高一基本不等式限时训练练习题

高一基本不等式限时训练练习题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）
1.下列不等式一定成立的是()
A. x+1
x ≥2 B. x2+2
√x2+2
≥√2 C. x2+3
√x2+4
≥2 D. 2−3x−4
x
≥2
2.已知x>2，函数y=4
x−2
+x的最小值是()
A. 5
B. 4
C. 6
D. 8
3.已知t>0，则y=t2−4t+1
t
的最小值为()
A. −2
B. 1
2
C. 1
D. 2
4.若a，b都为正实数，2a+b=1，则ab的最大值是()
A. 2
9B. 1
8
C. 1
4
D. 1
2
5.已知不等式2x+m+2
x−1
>0对一切恒成立，则实数m的取值范围是()
A. m>−6
B. m<−6
C. m>−8
D. m<−8
6.已知实数a，b满足ab=1，则a2+b2的最小值为()
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）
7.下列说法中正确的有()
A. 不等式a+b≥2√ab恒成立
B. 存在a，使得不等式a+1
a
≤2成立
C. 若a，b∈(0,+∞)，则a
b +b
a
≥2
D. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2
x +1
y
≥8
第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
8.若正数a，b满足a+b=1，则9
a +1
b
的最小值为．
9.若正实数x，y满足y(x−y)=1，则2x+y的最小值为．
10.已知正实数x，y满足xy+2x+y=3，那么xy的最大值为______．
11.函数的最小值是__________．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
12.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的
长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小;
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求1
x +2
y
的最小值．
13.已知ab−4a−b−5=0(a>1)
(1)求ab的最小值；
(2)求a+b的最小值．
14. (1)已知正数a,b 满足1a +2b =1，
求ab 的最小值；(2)已知x >1，求函数f(x)=x +1
x−1的最小值．
15. (1)已知x <5
4，求函数y =4x −1+1
4x−5的最大值．
(2)已知0<x <1
2，求y =1
2x(1−2x)的最大值．
答案和解析1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式求解范围，属于基础题．
根据不等式求最值和特殊值法求解即可．
【解答】
解：A项中当x<0时，x+1
x
<0<2，∴A错误;
B项中，2
√x2+2
=√x2+2≥√2，∴B正确;
而对于C，当x=0时，2
√x2+4=3
2
<2，显然选项C不正确;
D项中，取x=1，则2−3x−4
x
=−5<2，∴D错误．故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
由于y=4
x−2+x=4
x−2
+(x−2)+2，且x−2>0，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：y=4
x−2
+x，
因为x>2,故x−2>0，
所以根据基本不等式可知：
y=
4
x−2
+(x−2)+2
≥2√4
x−2
×(x−2)+2=6，
当且仅当4
x−2
=x−2即x=4时取“=”．
故选C．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．【解答】
解：t>0，则y=t2−4t+1
t =t+1
t
−4≥2√t·1
t
−4=−2，
当且仅当t=1
t
，即t=1时，等号成立，
则y=t2−4t+1
t
的最小值为−2．
故选A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
由已知结合基本不等式可得ab=1
2(2a⋅b)≤1
2
(2a+b
2
)2，可得结果．
【解答】
解：因为a，b都为正实数，2a+b=1，
则ab=1
2(2a⋅b)≤1
2
(2a+b
2
)2=1
2
×1
4
=1
8
，
当且仅当2a=b=1
2
时取等号．故选：B．
