立方根的计算方法

立方根的计算方法
1 计算立方根的基本方法
立方根（Cube Root）是一个数的立方，也称为立方方根（Cube Root）。

即求x3=a的解，这里x就是a的立方根。

在数学中，可以采
用几种不同的方法来计算立方根。

一.对数展开法
该方法是基于三个恒等式：$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a},
\log_{10}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3}\log_{10}{a},
\log_{10}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\log_{10}{a}$来计算立方根。

可以把立方方程：$x^3=a$ 对10取对数，将其转换为：
$\log_{10}{x^3}=\log_{10}{a}\Rightarrow \log_{10}{x} =
\frac{1}{3}\log_{10}{a}$
从而可以得到
$x=10^{\frac{1}{3}\log_{10}{a}}=a^{\frac{1}{3}}$
二.倒数法
根据正数的乘法及幂运算的性质，设$b=a^{\frac{1}{3}}$，则有：$b\cdot b \cdot b=a$即$b^3=a$，
又有$b\cdot b=\frac{1}{b^{-2}}$，所以$b^3=a$等价于
$b^3=(b^2)b$等于 $(\frac{1}{b^{-2}})\cdot b$等于
$\frac{1}{b^{-3}}\cdot b$。

即$a^{\frac{1}{3}}=(\frac{1}{a^{\frac{-1}{3}}})a$，其中
$a^{\frac{-1}{3}}$即为$a$的倒立方根，因此$a^{\frac{1}{3}} =
a \times a^{\frac{-1}{3}}$，从而可以得到$a$的立方根为
$a^{\frac{1}{3}}=a \times a^{\frac{-1}{3}}$。

我们可以使用二分法，以及水平变形等求解方法，计算出
$a^{\frac{-1}{3}}$，最后乘以 $a$ 就可以得到$a$的立方根了。

三.牛顿下山法
牛顿下山法是一种用于求解非线性方程组的迭代法，通过不断迭代，用数据拟合目标函数，最后得到函数极小值时就可以求解我们得
出非线性方程组的解；同理，也可以用此方法求解立方根问题。

首先，用任意值来猜测未知变量x的值；然后，使用牛顿迭代法：$x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$来求出$x_{n+1}$的值；最后，以计算得到的$x_{n+1}$的值作为新的猜测值，重复以上步骤，直
到获得结果满足 $f(x_n) \approx 0$ 时就可以得到最终的解。

上述三种方法是目前主要的计算立方根方法，它们可以很方便地
求解立方根问题，而且在数学中得到了广泛应用。