相似三角形证明题精选
全等三角形相似三角形证明(中难度题型)
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗请说明理由
45、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
全等三角形证明经典50题.doc
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
1.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
相似三角形的判定练习
相似三角形的判定练习.doc
【知能点分类训练】
知能点1 角角识别法
1．如图1，（1）若 =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
12．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
13．在 ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求 的值．
14．在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似， 试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．
相似三角形证明题
相似三角形证明题1.如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠2，BD 平分ABC ∠，试说明：AB·B C = AC·CD2.已知：ΔACB 为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA 至E ，延长AB 至F ，∠ECF=135求证：ΔEAC ∽ΔCBF3.如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.4.如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ∆∽ADE ∆吗？说明理由。
（2）求AD 的长。
5.已知:如图,CE 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP. 求证:CE 2=ED ·EP.6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.7.如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.8.如图：⊿ABC 中，D 是AB 上一点，AD = AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F ，求证： DF CF AC AB ::AB C EDF9.四边形ABCD 中，AC 为AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB ，求证：22CD BC DE BE =10.矩形ABCD 中，a AB =，b BC =，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足， 求证：2242ba ab DE +=11.如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，求证：22PBPD PR PQ =A BCR12.如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°， 求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长.(计算结果含根号).13.如图，P 在线段MN 上，如果PM 2= MN ·PN ，，那么，P 是线段MN 的一个黄金分割点。
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
相似三角形的判定(证明题)
相似三角形的判定1 •如图，锐角A4BC的髙CD和BE相交于点0,图中与△OD3相似的三角形有(A4个 B3个 C2个 D1个3•已知：AACB为等腰直角三角形，ZACB=90°延长BA至E,延长AB至F, ZECF二135°求证:CBF5・、如图，点C、D在线段AB上，且APCD是等边三角形.(1)当AC, CD, DB满足怎样的关系时，AACP S APDB：⑵当A PDBs A ACP时，试求ZAPB的度数.6•如图，Z1 = Z3, ZB = Z£>, AB = DE = 5, EC = 4(1)AABC- AADE吗？说明理由。
(2)求AD的长。
7.已知：如图,CE是RtAABC的斜边AB上的髙,BG丄AP・求证:CE:=ED €P.9 •如图，D为A ABC内一点，E为AABC外一点，且Z1=Z2, Z3：⑴AABD与4CBE相似吗？请说明理由.(2) A ABC与ADBE相似吗?请说明理由.AA EACs AB C判断题:⑴两个顶角相等的等浸三角形是相似的三角形。
((2)两个等腰直角三角形是相似三角形。
((3)底角相等的两个等艮三角形是相似三角形，((4)两个直角三角形一定是相似三角形。
((5)—个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似n ((6)有一个角相等的两个宜角三角形是相似三角形n ((7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。
( (3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似.((9)所有的正三角形都相似n ( )(10)两个等艮三角形只要有一个角对应相等就相似. ( ) 2・如圍,AD/J BC, AE平分ZDAB, BE平分ZABC・ EF丄AB•证明：AAEF^AABE.3 •如尿，AABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD^CE, AD与BE相交于点F・<1)试说明△ ABD坐ZkBCEj<2)AEAF与相似吗？说说你的理也.4.如釦在AABC中’ ZBAC=90\ D为BC的中点，AE丄AD, AE交CB的延长纟壬于点E・(1)求证：AEAB^AECA.:(2)4ABE和AADC是否一定相似？妇果相似，加以说明5如杲不相似，那么增加一个怎徉的条件，A.4BE和4ADC-定相似.5・如囲在AABC中,ZC=905, D. E衽BC上,BD=DE=EC=AC,指出團中哪两个三角形棉似,并证明你的结论.A6・如團，ZkABC 申，ZBAC=90% AB=AC, D 在BC 匕 E 在AC 匕 且上ADETS 廈 (1) 求证：△ABD S /XDCE ・ (2) 台D 莊什么位贵时，AABD^ADCE ・7. 如图，在AABC 中，AB ・8cm, BC-16c 叫 点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cE 啲速度移动‘点 Q 从点B 幵弟沿BC 向C 点^4cm,s 的速虔移动.加果P, Q 分别从、B 同时出拓 经过几秒绅ZkPB Q与△ ABC 相似？8. 如囹，已知AABC 中CE 丄AB 干E, BF 丄AC 于F,求证；△AEF S ^ACB.9 •如图、UAABC 中，ZACB=PO% AC=4, BO3,点P 在线段AB 上臥每秽1个单位的速度从点B 问点A 运动，同时点Q 曲圭段A C 上以同样的速虎从点A 向点C 运动，运动的时间用1 (单位：秒)表示.(1)求线股AB 的长；<2)求当t 为何值时，AAPQ 与AABC 相似？10・如虱在MBCD 中’ E 豹BC 边上一点'连接AE 、DE, F 为线段DE 上一点，且ZAFE=ZB .试 说明△ADF S ADEC ・11 ・如釦 已知MBC 中’ AB=2& AC=4js, BC=6? AMN 与AABC 相似，求MN 的长.3A312・如團，点E 是匹边形ABCD 的对角线BD 上一点，SZBAC-Z3DC-ZDAE ・求证：AABE^AAC D.14.已知，如團：在AABC 中，AD=CD, /ADE=ZDCB, 求还；△ABCsACDE.16・已知：D 、ElAABC^j±AB^ AC±^].^, AB=9, AD=4, AC=7.2, AE=5,求证：AABCooAAE D ・18 ・已知：如园.在△ ABC 和△ ADE 中,ZBAC=ZDAE, ZABC=ZADE. 求证：AABIX^AACE・D17 ・ 4±AABC 中，ZBAC=90c , E,求证：AABIX O ADCE ・19・如园.在正万形网格上有6个斜三角形：①②△CDB,③ADEB, @AFBG, ©AHGF,⑥△ERF 请在三角形②〜⑥中，找出与①相佩的三鱼形的序号是_〈把 前序号埴上〉并证明你的结论.20.如冒所示，在A ABC 中，AB=8cm ? BC=16cm ?点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以lens 的速庶移 动，点Q 从点B 幵始沿边BC 向点C 以2cm/啲速庚移动，如果点.P 、Q 同时出紀 经过多长时间后，厶PB ABC 相似?试说明理由■21・将两个全等的等腰宜角三角形摆成如團所示的祥子（團中所有的点、线都在同一平面内〉・ CD 请在图中找出两対相似而不全手的三角形〉话从其中一对说明埋宙.C2）你还能再找一对相似而不全等的三角形吗？请说明遅由.22・如园：己知△ABgZkADE 的边BC 、AD 相交于点0,旦Z1=Z2-Z3.求证：AABCsAADE.23.如园，APQR 罡尊边三角形，ZAPBJ20J I 乩每两个三角形沏一组写出园中所有的相 似三角形，并迭择耳中的一爼加以证明.2S.如图’已知:厶ABC 中〉ZABC-90% AB-BC,延长BC 到E,使得CE-2BC,馭CE 的中点D,连接AE 、 AD ・求iib AACD<7>AECA ・26.如阂.D 是Z\ABC 的边BC 上的一点,AB=2, BD=1, DC=3,求证：AABD^ACBA.5 I D327・已知：AABC为手瑕直角三角形，ZACB=90%延长BA至E,延长AB至F, ZECF=135S求证：AEAC^ACBF.28・如因所示'R仏ABC中’已^DZBAC=O0\ AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B, C),过点D作ZADE=45% DE交AC于点E.