5.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查了基本不等式，不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题． 不等式2x +m +2
x−1>0可化为2(x −1)+2
x−1>−m −2，将不等式恒成立问题转化为最值问题，再利用基本不等式进行求解即可． 【解答】
解：不等式2x +m +2
x−1>0可化为2(x −1)+2
x−1>−m −2， ∵x >1，∴x −1>0， ∴2(x −1)+
2x−1
≥2×√2(x −1)⋅
2x−1
=4，当且仅当x =2时取等号，
∵不等式2x +m +2
x−1>0对一切x ∈(1,+∞)恒成立， ∴−m −2<4， 解得m >−6， 故选A ．
6.【答案】C
【解析】 【分析】
本题主要考查了基本不等式的应用，属基础题． 由重要不等式a 2+b 2≥2ab 即可求解． 【解答】
解：由重要不等式可得：a 2+b 2≥2ab =2，当且仅当{ab =1a =b 即{a =1b =1或{a =−1
b =−1时等
号成立，
所以a 2+b 2的最小值为2， 故选：C ．
7.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式，属于中档题．
结合基本不等式的一正，二定，三相等的条件检验各选项即可判断．
【解答】
解：选项A:不等式a+b⩾2√ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；
选项B:当a为负数时，不等式a+1
a
⩽2成立，故B正确；
选项C:若a，b∈(0,+∞)，由基本不等式可知b
a +a
b
⩾2√b
a
·a
b
=2，
当且仅当a=b时，等号成立，故C正确；
选项D:对于2
x +1
y
=(2
x
+1
y
)(x+2y)=4+4y
x
+x
y
≥4+2√4y
x
·x
y
=8，
当且仅当x=1
2,y=1
4
时取等号，故D正确．
故选BCD．
8.【答案】16
【解析】
【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
可对式子9
a +1
b
乘以1，也即乘以a+b，再使用基本不等式即可求出答案．
【解答】
解：∵正数a，b满足a+b=1，
∴9
a +1
b
=(9
a
+1
b
)(a+b)=9+a
b
+9b
a
+1=10+a
b
+9b
a
≥10+2√a
b
⋅9b
a
=16，
当且仅当{a
b
=9b
a
a+b=1
，也即当{
a=3
4
b=1
4
时取“=”．
故答案为：16．
9.【答案】2√6
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属中档题．
先由y(x−y)=1化简得x=1y+y，再利用基本不等式求出答案．
【解答】
解：由正实数x，y满足y(x−y)=1得xy=1+y2，即x=1y+y，
所以2x+y=2y+3y⩾2√6，当且仅当2y=3y，即y=√6
时，等号成立，
3
则2x+y的最小值为2√6．
故答案为2√6．
10.【答案】7−2√10
【解析】
【分析】
由题意和基本不等式可得3≥xy+2√2xy，解不等式即可求出．
本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．
【解答】
解：∵xy+2x+y=3，
∴3≥xy+2√2xy，
整理可得(√xy+√2)2≤5，
解得√xy≤√5−√2，
∴xy≤7−2√10
当且仅当2x=y即x=−2+√10
且y=−2+√10时取等号，
2
∴xy的最大值为7−2√10，
故答为：7−2√10．
11.【答案】2√6
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属于一般题． 由 x >1，所以 x −1>0，化简 f (x )=2x 2−4x+5
x−1
=
2(x−1)2+3
x−1
=2(x −1)+
3
x−1
，利用基
本不等式求最小值． 【解答】
解：因为x >1，所以x −1>0， f (x )=
2x 2−4x+5
x−1=
2(x−1)2+3
x−1
=2(x −1)+
3
x−1
，
2(x −1)+3
x−1≥2√2(x −1)⋅3
x−1=2√6， 当且仅当 2(x −1)=3
x−1，
即 x =1+√6
2
， f(x)有最小值 2√6，
故答案为2√6．
12.【答案】解：(1)由已知可得xy =72，篱笆总长为(x +2y)m ．
又因为x +2y ≥2√2xy =24，
