第二讲 经济学中的金融经济学

第二讲 经济学中的金融经济学
0.1 经济学中的金融经济学
金融经济学是研究资金融通过程的经济理论，是传统微观经济学的延生领域。

0.2 相关概念
● 金融学（Finance ）：比金融经济学更广泛，在兼顾金融经济学（金融理论）的同时，更为强调实践（Business ）;
● 金融经济学与货币银行学：前者专注于微观研究，后者多从宏观和中观视角出发； ● 金融经济学与金融工程学：前者为理论研究，后者以前者为理论基础（以市场内现有金融产品为模块，按特定目标设计和动态追踪资产组合）； 0.3 金融理论的发展
现代金融理论兼备优美和实用性：Black and Scholes 期权定价公式及其变形的应用；金融理论正在直接或间接地改变市场内追逐利益的规则。

金融理论中平行发展的两支：
金融资产定价理论（1950s －）──理论基石：EMH ；分析手段和框架：套利原理/Arrow-Debreu
金融经济学
微观经济学
金融市场和契约理论（1970s －）──逻辑基础：EMH 无效;分析手段和框架：博弈论和信息经济学
0.3.1 关于市场有效假设（EMH ）：
股价的随机游走：统计学家Kendall, 1953：股价没有任何模式可循，它就象“一个醉汉走路一样，几乎宛若机会之魔每周扔出一个随机数字，把它加在目前的价格上，以此决定下一周的价格”
随机游走反映了一个功能良好、有效率的市场。

价格中信息对投资者预期的包容性：任何可以预测股价变动的信息必然已经反映在了价格之中：[|]t u t t E S I S +=（鞅）； EMH 的三种形式：价格包括了信息：{历史价格}；{历史价格}＋{所有公开的信息}；{历史价格}＋{所有公开的信息}＋{内部交易者、研究者掌握的信息}； EMH 检验
挑战：小公司效应（Banz,1981）；元月效应(Keim,1983)；——解释：“被遗忘效应”；“税收效应”
1987年10月19日黑色星期一：DJI －22.6%，损失5000亿美元 0.3.2 定价理论
Louis Bachelier ：1900年以随机过程研究证券价格和衍生资产定价；
马科维茨（H. Markowitz ）1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。

Modigliani and Miller
Arrow, 1964; Debreu, 1959：不确定性下的一般均衡理论，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。

CAPM ：Sharpe (1964), Lintner (1965)和Mossin (1966)； APT: Roll(1977)；
Black and Scholes 公式：由于期权在复合各种形态的资产收益时有极高的灵活性，B-S 公式的应用范围远不止是期权定价。

几乎所有形式的金融衍生证券，包括公司债务等，
都可以用B－S公式或它的变种进行估价。

B－S公式给金融交易者和银行家在衍生金融资产的交易中带来了便利，成为现代金融理论的一个里程碑；
Harrison and Kreps (1979)：Theory of martingale pricing
0.3.3金融市场和契约理论
70年代中后期非对称信息分析方法的使用：金融市场非对称信息的典型性
研究重点：非对称信息模型通常不是在现有理论基础上施加信息约束以求更“准确”
的资产定价公式，而是将着眼点放在不完备信息对金融市场结构、市场运行效率的影响上。

具体说来，非对称信息金融理论大致有这样四大研究主题：
(1)特定金融市场内价格在信息传递中的作用：在信息不完全的金融市场中，资产价格可
能包含了一部分个体拥有的私人信息，而其余的个体则可以通过观察到的价格对他们所不了解的信息进行重新估计。

Rothschild and Stiglitz (1976)等。

(2)公司内各利益主体（股东、经营者、债权人等）之间的利益冲突以及公司金融政策：
Jensen and Meckling (1976)讨论了道德风险（代理成本）问题对公司市场价值的影响，Myers (1977)分析了背向选择问题可能导致的公司价值低估，Ross (1977)考虑了公司以资产结构本身向市场发出展示信号的可能性。

这些分析不仅对MM定理的有效性问题作了更深刻的揭示，而且为后来出现的“公司融资顺序理论”（Theory of pecking order）提供了自然的铺垫，而对该理论的检验成为当前关于公司资产结构的实证研究的一个重大课题。