(1)求证：△AEIX^XDCE;(2)当AADE是等腰三角形时，求AE的长.29・如團已知AB丄BD, CD丄BD・若・4B=9, CD=4, BD-10,话问在BD上是否存在P点，使以P、4、B三点为页点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似・?若存在，求BP的长：若不存在'请说明理由.30・如臥AABCx ADEPf两个全竽的等腰直毎三角形，ZBAC=ZPDE=90\(1)若将ADEP的顶点.P放在BC上(如图1) , PD、PE分别与AC、AB相交于点F. G.求证：△PBGs^FCP;(2)肴使ADEP的顶点P与顶点A重台〔如图2) , PD-. PE与BC相交干点几G・试问APBG与AFCP还相似吗勺为什么？1・如国,在4ABC和ADEF中ZA=ZD=90\ AB=DE=3, AC=2DF=4 ・(1)判断这两个三角形杲否殆似并说明为什么？(2)能否分别过A, D在这两个三角形中各作一条湘助纵使△ ABC分黑成的两个三角形与ADEFB-割成的两个三角形分别对应相似？证明惋的结论.2 •如團，在A ABC中，AB=AC,若4 ABC^ADEF,且点A往DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M・求证：AABE^AECM・5.己知：如图'AABC中'AD=DB, Zl=/2.求证：AABCxoAEAD.S・如图'在厶ABC中,AB=AC, ZADB=90°, ZCBE=ZCAD；求证：△BECsAADC ・10・?0g.. ZABC=ZBCD,且BC^=AB・CD・ ^15： AABC^ABCD.O11・已务Ih如图，AD是△ ABC的高,BE丄AB, AE交BC于点、F> AB・AC-AD・AE・求证:ABEFcoAACF ・13.妇團所不‘在铁角AABC中，高CD： BE相交于点、F・ <1)拷出图中所有的相似三角形，并证明一对三角形柜似3 (2)连结DE,试说明：AADEccAACB.4・如凰，集一时別一根2米长的竹竿EF嶷长GE为I球'此时，小红测得一棵被凤吹斜的杨树与地面成30。
相似三角形判定证明题
相似三角形的判定(证明题)1．如图，∠1=∠2=∠3，写出图中的相似三角形，并说明理由。
2．AF 如图，∥，CD ∠1＝∠2，∠B ＝∠D ，写出图中四对相似三角形，并说明相似的理由。
3.如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.4. AD 为ΔABC 的中线，E 为AD 的中点，若∠DAC ＝∠B ，CD ＝CE求证;（1）ΔACE ∽ΔBAD （2）CD 2=AE ·AD5.如图，AB BC ACAD DE AE==．求证：（1）∠BAD＝∠CAE． （2）ΔABD∽ΔACE． 6.已知：如图，AD ·AB=AE ·AC ，求证：△EOC ∽△DOB 。
321F EDCBA 21F EDC BABA EABCED7.已知：如图，AE 2=AD ·AB ，且12∠=∠，求证: BCE ∆∽EBD ∆8．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC9.如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.∠APB=1200求证：（1）ΔACP ∽ΔPDB ；（2）CD 2=AC ·BD10．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=211．如图，CD 是Rt △ABC 的斜边上的高线，∠BAC 的平分线交BC ，CD 于E ，F ． 求证：（1）△ACF ∽△ABE ；（2）AC ·AE= AF ·AB ．12.如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F. (1)试说明⊿ABD ≌⊿BCE.(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由.(3)BD 2=AD ·DF 吗?请说明理由.13、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB=8,AD=6,AF=4,求AE 的长。
相似三角形精选好题-证明题25题
相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图，在△AAA中，AA=AA=20AA，AA=30AA，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．2.(1)A为何值时，AA//AA；3.(2)是否存在某一时刻，使△AAA∽△AAA？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；4.(3)当A△AAAA△AAA =13时，求A△AAAA△AAA的值．5.6.7.8.9.10.11.12.如图，△AAA中，AA=AA，AA⊥AA于A，A是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AAA∽△AAA．13.14.15.16.…17.如图，已知四边形ABCD中，∠AAA=90°，∠AAA=90°，AA=6，AA=4，AA的延长线与AD的延长线交于点E．18.(1)若∠A=60°，求BC的长；19.(2)若sin A=45，求AD的长．20.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)21.22.23.24.25.26.27.28. 如图，在△AAA 中，点D 在BC 边上，∠AAA =∠A .点E 在AD 边上，AA =AA ．29. (1)求证：△AAA ∽△AAA ；30. (2)若AA =6，AA =92，AA =2，求AE 的长．31.32.33. 如图，在四边形ABCD 中，AA //AA，AA =2AA，AA=2，AA =5，AA //AA ，交BC 于点F ，连接AF ．34. (1)求CF 的长；35. (2)若∠AAA =∠AAA ，求AB 的长．36. 如图，在锐角三角形ABC 中，点A，A 分别在边AA，AA上，AA ⊥AA 于点A，AA ⊥AA 于点A，∠AAA =∠AAA ．37. (1)求证：△AAA ∽△AAA ；38. (2)若AA =3，AA =5，求AAAA 的值．~39.如图，在AA△AAA中，∠A=90°，点D是BC．边的中点，AA=2，tan A=3440.(1)求AD和AB的长；41.(2)求sin∠AAA的值．42.43.44.45.46.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．47.(1)如图1，在△AAA中，CD为角平分线，∠A=40°，∠A=60°，求证：CD为△AAA的完美分割线．48.(2)在△AAA中，∠A=48°，AA是△AAA的完美分割线，且△AAA为等腰三角形，求∠AAA的度数．49.(3)如图2，△AAA中，AA=2，AA=√2，AA是△AAA的完美分割线，且△AAA是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．50.51.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点A，A，A在同一水平直线上)，已知AA=80A，AA=10A，求障碍物A，A两点间的距离(结果精确到0.1A)(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)52.53.54.`55.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合度BC为√5米，tan A=13时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长.(结果保留根号)56.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=15米.(i=1：√3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)57.(1)求点B距水平面AE的高度BH；58.(2)求广告牌CD的高度．59.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)60.61.62.63.64.65.66.67.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？68.69.70.71.72.73.74.75.如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？76.77.78.79.80.81.82.83.如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1m)84.参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．85.}86.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(C，E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.(√3≈1.73，结果精确到0.1米)87.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．88.(1)求证：△ABD∽△DCE；，求DC的长．89.(2)如果AB=3，EC=2390.91.92.93.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β= 60°，求树高AB(结果保留根号)94.95.96.#97.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设N、M为该岛的东西两端点)最近距离为15海里(即MC=15海里)，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东57°方向(其中N、M、C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离.(精确到0.1海里)参考数据：sin57°=0.84，cos57°=0.54，tan57°=1.54．98.99.100.101.102.103.104.105.探究证明：106.