高一数学必修一题型总结

必修(一)题型总结
-、集合的概念与表示：
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集⑺的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

3. 注意下列性质：集合9i, a2, , a n .的所有子集的个数是2n；
4. 对于集合的元素是不等式的，画数轴确定两集合的关系例题：
1. 满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合的个数是( )
A: 4 B: 6 C: 8 D: 9
2 3 ：3
2. 以实数X , - x , |x|, x , - <x为元素所组成的集合最多含有( ) A: 2个元素B: 3个元素C: 4个元素D: 5个元素
「k 1 ] f k 1 1
3. M=』x|x=—+ — ,k€Z],
N=d x|x=—+—,k E Z 贝U ( )
(A M =N (B) M N (C) N M (D) M』N
4. 已知A={(x,y)|y=x 2-4x+3},B=[(x,y)|y=-x 2-2x+2}, A n B= ______________
5. 某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的
学生有38人，求：(1)语文、数学都优秀的学生人数(2)仅数学成绩优秀的学生人数
2 2 2
6.设A={x|x -ax a -19=0} , B ={x| x-5x 6 =0},且A B,求实数a 的值.
二、函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 如何比较两个函数是否相同？
1. 定义域的求法：
分母、开偶次方、对数(保证它们有意义)
2 .值域的求法：
①判断函数类型(一次、二
次、反比例、指数、对数、幕函数)由函数的单调性与图像确定当x为何值时函数有最大值(最高点)和最小值(最低点) ，
②对于一个没有学过的函数表达式，需要将它
变成一个学过的函数来解决(换元法、
图像变换法)
3表达式的求法：O1已知函数类型待定系数法
②已知f(x)求f(2x+1)整体代换法，已知f(2x+1)求f(x)换元法。

③形如f(x)+ f(-x)= 2x+1或f(x)+ f(1/x)= 2x+1的取x相反数或倒数消元得到f(x)
3.函数y = f (x)的定义域是[0,2] ，则函数g (x)=
f(2x)
x — 1
的定义域是
A . [0,1] B
.[0,1)
[0,1)U(1,4]
.(0,1)
4. (1)已知 f(2x+1)=x 2
(2)已知 f(x)=x :2
+x ,,求 f(x) +x ,,求 f(2x+1)
的表达式 的表达式 5 (1)已知f(2x+1)定义域(0, 6),求f(x)定义域
(2)已知f(x)定义域(0, 6)，求f(2x+1)定义域
2
2
x
6.已知函数 f(x -3)= l g-^
(1)
x -6
求f(x)表达式及定义域 ;(2)判断f(x)的奇偶性.
1
X 一
7、设0W x w 2,则函数f(x)=4 2-3・2x +5的最大值是 _________________ ,最小值是 _______ 三、函数的单调区间与单调性：
(想想两者的区别)
1•函数在区间上单调性的证明步骤：一设
二做差三因式分解最后判断正负号
2.确定一个函数的单调区间，基本函数通过类型看它的图像，
复杂的通过换元利用复合函数的方法(同增异减) 没思路的通过分析 y 随x 的增大而 .................................... 得到
3 .利用单调性解不等式：关键在于将不等式两边的形式化相同 1.下列四个函数中，在(0,+g )上为增函数的是
2
1
A.f(x)=3-x
B.f(x)=x -3x
C.f(x)=-
D.f(x)=-| x|
X +1
2
2.函数f(x)=x +2(a — 1)x+2在区间(-g ,4]上递减，则a 的取值范围是
A. [ -3,+g]
B.(-g ,-3)
C.(-g ,5]
D. [ 3,+g )
例：函数y 二的定义域是
lg(x _3)
2. 下列四组函数中，表示同一函数的是(
A . y = x -1与y 二(x -1)2
B.
y = J x -1与 y = x — 1
J x —1
, 2
C. y = 4 lg x 与 y = 2 lg x
D.
一 x 八1gx — 2与二
lg ^
3.判断函数f(x)=x —丄在0, •：：上的单调性并证明
x
5.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若当 x € (0,+ °时)，f(x)=lgx ,则满足f(x)>0的x 的取
'ax + 2 + a
6若函数f(x) -Uog’Zx + A)°为定义域上的单调函数，则
a 的范围是 __________
［
2
四、函数的奇偶性问题
若f(_x)二「f(x)总成立：=f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称
( )
若f(-x) =f(x)总成立:二f(x)为偶函数二函数图象关于y 轴对称(
)
判别函数y 二f (x)奇偶性的方法: 1. 利用x 的奇次幕偶次幕快速判断
2. 利用定义；①求出函数定义域 A ;判别定义域是否关于原点对称，
若A 不关于原点对称，
则f (x)为非奇非偶函数；③计算 f(-x),-f(x);④判别记偶性：若 f(-x) = f(x), 为偶函数；若f(-x)二-f(x)为奇函数；若两式均不成立，则为非奇非偶函数;
注意如下结论：
(1) 在公共定义域内：奇*奇得偶；偶*偶得偶；奇*偶得奇。

