运用科学计算器进行数学实验的可行性初探

运用科学计算器进行数学实验的可行性初探
海南中学 莫礼安
数学规律和结论都是抽象的结果，抽象是反映具体事物共性的方式。

共性来自于比较，而比较的原始出发点是观察和实验。

数学实验是人们根据数学研究的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，并对其实行观察和研究的一种方式。

数学实验可以把一些较为复杂的问题变的直观化和简单化，有利于问题的解决。

而数学实验主要工具有计算机、图形计算器、学生专用科学计算器等，而科学计算器将成为高中数学实验最主要工具，以下从两大方面进行阐述：
（1）可普及性
由于图形计算器的价格昂贵，要想大面积普及是相当困难的；计算机虽然能普及到各个学校，但是扩招后学生过多，计算机较少的问题也很难解决，而学生操作计算机进行数学实验、尝试解决实际问题的机会不多，一般都是“教师操作，学生观看”的被动接受教学模式居多，有些学校干脆连教师操作都省掉，更别说学生动手操作，实在违背“注重培养学生动手操作能力”的新课程理念；而学生专用科学计算器则不同：学生专用计算器价格一般在25至50元左右（学生买得起），各文具店内均有销售（买得到），以“深南雁Lf -118B 型计算器”为例，其价格为25~30元，而且简单计算器的操作简单、易学，教学中遇到处理数据、建摸等方面的许多问题都可以依靠操作学生专用计算器来完成。

学生专用计算器作为一种简单运算工具，不仅可以给我们带来方便（减少繁琐的手算，高效率的解决问题），还能把我们带到另一个思维空间，用新的思想方法探究一些复杂的数学问题。

这样通过过程设计，操作实验，由好奇心逐渐转变为一种探索精神，使学生真正体会到现代科技给人类带来的好处。

（2）可操作性
以人教版A 版《必修3》统计、概率的有关内容为例进行说明：（以下操作方法均以“深南雁Lf -118B 型计算器”为例）
《必修3》统计：利用计算器求具有线性相关关系的两个变量之间是回归直线方程 例：“我家小卖部”最近遇到的一个小的难题：前天因为最高气温高达37C ︒，生产的200杯珍珠奶茶下午就全部买完，晚上无货供应；因此昨天加大生产量，生产了250杯，谁知“天公不作美”，昨天降温，最高气温26o C ，只买了102杯，剩下全部报废，妈妈损失不小。

如果气象台预测明天：最高气温35C ︒，估计应该生产多少杯比较适合呢？就读高中的你能根据下列7天的有关数据利用数学知识帮助“妈妈”做出相对合理决策吗？
分析：本例的实质是根据统计数据建立气温与销售量之间的线性回归模型：ˆy bx a =+，并利用回归方程进行预测，而求回归方程ˆy
bx a =+只需确定两个参数a 与b ， 解：问题中要求根据气温预报销
售量，因此选取气温为解释变量x ，销售量为预报变量y ，作散点图： 从图中可以看出，样本点呈条形 分布，气温与销售量之间有较好 的线性相关关系，假设线性回归
方程为ˆy
bx a =+
下表是利用计算器计算两个参数a与b的步骤：
所以线性回归方程为ˆ13.782240.944
y=-
当35
x=时，ˆ13.78235240.94241.43
y=⨯-=
所以当最高气温为35 o C时，估计应该生产242杯比较适合。

《必修3》概率（教材P133-144）利用计算器模拟概率
例3、在图3.3-3的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与正方形中的豆子数之比并以此估算圆周率的值。

教前说明：（1）产生0~1之间的随机数:输入
可出现一个随机数
（2）产生0~2之间的随机数: 输入
可出现一个随机数
（3）产生-1~1之间的随机数: 输入每按下一次等号
解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，“落在圆内的豆子数与落在正方形中的豆子数之比”近似等于“圆的面积与正方形的面积之比”，即圆的面积
正方形的面积
≈
落在圆内的豆子数
落在正方形中的豆子数
假设正方形的边长为2，则圆的半径为1，即
图3.3-3
圆的面积 正方形的面积
=
π∙122∙2
=
π4
因为落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以：
π≈4∙
落在圆内的豆子数 落在正方形中的豆子数
这样可以得到π的近似值。

用计算器模拟上述过程，步骤如下： （1）如图3.3-4建立直角坐标系：
（2）产生两组-1~1之间的均匀随机数：
21,21x RANDOM y RANDOM =⨯-=⨯-
即11,11x y -≤≤-≤≤表示正方形区域，
当221x y +< ，即22(21)(21)1RANDOM RANDOM ⨯-+⨯-<时，表示豆子落在圆内 利用22(21)(21)RANDOM RANDOM ⨯-+⨯-=产生N 个随机数，数出小于1的随机数的个数N 1，计算1
4N N
π=
计算器操作过程如下：
下面进行了100次实验数据：（表2）
14482
3.28100
N N π⨯=
==（随着实验次数的增加，π的近似值的精度会越来越高） 例4、利用随机模拟方法计算图3.3-5中阴影部分（y =1和y =x 2所围成的部分）的面积。

分析：在坐标系中画出矩形EFGH （x =1，x =-1，
图3.3-4
y=1和y=0所围成的部分），可知：矩形EFGH的面积为2，
阴影部分的面积S 距形ABCD的面积=
S
2
≈
落在阴影部分内的样本点数N
落在矩形内的样本点数N
所以：S=
2N1
N
如何利用随机模拟的方法求出阴影部分的面积呢？
解：如图3.3-6，阴影部分内的任取一点B（x1、y2），过B作
y1），在BA的延长线上任取一点C（x1、y3），则点A在阴影部分（抛物线）内，点B在抛物线y=x2上，点C在阴影部分（抛物线）外，则有y3<y1= x12< y2；所以对任一点P（x，y），当y-x2<0时，点P在抛物线外；当y-x2=0时，点P在抛物
线上，当y-x2>0时，点P在抛物线内。

产生0~1之间的随机数y=RANDOM和-1~1之间的随机数
21
x RANDOM
=⨯-
若：RANDOM -2
(21)
RANDOM
⨯->0,则表示样本点落在
阴影部分内
利用2
(21)
RANDOM RANDOM
+⨯-=产生N个随机
数，数出小于0的随机数的个数N1，计算：1
N
S
N
≈（随
着实验次数的增加，面积的近似值的精度会越来越高）
计算器操作过程如下：
下面进行了100次实验数据：（表2）
1
2272
1.44
100
N
S
N
⨯
≈==（随着实验次数的增加，面积的近似值的精度会越来越高）
例如做1000次实验，即N=1000，模拟得到N1=689，则S≈1.378
而利用定积分的知识可以精确得到：
11
2231
10
24
22(|) 1.333
33 x dx x dx x
-
==⨯=≈
⎰⎰
总之，数学实验是学习过程中的一种尝试活动，许多复杂的数学问题的解决，一般都不是立即想出来的。

学生在解答数学问题的过程中，经常是经历多次的尝试活动，通过计数器进行实验更能从中寻求解题的可能性和发现解题的突破口，在图形计算器几乎不可能普及的情况下，简单科学计算器体现了不少的数学实验（除绘图和编程），集中了课堂教与学中对一些数学问题进行研究所必需的计算与实验。

教师掌握简单科学计算器计算器技术，不仅能更好地改进教学模式，使得每一位学生参与数学实验，更能提高教师的教学科研水平。

简单科学计算器必将会普及在课堂教学中实施素质教育，让学生充分参与教学过程，在自主的探索性的学习中，更好地发挥它的作用。