(3)金融契约设计：Townsend (1979)证明了标准债务契约是非对称信息金融市场上的最优
激励相容签契约，奠定了不完全信息情况下金融契约理论研究的基础。

(4)金融中介的地位和作用：Leland and Pyle (1977)第一次为金融中介的存在性提供了最
令人信服的模型解释，他们视金融中介为金融信息收集者，而为了让个体投资者信息其信息是有用的，需要它自身持有一部分它所选择的金融资产组合的头寸
80年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。

在资产定价理论
方面，各种概念被统一到阿罗－德布鲁一般均衡框架下，显得更为灵活和适用。

这种理论的灵活性对理解当今金融衍生工具的飞速发展显得尤其重要。

鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据中心位置，Duffie and Huang (1985)等在此基础上大大地推广了布莱克－萧模型。

非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方法得到广泛应用。

Diamond (1984)在Leland-Pyle 模型基础上，进一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势；Diamond and Dybvig (1983) 建立了提供流动性调节服务的银行模型；Diamond (1991)和Holmstrom and Tirole (1993)又以道德危险（Moral hazard ）现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的理由。

至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。

第1讲 v.NM 效用函数、风险厌恶
1.1 不确定性下的效用函数 ● 1
()S
s s s Eu p u x ==
å
[(
)]()()()b
b a
a
E u X u x f
x dx u x dF x ==
蝌%
● 仿射变换意义上的唯一性 1.2 风险态度
● Fair game ：[]0E e
=%，Var[]0e >% ● 风险厌恶：对任何公平赌局e %，[()]()E u W u W e
+<% ● 风险厌恶者的效用函数特征：凹（以图说明） ● 风险厌恶测度
()()()
u W A W u W ⅱ=-¢； ()()()
R u W W
A W u W ⅱ?¢； 1()()T W A W º
● Pratt 定理：下述条件等价：
(a) 对任何收入水平W ，都有12()()A W A W >；
(b) 存在严格单增和严格凹的二阶可微函数()G ×
，使得12()(())u W G u W =
(c) 任何公平赌局e %对个体1的风险升水较它对个体2的风险升水高：12h h >
1.3 LRT 类效用函数
1()01W u W g
a g
b b g g 骣-÷ç÷=+>ç÷ç÷-桫
1()1()()()1u W T W W A W u W b g a 骣¢÷ç==-=+÷ç÷çⅱ-桫 (a) 1g ®⇒线性函数：()0u W a bW
b =+>
(b) 2g =⇒二次函数：2
()02b
u W W W
b =->
(c) 1,b g =?
?⇒负指数函数：()W u W e a -=-
(d) 0,1b g =<⇒幂函数：()W u W g
g
=
(e) 0,0b g =?⇒对数函数：()ln u W W =
第2讲 资产及组合投资基础
2.1 记号
● 收益率（Return ），利润率（净收益率，rate of return ） ● 投资组合：a ：投资额向量；w ：投资权重向量 ● 头寸和卖空
● 组合的期望收益率和方差
T 1
n
P
i i
i R a R ===å
a R %%% 其中T 1(,,)n
R R =R %%%K 为经济中n 种资产的状态依存收益率向量。

记()i i E R m =%，T 1(,,)n m m =K m ，2Var()i i
R s =%，W 为收益率的协方差矩阵： 1111cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)n n n n R R R R R R R R 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷
ç桫
%%
%%L M O M %%%%L W=
资产组合P 的期望收益和方差分别是：
T
1n
P i i i a m m ==
=å
a m , 2T 11
cov(,)n n
P i j i j
i j a a R R s ===
=邋
a a %%W 2.2 组合投资问题
● 模型条件：经济中存在无风险资产，以及随机收益率分别为1,,n
R R %%K 的n 项风险资产。

考虑一个V .N-M 效用函数为()u W 、初始收入为W 0的个体。

假设函数()u W 是二阶可微的，0,0u u ⅱ?><； ● 财富约束方程
T 0001
n
i i a W a W ==-=-å
1a
● 投资收益
T T T 00
()()W W R W R R =-+=+-1a a R a R 1%%% ● 个体面对的问题是：{}
max [()]i a E u W %
FOC ：
[()]0i E u W a ¶=¶% or ：[()()]01,,i
E u W R R i n ¢-==%%K
2.3 个体持有风险资产的条件
● 最起码的条件：0Pr{}1i
R R <><% ● 个体投资风险资产的充分必要条件：经济中至少存在一种期望收益率高于无风险资产收益率的风险资产。