(1)如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC，CD上，AM⊥BN，求证：BNAM =BCAB．107.(2)如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM，EF分别交AB，CD于点E、点F，试猜想EFAM 与BCAB有什么数量关系？并证明你的猜想．108.拓展应用：综合(1)、(2)的结论解决以下问题：109.(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．110.111.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角∠BEF的度数为45°，测得旗杆顶端A的仰角∠AEF的度数为17°，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度(结果精确到0.1m)．112.【参考数据：sin17°=0.29，cos17°=0.96，tan17°=0.31】113.114.115.已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E.求证：116.(1)△ACE∽△BDE；117.(2)BE?DC=AB?DE．118.119.120.…121.如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．122.(1)如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；123.(2)如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；124.(3)如图3，若ABAC =a，且BDCD=b，直接写出DEDF=______ ．125.126.放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝.如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？(风筝线AD，BD均为线段，√2≈1.414，√3≈1.732，最后结果精确到1米)．127.禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．128.129.130.131.132.133.（134.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.4，√3≈1.7)135.136.137.138.139.140.答案和解析【答案】1. 解：(1)由题意知?AP=4x，CQ=3x若PQ//BC?? 则△APQ∽△ABC，AP AB =AQAC，∵AB=BC=20，AC=30，∴AQ=30?3x，∴4x20=30?3x30，∴x=103，∴当x=103时，PQ//BC．(2)存在∵△APQ∽△CQB?则APCQ =AQCB，∴4x3x =30?3x20，∴9x2?10x=0，∴x1=0(舍去)．x2=109．∴当AP的长为109时，△APQ∽△CQB，(3)∵S△BCQS△ABC =13，∴CQAC =13，又∵AC=30，∴CQ=10，即3x=10x=103，此时，AP=4x=403，∴APAB =40320=23．∴S△APQS△ABQ =APAB=23．??2. 证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAE=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．??3. 解：(1)∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=BEAB，∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6√3，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CDCE，∠E=30°，∴CE=412=8，∴BC=BE?CE=6√3?8；(2))∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=45=BEAE，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE=ABBE =68=CDDE=4DE，解得，DE=163，∴AD=AE?DE=10?163=143，即AD的长是143．??4. (1)证明：∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解：由(1)△ABD∽△CAE，∴ABAC =BDAE．∵AB=6，AC=92，BD=2，∴AE=32．??5. 解：(1)作AG//CD交BC于点G，∵AD//BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴GC=AD，∵AD=2，∴GC=2，∵BC=5，∴BG=BC?GC=5?2=3，∵EF//DC，AG//CD，∴EF//AG，∴FGBF =AEEB，∴FGBG =AEAB，∵AE=2EB，∴AEAB =23，∴FGBG =23，∵BG=3，∴FG=2，∴CF=FG+GC=2+2=4；(2)∵∠BFE=∠FAB，∠B=∠B，∴△BFE∽△BAF，∴BEBF =BFAB，∴AB?BE=BF2，∴AB?13AB=BF2，∵BF=BC?FG=5?4=1，∴AB=√3．??（6. 解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB =AEAC=35由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AFAG =AEAC，∴AFAG =35??7. 解：(1)∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由?tanB=ACCB =34，∴AC4=34，∴AC=3，由勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√32+22=√13，AB=√AC2+BC2=√32+42=5；(2)过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴DEAC =DBAB，∴DE3=25，∴DE=65，∴sin∠BAD=DEAD =65√13=6√1365．??8. 解：(1)如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180°?48°2= 66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．(3)由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，设BD=x，∴(√2)2=x(x+2)，∵x>0，∴x=√3?1，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =BDBC=√3?1√2，∴CD=√3?1√2×2=√6?√2．??9. 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF 于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m?10m=70m，∠ADF= 45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE=DEtan30°=10√33=10√3(m)，∴BC=BE?CE=70?10√3≈70?17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．??10. 解：如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，∵tanA=13，，∴设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中，B′B2+B′C2=BC2，即：x2+(3x)2=(√5)2，x=√22(负值舍去)，∴BD=B′C=3√22，??11. 解：(1)过B作BG⊥DE于G，Rt△ABH中，i=tan∠BAH=√3=√33，∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5；(2)∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由(1)得：BH=5，AH=5√3，∴BG=AH+AE=5√3+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5√3+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=√3AE=15√3．∴CD=CG+GE?DE=5√3+15+5?15√3=20?10√3≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．??12. 解：设同时运动ts时两个三角形相似，当△PCQ∽△BCA，则PCBC =CQAC，4t8=8?2t16，t=0.8；当△PCQ∽△ACB，则CQBC =PCAC，8?2t8=4t16，t=2．答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．??13. 解：设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．∵CP=BC?BP=8?2y，CB=8，CQ=y，CA=6．∵△CPQ∽△CBA，∴CPCB =CQCA，∴8?2y8=y6∴y=2.4设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．∴CP=BC?BP=8?2y．∵△CPQ∽△CAB，∴CPCA=CQCB∴8?2y6=y8∴y=3211所以，经过2.4秒或者经过3211后两个三角形都相似??、14. 解：作AE⊥CD于E，∵AB=15m，∴DE=AB=15m，∵∠DAE=45°，∴AE=DE=15m，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，则CE=AE?tan37°=15×0.75≈11cm，∴AB=CE+DE=11+15=26m．