(2)
为既奇又偶函数(如 y=0 )。

1、如果奇函数 f (x)在［3,7］上是增函数且最小值是 5,那么f(x)在［-7,-3］上是(
)
A .增函数且最小值是
-5
B 增函数且最大值是 - 5 .
2.若函数f(x)为奇函数，且当x ・0时，f(x)=10x ,则f(-2)的值是()
1
A . -100
B .
C. 100
100
x
―x
x
x
3•若函数f(x)=3 3与g(x)=3 -3的定义域均为R ，则( )
C.减函数且最小值是
- 5
D .减函数且最大值是 -5
D.-—
100
A . f (x)与g (x)均为偶函数
B . f (x)为奇函数，g(x)为偶函数
C . f (x)与g(x)均为奇函数
D . f (x)为偶函数，g(x)为奇函数
4. (x), g(x)都是奇函数，f(x)= a：:(x) - bg(x)+2 在(0, +：：)上有最大值5,则f(x)在
(_ O0 , 0)上有最 ___________ 值 __________ . 5.已知f(x)为奇函数，x>0, f(x)=x 2+x,求f(x)解析式
6
若f(x rW^为奇函数’则实数/____
7、已知f(x)是偶函数，它在［0,+ R )上是减函数，若f(lg x) . f (1),则x 的取 值范围是() 1 1 1 A. (
,1) B. (0,
) _. (1, ：：) C. (
,10) D.(0,1) U (10,+ a )
10
10
10
&已经函数 f(x)=2x 3+(2-a)x 2+bx+b+1 在区间(-2m+1, m )上是奇函数，贝U a+ b+ m= _________
五、指数与对数运算、指数函数与对数函数
ABC
D
3. y 二(log 1 a)x 在R 上为减函数，则 a ___________
2
4、 已知函数f(x)=log
2
(X -2)的值域是[1 , log 214],那么函数f(x)的定义域是
5、若函数f (x)炯 a (0 ::a 1 在区间l.a,2a 1上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为(
)
22.已知函数 住戶黠(04且 占1)
(1 )求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的单调性
注意：
.两个重要的奇函数
2、已知函数f(x)=2 x ,则f(1 — x)的图象为
( y 「
, y
“ -1
/•- / \
O
x
O x
(3)讨论f(x)的奇偶性
1•灵活应用公式，注意 0、1的特殊性。

解决函数问题的关键在底数，确定它是增函数还是减函数。

问题即解决 y
六、方程的根与函数的零点 ：
函数有零点 = 方程有实数根 = 函数的图象与x 轴有交点=f ( a )• f ( b ) <0 1.函数、方程、不等式 之间的关系。

2零点在哪里(代入法)、 有几个零点( 图像法)
3 •二分法的步骤
1、 函数f (x)二-x 2 5x -6的零点是()
A - 2,3
B 、2 , 3
C 、2,_3
D 、-1,-3
2、 已知y =f(x)是定义在R 上的函数，对任意禺：：：x 2都有f(x 1) . f(x 2)，则方程f(x) =0 的根的情况是()
A 、至多只有一个
B 、可能有两个
C 、有且只有一个
D 、有两个以上
3、 已知二次函数f (x)的二次项系数为
a ,且不等式f(x) . -2x 的解集为(1,
3).
(1) 若方程f(x) 6^0有两个相等的根，求 f(x)的解析式； (2) 若f (x)的最大值为正数，求 a 的取值范围.
5.设X o 是方程In x ，x=4的解，贝U X o 属于区间
()
x
6.方程2 - x =5的解所在的区间(
)
A . (0, 1)
B . (1 , 2)
C . ( 2, 3)
7函数= 2父'-^-3的零点个数为 ___________________ 个
4x —4, x < 1
& f(x)=」2
的图象和g(x) = log 2x 的图象的交点个数是(
)
x —4x+3, XA 1
A. (0, 1)
B. ( 1, 2)
C. (2, 3)
D.
(3, 4)
D . ( 3, 4)
C. 3
D. 4
9、若方程2ax2 -X-1 =0在(0, 1)内恰有一解,则实数a的取值范围是()
A、a --1 B 、a ：：： -1 C 、一1 ：：： a ：：： 1 D 、0 _ a ：：： 1
七、抽象函数问题:
1•记住常见的抽象函数类型(对称轴型、周期型)
f(x+y)=f(x)+f(y)
指数型：f(x+y)=f(x)*f(y) 对数型：f(x*y)=f(x)+f(y)
(2 )若f(x)满足：f(x+a)=-f(x) 或f(x+a)=1/f(x) 或f(x+a)=-1/f(x)
(1)常见的抽象函数类型一次型
说明f(x)的周期为T=2a
(3)若f(x)满足f(a-x)=f(a+x) 说明f(x)的对称轴是x=a a +力若f(x)满足f(a-x)=f(b+x) 说明f(x)的对
称轴是x= ’
2 .常用方法(赋值法、结构变换法)令x、y等于任何我想要的东西(数或代数式)
一般等于0、1、-1、y= -x ......... 、证明单调性：f (x2) = f〔x2 - Xt ■ x21 =
1定义在：；：-〜•：：上的偶函数f x满足f x ■ 1二-f x，且在1-1,01上是增函数，下面是关于f(x)的判断：其中不正确的判断是_________________
①f x =f (x+2):②f x的图像关于直线x= 1对称；
③f x在［0 , 1］上是增函数；④ f 2i= f 0
2、已知定义在R上的函数y= f (x)满足f(2+x)= f (2 —x)，且f (x)是偶函数,
当x € ［0 , 2］时，f(x)=2x—1，求f(5)= ___________
3、定义在非零实数集上的函数 f (x)满足f (xy) = f(x) • f (y)，且f(x)是区间(0「：)上
的递增函数。

(1)求：f(1), f(-1)的值；(2)判断函数的奇偶性
1
⑶若f(3)=2解不等式f(2) f(x- —)乞0。

2
4•设函数f(x)在(一：：,0) 一(0, •：：)上是奇函数，又f(x)在(0, •：：)上是减函数，并且f(x)
1
vo,指出F(x )= 在(一8,0 )上的增减性？并证明.
f (x)。