● 风险升水（溢价）
如果个体在均衡中持有的风险资产组合是1(,,)n a a =a K ，期末随机收益可以写为：
01
1
1
()()()n n
n
i
i
i i i
i i i i i W W R a R
R W R a R a R m m ====+-=+
-+-邋?
%%%
其中()i i R m -%显然是一个公平赌局，而()i R m -则是个体承担风险()i i R m -%所获得的补偿，为资产i 的风险升水（risk premium ，或称风险溢价）：
[]i i i
R E R R m =-=-%l
2.4 风险测度和随机占优
● 风险测度标准：其他条件不变的情况下，以其为测度根据，增加风险将降低所有风险厌恶者的效用，增加风险爱好者的效用，同时不改变风险中立者的效用。

● 方差作为风险测度的局限：不满足风险测度应满足的基本标准 ⏹ 以Taylor 展式说明：
2311()()()()()()2!3!
u R u u u u u m e m m e m e m e ⅱⅱⅱ=+=++++%%%%%L 取期望值后得到
2()311[()]()()()()2
!
k k
k E u R u u u E k m m s m e ¥
=ⅱ=++
å%% ● 方差作为合格测度的两种情况
a) 二次效用函数（高阶导数为零），但存在效用值随财富增长而下降的问题；
b) 资产收益服从正态分布2(,)N m s ：三阶以上的中心矩34
(),(),E E e e %%K 中，奇数阶的全
为零，偶数阶的可以写为均值的函数：3n >时，
0[](1)(3)31n
n
n E n n n e s ìïï=íï--鬃ïïî
%L 为奇数为偶数
● 二阶随机占优(Second Degree Stochastic Dominate )
不失一般性，假设风险资产的收益率是闭区间[0, 1]上的连续分布。

定义 错误！文档中没有指定样式的文字。

.1：如果资产A 和B 的期望收益率相等：
()()A B
E R E R =%% 且[0,1]y "?，都有
()[()()]0y
A B S y F x F x dx ?
?ò
(2.29)
则称资产A （二阶）随机优于资产B ，记为SSD
A B ³
定理 错误！文档中没有指定样式的文字。

.1：SSD
A B ³的充分必要条件是，任给一个凹函
数()u x ，都有
110
()()()()A
B u x dF x u x dF x ³
蝌 (2.30)
证明：必要性
假设SSD
A B ³，()u x 是任一个凹函数，
1
11
00
()[()()]()[()(]()[()()]A
B A B A B u x d F x F x u x F x F x u x F x F x dx
¢-=---蝌
由于()0S x £，且()0u x ⅱ
£，所以 1
()[()()]0A B u x d F x F x -?ò
充分性
以凹函数()u x x =和()v x x =-套用(2.30)分别有
110
()()A
B xdF x xdF x ³
蝌 (2.32)
1
10
()()A
B xdF x xdF x -?
蝌 (2.33)
所以
110
()()A
B xdF x xdF x =
蝌
此即()()A B
E R E R =%% 以下部分原证明有问题：
如果(2.29)不成立，则存在b ,01b <?使得
()(()())0b
A B S b F x F x dx ?
>ò
(2.34)
构造凹函数：
22102()1
2x x b u x b bx b x ìï?＃ïï=íïï-+<?ïïïî
满足
10()01
x b
u x b x ì-＃ï
ïⅱ=í
ï<?ïî
根据(2.31)，
1
10
()[()()]()()()0b
A
B u x d F x F x u x S x dx S x dx ⅱ-=
=
-<蝌?
这与条件(2.30)矛盾。

***************
若(2.29)不成立，且()S y 连续，则存在,[0,1]a b Î，使得(,)y a b "?
()(()())0b
A B a
S y F x F x dx =
->ò
构造凹函数：
22
2021()21
2a ax x a u x x
a x
b b bx b x ìïï-+?ïïïïï=-＃íïïïïï-+<?ïïïî
▋
定理 错误！文档中没有指定样式的文字。

.2（Rothschild-Stiglitz ）：
SSD
A B ³ Û ,[]0d
B A A R R E R e e =+=%%%%% 【证明】必要性：设()u ×为任意凹函数。