答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．??15. 解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，∴FG=AGtan∠AFG =AG√3，在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，∴CG=AGtan∠ACG=√3AG．又∵CG?FG=24m，即√3AG?AG√3=24m，∴AG=12√3m，∴AB=12√3+1.6≈22.4m．??16. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△DCE；(2)解：由(1)证得△ABD∽△DCE，∴BDAB =CEDC，设CD=x，则BD=3?x，∴3?x3=23x，∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．??17. 解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，则CF=AFtan∠ACF =xtanα=xtan30°=√3x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x(米)，在直角△ABF中，tan∠AEB=ABBE ，则BE=ABtan∠AEB=x+4tan60°=√33(x+4)米．∵CF?BE=DE，即√3x?√33(x+4)=3．解得：x=3√3+42，则AB=3√3+42+4=3√3+122(米)．答：树高AB是3√3+122米.??18. 解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan45°=CMAC=1，∴AC=CM=15，∴BC=AC?AB=15?4=11．在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan57°=CNBC=1.54．∴CN=1.54B?C=16.94．∴MN=16.94?15=1.94≈1.9海里．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离约为1.9海里．??19. 解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=90°∴∠NBA+∠NBC=90°，∵AM⊥BN，∴∠MAB+∠NBA=90°，∴∠NBC=∠MAB，∴△BCN∽△ABM，∴BNAM =BCAB．(2)结论：EFAM =BCAB．理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴四边形BEFG是平行四边形，∴BG=EF，∵EF⊥AM，∴BG⊥AM，∴∠GBA+∠MAB=90°，∵∠ABC=∠C=90°，∴∠GBC+∠GBA=90°，∴∠MAB=∠GBC，∴△GBC∽△MAB，∴BGAM =BCAB，∴EFAM =BCAB．(3)如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS，∵AM⊥DN，∴由(2)中结论可得：DNAM =BSAB，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠SDC+∠RDA=90°，∵∠RAD+∠RDA=90°，∴∠RAD=∠SDC，∴△RAD∽△SDC，∴∴CDAD =SCRD，设SC=x，∴510=xRD，∴RD=2x，DS=10?2x，在Rt△CSD中，∵CD2=DS2+SC2，∴52=(10?2x)2+x2，∴x=3或5(舍弃)，∴BS=5+x=8，∴DNAM =BSAB=810=45．??20. 解：如图，由题意得EF=BC=9m，∠AEF=17°，∠BEF=45°，在Rt△BEF中，∵tan∠BEF=tan45°=BFEF，∴BF=EF=9m.???????????????????????????????????????????????????????????? 在Rt△AEF中，∵tan17°=AFEF，∴AF=9×0.31=2.79m．∴AB=AF+BF=11.79≈11.8m．答：旗杆AB的高度约为11.8m．??21. 证明：(1)∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，∴△ACE∽△BDE；(2)∵△ACE∽△BDE，∴BEAE =EDEC，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴AEEC =ABCD，∴BEED =ABCD，∴BE?DC=AB?DE．??：22. ba??23. 解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=√3x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=√2x，∵AH?BH=AB=10米，∴√3x?x=10，∴x=5(√3+1)，∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD?BD=2x?√2x=(2?√2)×5(√3+1)≈(2?1.414)×5×(1.732+1)≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．??24. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，则AD=(200?x)海里，∵∠ABC=45°，∴BD=CD=x，∵∠BAC=30°，∴tan30°=CDAD，在Rt△ACD中，则CD=AD?tan30°=√33(200?x)，则x=√33(200?x)，解得，x=100√3?100，即BD=100√3?100，在Rt△BCD中，cos45°=BDBC，解得：BC=100√6?100√2，则(100√6?100√2)÷4=25(√6?√2)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度约为25(√6?√2)海里/时．??25. 解：由题意可知∠DCA=180°?75°?45°=60°，∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC=75°?30°=45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°?BD=BC=CD=20km，∴∠ADB=∠DBC?∠DAC=15°，∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，∴AB=BEsin45°=5√22≈7m，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．答：从A地跑到D地的路程约为47m．??【解析】1. (1)当PQ//BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．(2)由△APQ∽△CQB?得出APCQ =AQCB，进一步代入求x的值；(3)当S△BCQS△ABC =13时得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是(1)的结果，那么此时PQ//BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积?三角形APQ的面积?三角形BQC 的面积来得出答案即可．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．2. 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAE=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形的性质，证题的关键是挖掘题目的隐藏条件：对顶角相等．3. (1)要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．|4. (1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到ABAC =BDAE，把AB=6，AC=92，BD=2，代入计算即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，就提到过房间数灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5. (1)作AG//CD交BC于点G，根据平行四边形的性质可知CG=AD=2，由EF//AG，AE=2EB，利用平行线分线段成比例定理可求出FG=2，CF=FG+GC即可求出结果；(2)先证明△BFE∽△BAF，得到BEBF =BFAB，由BE=13AB和BF=1可求出AB．本题主要考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，作AG//CD交BC于点G，构造平行四边形和相似三角形是解决问题的关键．6. (1)由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；(2)△ADE∽△ABC，ADAB =AEAC，又易证△EAF∽△CAG，所以AFAG=AEAC，从而可知AFAG=ADAB．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．7. (1)由中点定义求BC=4，根据tanB=34得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=√13；(2)作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．8. (1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．(2)分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．(3)设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得BCBA =BDBC，列出方程即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．