模块：线性代数部分
6．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．
A．AB=0的充分必要条件是A=0或B=0
B．AB≠0的充分必要条件是A≠0且B≠0
C．AB=0且r(A)=n，则B=0
D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0
正确答案：C
解析：知识模块：线性代数部分
7．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．
A．｜A｜=｜B｜
B．｜A｜≠｜B｜
C．若｜A｜=0则｜B｜=0
D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0
正确答案：C
解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Q都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数部分
8．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．
A．r＞r1
B．r＜r1
C．r≥r1
D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定
正确答案：C
解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数部分
9．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．
A．r＞m
B．r=m
C．r＜m
D．r≥m
正确答案：C
解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数部分
10．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．
A．r(A)=1
B．r(A)=2
C．r(A)=3
D．r(A)=4
正确答案：C
解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数部分
11．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．r(B)=n
B．r(B)＜n
C．A2一B2=(A+B)(A—B)
D．｜A｜=0
正确答案：C
解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数部分
12．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：知识模块：线性代数部分
13．
A．B=P1P2A
B．B=P2P1A
C．B=P2AP1
D．B=AP2P1
正确答案：D
解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数部分
14．
A．B=P1AP2
B．B=P2AP1
C．B=P2-1AP1
D．B=P1-1AP2-1
正确答案：D
解析：知识模块：线性代数部分
填空题
15．
正确答案：23
解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分
16．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=_________．
正确答案：1
解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数部分
17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=_________.
正确答案：(-1)mnab
解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数部分
18．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=________．
正确答案：-33
解析：｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数部分
19．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．
正确答案：63
解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数部分
20．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_________．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
21．
正确答案：0
解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=0．知识模块：线性代数部分
22．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
23．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________．
正确答案：AB=BA
解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数部分
24．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________
正确答案：2
解析：知识模块：线性代数部分
25．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
26．
正确答案：8
解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故知识模块：线性代数部分
27．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=_________．
正确答案：576
解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*，所以｜(一2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数部分
28．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
29．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
30．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
31．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
32．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=_________(用A*表示)．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
33．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
34．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．
正确答案：-1
解析：知识模块：线性代数部分
35．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=__________．
正确答案：
解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，知识模块：线性代数部分
36．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．
正确答案：2
解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数部分37．
正确答案：2
解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分
38．
正确答案：
解析：知识模块：线性代数部分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

39．
正确答案：涉及知识点：线性代数部分
40．
正确答案：涉及知识点：线性代数部分
41．
正确答案：涉及知识点：线性代数部分
42．
正确答案：涉及知识点：线性代数部分。