如果B
R %与A R e +%% 具有相同的分布，则 [()][()]B A
E u R E u R e =+%%%[[()]]A A E E u R R e =+%%% [([)])][()]A
A A
E u E R R E u R e ?=%%%%
Jensen 不等式
2.5 组合投资风险分散原理 资产收益同分布
假设：经济中存在N 只收益分布完全相同、但相互独立的风险资产；经济中不存在无风险资产。

欲证明：平均投资所有N 只风险资产是一个风险厌恶的投资者的最佳投资战略。

11111
1
11
111(1)(1)111
1()1n n n i i n
i i i n n i n i Y n R R R n n n R R R n ---===-=-==+----=+--邋?
å%%%%
%%%
111
11()()n n i n i n
i n Y n R R R R n n
-====+-邋%%%%% 所以：
1
1
1(1)()()(1)n i n i Y n Y n R R n n -=-=+--å%%%% (2.38) 欲证等式右端第二项是一个白噪声。

为此，任取常数,0Y z >，考察：
Pr{|()}i n
R R z Y n Y -==%%% 1,,1
i n =-K 记
()()in i n
S nY n R R -=-+%%%% (2.39) 这是除资产i 和n 以外的所有资产的收益率之和，则
P r{()}P r{|}P r{,}P r()i n i n i n in
i n i n in
i n in
R R z Y n Y R R z R R nY S R R z R R nY S R R nY S ----===-=+=--=+=-=+=-%%%%%%%%%%%%%%%% (2.40) 由于,i n i n in
R R z R R nY S --=+=-%%%%%等价于 ()2i in R nY z S -=+-%% 和 ()2n in
R nY z S -=--%% 并利用i
R %和n R %的相互独立性，（2.40）变为： P r{|()}P r{()2}P r{()2}P r()i n
i in i in
i n in
R R z Y n Y R nY z S R nY z S R R nY S ----===+-?--=+=-%%%%%%%%%%
(2.41)
注意到上式右端将z 置换为z -时保持不变，这就推出：
Pr{|()}Pr{|()}i n i n
R R z Y n Y R R z Y n Y -===-=-=%%%%%% (2.42) 而这意味着
[|()]0i n
E R R Y n Y -==%%% (2.43) 再由各资产收益的相互独立性，
1
1[()|()]0n i n
i E R R Y n Y -=-==å%%% (2.44) 由Rothschild-Stiglitz 定理，
()(1)SSD
Y n Y n
?%% (2.45)
2.5.1 收益分布不同
假设不存在无风险资产；有两种可选的风险资产，满足：
12()()E r E r =%%
(2.46) 考虑一个在两种资产上投资比例分别为1w -和w 的资产组合()P w ，其随机利润率是：
12()(1)y w w r wr =-+%%%
(2.47) 欲证明：
*(0,1)
(*)
1,2.i
SSD
w y w r i $纬=%% (2.48)
只证1i =情况。

记1r %和2r %的分布函数分别为1()F y 和2()F y ，分布密度函数1()f y 和2()f y 。

不
失一般性，设12
0,1r r ＃%%。

()y
w %的分布函数是： 121
2
1222
P r[()]
P r[()(1)]
()()1y w y r y
wr w y wy F f y dy w
=??--=-ò%%% (2.49)
显然1(,0)()G y F y =，这对应组合中只有资产1的情况。

为了证明(2.48)，按二阶随机占优
的定义，这要求
1[(*)]()E y w E r =%%
—— 显然！ 以及
(;*)[(;)(;0)]0[0,1]z
S z w G y w G y dy z ?
??ò
(2.51)
在（2.49）中对w 微分，并在0w =处取值：
1
12222
1
1122222220
12(;)()()()()()()()[()]
w G y w f y f y y y dy w
f y y f y dy y f y dy f y y E r =¶=
-¶轾=-犏臌=-ò
蝌%
注意到12()()E r E r =%%，
{}111110
11110
1111(;)()[()]
()()()
()()/()()()[]()0
z
z z
w z
G y w dy f y y E r dy f y ydy F z E r w F z f y ydy F z E r F z E r r z E r =¶轾=
-=-犏臌¶轾=-犏臌=??蝌?
ò%%%%%%
且0z ¹和1时严格不等式成立。

这就是说函数0
(;)z
G y w dy ò在0w =附近是单减的。

2.6 风险分摊：Arrow-Lind 定理－多个个体共同投资一种风险资产时的risk spread 考虑由多个偏好和初始收入都相同的风险厌恶个体共同进行同一项风险投资。