9. 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE?CE．本题考查了解直角三角形?仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10. 点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=13得到，然后设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．11. (1)过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE?DE即可求出宣传牌的高度．此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．$12. 设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB两种情况进行讨论即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．13. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA 与△CPQ∽△CAB本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．14. 作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用?仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．15. 利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB．本题考查了解直角三角形的应用?仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．16. (1)△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；(2)由△ABD∽△DCE，得到BDAB =CEDC，然后代入数值求得结果．本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．17. 作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF?BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．18. 在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN?CM即可求解．本题考查了三角函数，从图形中抽象出直角三角形并正确求得BC的长度是关键．19. (1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明．(2)结论：EFAM =BCAB.如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，首先证明四边形BEFG是平行四边形，推出BG=EF，由△GBC∽△MAB，得BGAM =BCAB，由此即可证明．(3)如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形.由(2)中结论可得：DNAM =BSAB，想办法求出BS即可解决问题．本题考查相似三角形综合题、矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．20. 先根据锐角三角函数的定义求出BF及AF的长，再由AB=AF+BF即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用?仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21. (1)根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到BEAE =EDEC，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到AEEC =ABCD，等量代换得到BEED=ABCD，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22. 解：(1)结论：DF=DE，理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD平分∠BAC，∴DM=DN，∵在四边形AMDN中.，∠DMA=∠DNA=90°，∴∠MAN+∠MDN=180°，又∵∠EDF与∠MAN互补，∴∠MDN=∠EDF，∴∠EDM=∠FDN，在△DEM与△DFN中，{∠DME=∠DNF ∠EDM=∠FDN DM=DN，∴△DEM≌△DFN，∴DE=DF．(2)结论DE：DF=1：k．理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND= 90°，∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC，∴12?AB?DM=12?AC?DN，∵AB=kAC，∴DN=kDM，由(2)可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，∴△DME∽△DNF，∴DEDF =DMDN=1k．(3)结论：DEDF =ba．理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同(2)可证∠EDM=∠FDN，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△DEM∽△DFN，∴DEDF =DMDN，∵BDCD=b，∴S△ABD：S△ADC=b，∴12?AB?DM：12?AC?DN=b，∵AB：AC=a，∴DM：DN=ba，∴DEDF =DMDN=ba．故答案为ba．(1)如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90°，只要证明△DEM≌△DFN即可．(2)结论DE：DF=1：k.如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由12?AB?DM=12?AC?DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再证明△DME∽△DNF，即可．(3)结论DE：DF=1：k.如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同(2)可证∠EDM=∠FDN，由12?AB?DM：12?AC?DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=ba，再证明△DEM∽△DFN即可．本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积、奇偶分析的性质定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，学会理由面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．23. 作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH?BH= AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD?BD的长，即可解题．本题考查了直角三角形的运用，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得DH的长是解题的关键．24. 先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=(200?x)海里，在Rt△BCD中，根据tan45°=CDBD，求出CD，再根据BD=CD求出BD，在Rt△BCD中，根据cos45°=BDBC，求出BC，从而得出答案．此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．25. 求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形.过点B作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+ BC+CD的长．本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题；通过解直角三角形求出AB是解决问题的关键．。
(相似三角形)证明题
1、如图，△ABC中，三条内角平分线交于D，过D作AD垂线，分别交AB、AC于M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。
2、如图，AD为△ABC的高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，试判断∠ADF与∠AEF的大小，并说明明理由，…3、如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且∠CAD=∠ADE=∠B，AC：BC=1：2，设△EBD、△ADC、△ABC的周长分别为m1 、m2、m3，求的值，*4、如图，已知△ABC中，D为BC中点，AD=AC，DE⊥BC，DE与AB交于E，EC与AD相交于点F，（1）△ABC与△FCD相似吗请说明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的长。
：5、AD是△ABC的高，E是BC的中点，EF⊥BC交AC于F，若BD＝15，DC=27，AC=45.求AF的长。
\6、已知:如图，在△PAB中,∠APB=120O,M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形。
求证: BM·PA=PN·BP7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
?????*8、已知：如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D，DE ∥AB交AC的延长线于点E。