当且仅当x =2y ，即x =12，y =6时等号成立． 所以当x =12，y =6时，可使所用篱笆总长最小． (2)由已知得x +2y =30， 又因为(1
x +2
y )(x +2y)=5+
2y x
+
2x y
≥5+2√2y x ⋅
2x y
=9，
所以1
x +2
y ≥3
10，当且仅当x =y ，即x =10，y =10时等号成立． 所以1
x +2
y 的最小值是3
10．
【解析】本题考查基本不等式的实际应用和利用基本不等式求最值． (1)由已知可得xy =72，篱笆总长为(x +2y)m ，结合基本不等式即可得解； (2)由已知得x +2y =30，又因为(1
x +2
y )(x +2y)=5+2y x
+
2x y
，利用基本不等式即可
求解．
13.【答案】解：(1)∵ab −4a −b −5=0(a >1)
∴b =
4a +5
a −1
(a >1) ∴a ⋅b =a ⋅
4a+5a−1
=4a 2+5a a−1
(a >1)，
令a −1=t(t >0)，则a =t +1
∴a ⋅b =4(t +1)2+5(t +1)
t (t >0)
a ⋅
b =4t 2+13t +9
t
(t >0)
a ⋅
b =4t +9
t +13(t >0)，
∵t >0，
∴4t +9t ≥2√4t ⋅9
t =12，当且仅当4t =9
t ，即t =3
2时取“=”，
∴ab ≥25，当且仅当{
a =
5
2b =10
时取“=”， 即当{a =52
b =10时，ab 有最小值25；
(2)∵a +b =a +
4a+5a−1
(a >1)，
令a −1=t(t >0)，则a =t +1， ∴a +b =t +1+
4(t+1)+5
t
(t >0)，
∴a +b =t +9t
+5(t >0)， ∵t >0，
∴t +9t ≥2√t ⋅9
t =6，当且仅当t =9
t ，即t =3取“=”．
∴a +b ≥11，当且仅当{a =4
b =7时取“=”，
即当{a =4b =7
时，a +b 有最小值11．
【解析】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
(1)由已知可得b=4a+5
a−1(a>1)，即可得到a⋅b=4a2+5a
a−1
(a>1)，令a−1=t(t>0)，
可得a⋅b=4t+9
t
+13(t>0)，
利用基本不等式即可求解ab的最小值；
(2)由已知可得a+b=a+4a+5
a−1(a>1)，令a−1=t(t>0)，即可得到a+b=t+9
t
+
5(t>0)，利用基本不等式即可求解a+b的最小值．14.【答案】(1)解：a>0,b>0，
1 a +2
b
⩾2√2
ab
，
又1
a +2
b
=1，
∴2√2
ab
⩽1，
则√2
ab ⩽1
2
，
∴2
ab ⩽1
4
，则ab⩾8，
当且仅当a=2，b=4时等号成立，∴ab的最小值为8．
(2)由题意，f(x)=x+1
x−1=x−1+1
x−1
+1
∵x>1，∴x−1>0，
∴(x−1)+1
(x−1)⩾2√(x−1)(1
x−1
)=2，当且仅当x=2时等号成立，
∴f(x)⩾3，
∴f(x)的最小值为3．
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
(1)由题意1
a +2
b
⩾2√2
ab
，又1
a
+2
b
=1，则√2
ab
⩽1
2
，则ab⩾8，可得结果．
(2)由题意，f(x)=x+1
x−1=x−1+1
x−1
+1，利用基本不等式即可求最小值．
15.【答案】解：(1)∵x<5
4
，∴4x−5<0，5−4x>0.
∴y=4x−1+1
4x−5=4x−5+1
4x−5
+4=−[(5−4x)+1
5−4x
]+4，
第11页，共12页
第12页，共12页 ∵5−4x +15−4x ⩾2√(5−4x )·15−4x =2，
∴y ≤−2+4=2，当且仅当5−4x =15−4x 即x =1时取等号．
∴y max =2．
(2)∵0<x <12，∴1−2x >0，
∴y =14×2x(1−2x)≤14×(2x +1−2x 2
)2
=14×14=116，
当且仅当2x =1−2x (0<x <12)，
即x =14时，上式等号成立，
故当x =14时，y max =116．
【解析】(1)由y =4x −5+14x−5+4=4−(5−4x +15−4x )，利用基本不等式可求；
(2)由y =12x(1−2x)=14×2x(1−2x)，利用基本不等式可求；
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，要注意和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值的应用，属于基础试题．。