随着参与共同投资的个体人数增加，他们所要求的“总风险升水”将不断降低。

如果共同投资的人数足够多，即使每个个体都是风险厌恶的，这个投资团体将与一个风险中立个体的行为差不多：他们所要求的总风险升水近似于零。

n 人投资Y %，参与者均摊各种可能状态下的收益或损失：Y n %。

问题：每人投资额k 最高定在什么样的水平，才能说服这n 个人参与投资？
代表性参与者的效用函数()u ×，初始收入是W 0，他愿意支付的最高资本金k 满足方程：
00[()]()E u W k Y n u W -+=% (2.53)
or ：要求风险升水：/Y n k -l @（与之前定义稍有不同）
记Y Y e
=-%%，(2.53)变为： 00[()]()E u W n u W e
++=%l (2.54) 不妨将n 视为连续变化变量，方程(2.54)两端微分：
0021[()][()]0E u W dn E u W d n n n
e e
e ⅱ-+++++=%%%l l l
这就得到
0220[()]()()Cov(,)11[()]()E u W n E u E u d dn n E u W n n E u e e e e e ⅱ?+++==ⅱ++%%%%l l %l 02
0Cov((),)1[()]u W n n E u W n e e e
¢
++=¢++%%l %l
由于()u ×是严格单增和严格凹的，()u ¢×是严格单减函数，e %增加将降低0()u W n e ¢++%l 的值。

可见，等式右边的分子小于零，分母大于零。

0d dn
<l
(2.56a) 而且，
lim ()0n
n =l (2.56b)
进一步，n 个人愿意支付的投资总额：
()[()]()K n nk n Y n n Y n n ==-=-l l
令n ，使用洛必达法则：
20000()()lim ()lim lim lim[()]1(1)Cov[(()),]Cov[(),]lim
[(())][()]
n n n n n
n n n n n n n n u W n n u W E u W n n E u W e e e e
¢¢===-¢
ⅱ++=-=-
=ⅱ++l l l l %%%l %l
故
lim ()lim[()]n
n
K n Y n n Y =-=l (2.58)
→只要参与投资的人数充分大，投资者作为一个整体对一项风险投资的估价，仅依赖于风险项目本身的期望收益率，与单个投资者的风险厌恶程度无关。

第3讲 套利与资产定价基本定理
（Dybvig and Ross, 1989: The New Palgrave: Finance, ed. by Eatwell, etc. ） 3.1 记号
● 资产价格、状态依存（contingent ）收益、收益率
资产的当前价格：T
1(,,)n
p p =p K 资产i 在期末的价格（单位收益）：(1)si y s S ＃
收益率/si si i R y p =
资产i 的收益向量T 12(,,)i i i Si
y y y =y K （在有限责任制下，i ³y 0） 所有资产未来的状态依存价格矩阵：1(,,)()n si S n y ´==Y y y K
资产的收益率矩阵1()si p R -==R YD 其中
120
00000
p n p p p 骣÷
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
ç桫
D L
L M M O M L
收益率矩阵R 包含了投资者关心的所有信息。

● 组合的P 收益率：P =R Rw
● 套利组合（arbitrage portfolio ，无成本投资组合）
定义3.2 若资产组合a 满足0=a ，且T
0W ==1a ，则称其为一个套利组合，记为w 。

套利组合与稍后定义的套利机会是完全不同的两个概念！ ● 无风险组合（risk-free portfolio ）
定义 3.3：若资产组合w 满足R =Rw 1，则称其为一个无风险组合，R 称为无风险收益率，1r R =-为无风险利润率（利率）。

● 组合复制（Duplicate ）
定义 3.4：若两个不同的资产组合具有相同的状态依存收益率：12¹w w ，但12=Rw Rw ，则称二者是相互可复制的。

只要存在一个可复制的资产组合，那么经济中所有的资产及资产组合都是可复制的：若1w 可由2w 复制，12¹w w ，那么"w ，12()++w w w 即为它的一个复制组合。

● 多余资产：那些引致经济中出现组合可复制现象的资产。

命题 4.1： 若R 为经济中n 只资产的收益率矩阵，定义其增广矩阵T T ˆ(,)=R
R 1，则R 中存在多余资产的充分必要条件是：ˆRank()n <R。

【证明】必要性：若经济中存在多余资产，则存在互为复制的资产组合1w 和2w 。

由定义，
2-?w w 01w =事实上是一个套利组合，因为它满足
T T T 011w 1w 12w =-= (0.1)
同时，这一套利组合的收益率还恒为零：
12=-=R Rw Rw 0w (0.2)
二式可合为ˆR
0w =，从而ˆRank()n <R 。