《9、已知: 如图，四边形ABCD中，CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD，DE⊥CD交AB于E，连结CE，求证：DE2=AE?CE】10、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长./11、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少ANP12、已知：如图：FGHI 为矩形，AD ⊥BC 于D ，95GH FG ，BC ＝36cm,AD ＝12cm 。
相似三角形典型例题30道
相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中，DE是平行于BC的线段，且AD/DB = 2/3。
求DE/BC的比值。
2: 已知△PQR与△XYZ相似，PQ = 6，XY = 9，求QR 与YZ的比值。
3: 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE平行于BC，已知AD = 3，DB = 6，求AE与EC的比值。
4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9，求它们对应边的比。
5: 在△XYZ中，MN是平行于XY的线段，且XM = 4，MY = 6，求MN/XY的比值。
6: 在△ABC中，AD是BC的中线，且AE是AB的延长线，若AE与BC相交于点F，求AF与FB的比值。
7: 在△DEF中，GH平行于EF，已知DE = 8，DF = 10，求GH/EF的比值。
8: 在一个相似三角形中，若大三角形的周长是36，小三角形的周长是24，求它们的面积比。
9: 在△JKL中，MN平行于JK，若JM = 3，MK = 5，求MN/JK的比值。
10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15，求它们的面积比。
11: 在△ABC中，AD是BC的中线，且DE平行于BC，已知AD = 4，BC = 8，求DE的长度。
12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4，求它们的周长比。
13: 在△PQR中，S是PQ的中点，若ST平行于QR，求PS与PQ的比值。
14: 在相似三角形中，若小三角形的每条边长为5，大三角形的对应边长为15，求它们的面积比。
15: 在一个三角形中，若一条边的延长线与另一边的平行线相交，则形成的两小三角形与原三角形相似，求相似比。
16: 在△XYZ中，若XY = 10，XZ = 15，YZ = 12，求△XYZ的周长。
17: 已知△ABC与△DEF相似，若AB = 4，DE = 8，求AC与DF的比值。
18: 在△GHI中，JK平行于GH，若GJ = 5，GH = 20，求JK的长度。
19: 在相似三角形中，若一个三角形的面积是36，另一个三角形的面积是144，求其对应边的比。
相似三角形证明题
相似三角形证明题1． 如图：⊿ABC 中，D 是AB 上一点，AD = AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F ，求证： DF CF AC AB ::=2． 四边形ABCD 中，AC 为AB、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB ，求证：22CD BC DE BE =3． 如图，已知菱形ABCD 中，在AD 上任取一点E ，连结CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，过E 作EG ∥FB交FD 于G ，求证：GF = AE4． 在Rt ⊿ABC 中，∠ACB = Rt ∠，AD 平分∠CAB ，CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，过F 作 FG ∥AB 交CB 于G ，求证：CD = GBC A B B5． 矩形ABCD 中，a AB =，b BC =，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足， 求证：2242b a abDE +=6． 如图，过平行四边形ABCD 的极点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，求证：22PB PD PR PQ =CR7． 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE = 31AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF = FB8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长.(计算结果含根号).9．如图，P 在线段MN 上，若是PM 2 = PM ·PN ，，那么，P 是线段MN 的一个黄金分割点。
现有一等腰ΔABC （如图），AB=AC ，∠ABC=2∠A ， BD 是角平分线。
（1）求证：D 是AC 的黄金分割点。
（2）若AC=1，求AD 的长。
相似三角形经典例题(练习)
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF AC=BC FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
过D 点作DG∥AB 交FC 于G 则△AEF∽△DEG。
（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似） （1）∵D 为BC 的中点，且DG∥BF∴G 为FC 的中点则DG 为△CBF 的中位线，（2）将（2）代入（1）得：三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
边AB 和AD 上的点，且。
求证：例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，••DG AFDE AE =BF DG 21=FBAF BF AF DE AE 221==31==AD AF AB EB A B C D E FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FCDRAC E ABCDEFO 123ABCDFGE求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
(完整word版)相似三角形精选好题-证明题25题
相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图,在中，，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．为何值时,；是否存在某一时刻，使∽？若存在，求出此时AP的长；若不存在,请说明理由；当时,求的值．2.如图，中，于是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证:∽．3.如图，已知四边形ABCD中，的延长线与AD的延长线交于点E．若，求BC的长；若,求AD的长．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号4.如图，在中，点D在BC边上，点E在AD边上，．求证：∽；若，求AE的长．5.如图,在四边形ABCD中，,交BC于点F，连接AF．求CF的长；若,求AB的长．6.如图,在锐角三角形ABC中，点分别在边上，于点于点．求证:∽；若,求的值．7.如图，在中，，点D是BC边的中点,．求AD和AB的长;求的值．8.从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1,在中，CD为角平分线，，求证：CD为的完美分割线．在中，是的完美分割线,且为等腰三角形,求的度数．如图中，是的完美分割线,且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．9.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为,测得大楼顶端A的仰角为点在同一水平直线上,已知，求障碍物两点间的距离结果精确到参考数据：10.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC为米，，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长结果保留根号11.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡AB的坡度:米,米：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比求点B距水平面AE的高度BH；求广告牌CD的高度．测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：12.如图，在中,，动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为点的运动速度为，那么运动几秒时,和相似?13.如图所示，，点P从点B出发,沿BC向点C以的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？14.如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为，顶部的仰角为,已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长精确到参考值：．15.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处三点在同一直线上，又测得主教学楼顶端A的仰角为，已知测角器CD的高度为米，请计算主教学楼AB的高度,结果精确到米16.已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，．求证：∽；如果,求DC的长．17.如图,CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高结果保留根号18.钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛设N、M为该岛的东西两端点最近距离为15海里即海里，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东方向其中N、M、C在同一条直线上,求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离精确到海里参考数据：．19.探究证明：如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边上,，求证：．如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上,分别交于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．拓展应用：综合、的结论解决以下问题：如图3,四边形ABCD中,，点分别在边上,求的值．20.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角的度数为，测得旗杆顶端A的仰角的度数为，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度结果精确到．【参考数据：】21.已知,如图，在四边形ABCD中,,延长AD、BC相交于点求证：∽；．22.如图,在中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的的两边分别与边交于点E、F，且与互补．如图1，若为BC的中点时,则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；如图2，若为BC的中点时，那么中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由;如图3,若，且，直接写出______ ．23.放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为已知点在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？风筝线均为线段，，最后结果精确到1米．24.禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只,测得A、B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号．25.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地,如图，其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东方向，在C地北偏西方向，C地在A 地北偏东方向且，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？最后结果保留整数,参考数据：答案和解析【答案】1。
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
相似三角形一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E ，连接AE ．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：_________ ；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC 〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：此题考查的是平行线的性质与相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：〔1〕证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，〔2分〕∴△CDF∽△BGF．〔3分〕〔2〕解：由〔1〕△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，〔6分〕∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．〔8分〕3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，〔2分〕∴∠BAF=∠AED．〔4分〕∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．〔5分〕∴△ABF∽△EAD．〔6分〕点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：〔1〕证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=．又∵AB=AC，∴△ABM≌△A．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．〔2〕解：〔1〕中的两个结论仍然成立．〔3〕证明：在图②中正确画出线段PD，由〔1〕同理可证△ABM≌△A，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．〔3分〕如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．〔6分〕∴△AEF∽△BEC．〔7分〕7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= 135°°，BC=；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：〔1〕∠ABC=135°，BC=；〔2〕相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由解：〔1〕设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，如此有：〔6﹣2x〕x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，〔2分〕解方程，得x1=1，x2=2，〔3分〕经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．〔4分〕〔2〕假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或〔5分〕即①，或②〔6分〕解①，得t=；解②，得t=〔7分〕经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．〔8分〕9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：〔1〕任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④〔2分〕其中有两组〔①③，②④〕是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=〔4分〕证明：〔2〕选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD〔8分〕选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，〔6分〕∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB〔8分〕．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD于E，连接AE．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：〔1〕AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．〔2〕图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；〔3〕作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：此题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与三角形面积的求法等，X围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：〔1〕∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．〔2〕∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；〔3〕当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由〔1〕知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．解答：解：〔1〕过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=〔AD+BC〕AB=×〔2+8〕×8=40．〔2〕①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8假如△PAD∽△QEC如此∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=假如△PAD∽△CEQ如此∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8〔不合题意舍去〕∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，〔1〕当∠1=∠2时，有：，即；〔2〕当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．解答：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，如此有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即〔10﹣2t〕：10=4t：20，解得t=2.5〔s〕〔6分〕当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=〔10﹣2t〕：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似〔10分〕．