充分性：若ˆRank()n <R
，则存在向量¹0w ，使得ˆR 0w =，这意味着w 是一个收益率为零的套利组合。

对于任何资产组合w ，显然+w w 与它是互为复制的。

▋
3.2 无套利条件与均衡条件 ● 套利机会
定义3.5：如果经济中存在满足以下条件之一的资产组合a ，就称经济存在套利机会：
(1) T
0£1a ，同时>Ra 0——I 型套利机会
(2) T 0<1a ，同时³Ra 0——II 型套利机会
● 两种套利机会的统一表述
记收益率矩阵的一个加边矩阵T 1*骣-÷ç÷ç=÷ç÷ç÷
桫R R
则无套利机会就是简单地要求不存在满足以条件的组合a ：
T 1*骣-÷ç÷ç=>÷ç÷ç÷
桫R a a 0R 3.3 无套利机会条件与均衡条件
均衡较无套利条件强，是后者的充分条件，但非必要条件！ ● 均衡：所有经济个体都达到期望效用最大化 ＋ 市场出清
● 套利机会的有无涉及的是经济中的价格系统，与个体是否在这样的价格系统中恰当地买卖资产而实现了期望效用最大化无关。

在某一组特定的资产价格p 下，个体可能会发现根本找不到任何套利机会，但这组价格并不一定是均衡价格。

● 其他较套利条件弱的条件
⏹ 市场一价法则（the single price law of markets ）
12=Ra Ra ⇒ T T
12=1a 1a
或者等价地：
=Ra 0 ⇒ T 0=1a
无套利条件下市场必然满足上述一价法则，但反之则未必——由于一价法则只对
=Ra 0的投资组合成本施加约束，而未限制³
Ra 0的情况，它仅只是排除了一部分套利
机会。

⏹ 排除无风险套利（absence of riskless arbitrage ）：存在投资组合a ，使得
T 0£1a ，但 =R a 1
在经济中不存在套利机会的前提下，无风险套利显然是不可能存在的。

不过，如果经济中本来就无法构造无风险组合，排除无风险套利机会不会对价格系统构成任何限制，但这时价格可能是错误的。

例子：以下的经济
2
121骣÷
ç÷ç=÷ç÷--ç÷
桫
R
存在II 型套利机会：
考虑组合T
(1,2)=-a ，容易验证
T 1=-1a ，=Ra 0
可是这个经济却符合无风险套利原则，因为我们根本无法构造无风险组合！ 3.4 资产定价基本定理 ● 状态价格与线性定价法则
研究经济的价格系统可以归结为考察状态价格。

定义3.6 记经济中所有n 种资产（除去多余资产）的当前价格为T
1(,,)n
p p =p K ，收益矩阵为()si S n y ´=Y 。

若存在向量T
1(,,)S
q q =q K ，使得以下线性定价法则成立： T
=Y q p ，即 1111211221222212S S n n Sn S n q p y y y q p y y y y y y q p 骣
骣
骣
鼢珑÷ç鼢珑÷ç鼢÷珑ç鼢÷珑鼢ç÷珑鼢ç÷=珑鼢ç÷鼢珑÷ç鼢珑÷ç鼢珑÷ç鼢÷珑ç鼢
÷珑桫
桫桫
L L L L L L L L L M M L 则称q 为该经济的一个状态价格向量，而其中s q 为对应状态s 的状态价格。

（等式两边同时左乘1T ()p -D ，利用1p -=R YD 就得到下面等价的形式：
T =R q 1）
s q 是以下收益形式的当前价格：
T
(0,0,1,0,0)s s
=K K i
● 支持经济的状态价格可能不是唯一的
如果存在S 种可能状态，而除去多余资产后经济中的资产数目n 小于S ,那么无套利条件只对价格系统施加了n 个线性约束，这意味着全部S 个状态中还留有S n -个价格自由度。

● 在无风险资产（组合）存在条件时状态价格的一个简单性质
如果存在无风险组合f w ：T
1f =1w ，f R =Rw 1，该式两端左乘状态价格向量T
q ，
等号左边的结果是T T 1f
f ==q Rw 1w ；等号右端则为 T 1
S
s
s R R q ==åq 1
从而
1
1
S
s s q R ==å ● 资产定价基本定理
定理3.3（Fundamental Theorem of Asset Pricing ）：经济中存在正的状态价格q 的充分必要条件是：不存在I 型和II 型套利机会。

【证明】只证必要性：假设状态价格q 0?，T =R q 1，
（1）若存在I 型套利机会，存在a 使得T
0£1a 和>Ra 0同时成立，在后一不等式两端乘
以T q ：
T 0>q Ra （因为q 0?）
但因T =R q 1，故上式意味着T
0>1a ，这与a 为I 型套利机会矛盾；
（2）若存在II 型套利机会，存在a 使得T 0<1a 和³Ra 0同时成立，在后一不等式两端乘以T q ：
T 0³q Ra
这就是说T
0³1a ，这与a 为I 型套利机会的假设矛盾。

● 风险中立概率定价（鞅定价）
⏹ 2S =：假设除了无风险资产，唯一的一种风险资产目前的价格是p ，期末的价格可能是1y 或2y ，12y p y <<。

12R y R y 骣÷
ç÷ç=÷ç÷÷ç桫
Y 利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在12,0q q >，使得
12121q R R q p y y 骣骣骣
÷÷
çç÷ç÷÷÷=ççç÷÷÷ççç÷÷÷çç桫桫桫
或者
1211221
R q R q y q y q p +=+= (3.23)
定义“风险中立概率”（risk neutral probabilities ）：
11ˆRq p
=，22ˆRq p = (3.24) 由于0s q >，由(3.23)中第一个等式可知这样定义的ˆs p
满足一般的概率条件： ˆ01s p
<< 1ˆp +2ˆ1p = (3.25) 而由(3.23)中第二个等式我们确实可以将ˆs p 解释为状态s 出现的“概率”，因为等号左边乘
以/R R 后将变为：
111
ˆ(q R
p +22ˆ)q p p = (3.26)
→风险资产现在的价格等于它未来“平均价格”（按上面定义的“概率”计算）的无风险贴现值。

⏹ 一般情形
若不存在套利机会，由定理3.2，每一状态的状态价格均为正：
T =Y q p ，q 0?
(3.27)
记
ˆR =q p
(3.28) 则（3.27）变为：
T
T
1ˆR
==p Y q Y p (3.29) 回忆T
1/()R =1q ，根据（3.28），
ˆ11T T R ==1q p
(3.30) 所以，我们可以将ˆp 视为一个“概率向量”，而（3.29）则可写为：
1ˆ
[]i i p E y R
=% 或 ˆ[]i E R R =%
1,,.i n =K ● 正线性定价法则的应用：两个例子
⏹ MM 定理
假设公司有K 种资本（如果只是考虑通常的股权和债权资本2K =），其中资本k 在期末的状态依存收益记为k Y %，这样公司期末的总收益将是
1
K
k
k Y Y ==
å
%%
如果不存在套利机会，根据定理必然存在正线性算子()p ×
，给出公司当前的市场价值： 11()()K
K k k k k V p Y p Y p Y ==轾
犏?=犏臌
邋%%% 其中第二个等式来自于()p ×
的线性性质。

根据这个等式，只要公司的投资项目不变，从而其期末的收益Y %保持不变，那么公司的市场价值V 也必然不变，V 与公司的资本种类以及各资本的构成无关。

⏹ APT
假设经济中各资产的收益率可以写为以下线性形式：
1
K
i i
ik k i k R a b f e ==++å
%%%
（3.35） 其中k
f %是影响资产收益的外生随机变量（因素），满足()0k E f =%，系数ik b 为常数；残差i e %为
资产i 的特质风险，()0i E e =%。

为简洁，这里只考虑特殊情况：0i e º%。

首先，
()i i
E R a =% 根据定义，资产收益率是单位投资所获的收益，在（3.35）中应用线性定价算子，这就是：
11
1
1()()()()K K
K
i
i
i ik k i ik k ik k k k k a p R p a b f p a b p f b p f R ===骣
÷ç==+=+=+÷ç÷ç桫
邋?
%%%%
或者等价地：
1
1
()()K K
i i ik k ik k k k E R a R R b p f R
b l ====-?邋%%。