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，如此有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t 分两种情况：〔1〕当BP与AB对应时，有=，即=〔2〕当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①假如△CDM∽△MAN，如此=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②假如△CDM∽△NAM，如此．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似．当AN=a 时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，如此CQ=〔8﹣2x〕cm，CP=xcm，〔1分〕∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．〔3分〕〔1〕当时，，∴x=；〔4分〕〔2〕当时，，∴x=．〔5分〕所以，经过秒或秒后，两三角形相似．〔6分〕点评：此题综合考查了路程问题，相似三角形的性质与一元一次方程的解法．19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：〔1〕假如点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．〔2〕假如点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：〔1〕∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，〔4分〕而∠MBE=∠E=45°，∴△BEM∽△E．〔6分〕〔2〕与〔1〕同理△BEM∽△E，∴．〔8分〕又∵BE=EC，∴，〔10分〕如此△E与△MEN中有，又∠E=∠MEN=45°，∴△E∽△MEN．〔12分〕21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30〔舍去〕．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．解答：解：〔1〕皮尺，标杆；〔2〕测量示意图如下列图；〔3〕如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．〔7分〕24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕解答：解：〔1〕由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，〔2分〕∴DE=1200〔cm〕．所以，学校旗杆的高度是12m．〔3分〕〔2〕解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．〔5分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔6分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴〔7分〕，又ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔5分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，〔6分〕∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8．〔7分〕在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+〔r〕2=〔r+8〕2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3〔不合题意，舍去〕，∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕25．〔2007•某某〕阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题根本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长〔如图〕．由〔1〕可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，如此c2=a2+b2〔1〕S1=S2+S3；〔2〕S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；〔3〕当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；〔4〕分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，如此S1=S2+S3．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=〔AB+BD〕：AB，∴AE：9=〔15+5〕：15．∴AE=12．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：〔1〕Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；〔2〕在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：〔1〕设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．〔2〕设一个三角形周长为Ccm，如此另一个三角形周长为〔C+560〕cm，如此，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。
相似三角形的判定(证明题) 好 打印
相似三角形的判定
1.如图，锐角ABC ∆的高CD 和BE 相交于点O ，图中与ODB ∆相似的三角形 有 那些 ∽ 、 ∽ 、 ∽ 、 ∽
2.如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠2，BD 平分ABC ∠，
试说明：AB·BC = AC·CD
3.已知：ΔACB 为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA 至E ，延长AB 至F ，∠ECF=1350 求证：
ΔEAC ∽ΔCBF
4.已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.
5.、如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.
(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ；
(2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.
6.如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，，
（1）ABC ∆∽ADE ∆吗？说明理由。
（2）求AD 的长。
A E D C
B O
7.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.
求证:CE2=ED·EP.
8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.
9.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.
(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.
10.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.
求证:CE2=ED·EP.。
相似三角形证明题
相似三角形证明题1．如图：⊿ABC 中，D 是AB 上一点，AD =AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F ，求证：DF CF AC AB ::=2．四边形ABCD 中，AC 为AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB ，求证：22CD BC DE BE =3．如图，已知菱形ABCD 中，在AD 上任取一点E ，连结CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，过E 作EG ∥FB 交FD 于G ，求证：GF =AECA BB4．在Rt ⊿ABC 中，∠ACB =Rt ∠，AD 平分∠CAB ，CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，过F 作FG ∥AB 交CB 于G ，求证：CD =GB5．矩形ABCD 中，a AB =，b BC =，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足，求证：2242b a ab DE +=C6．如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，求证：22PB PD PR PQ 7．已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE =31AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF =FB8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长.(计算结果含根号).R9．如图，P 在线段MN 上，如果PM 2=PM ·PN ，，那么，P 是线段MN 的一个黄金分割点。
现有一等腰ΔABC （如图），AB=AC ，∠ABC=2∠A ，BD 是角平分线。
（1）求证：D 是AC 的黄金分割点。
（2）若AC=1，求AD 的长。
选择题；1．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依次是（）（A ）0，－2，1（B ）0，1，－2（C ）1，0，－2（D ）－2，0，12．如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（A ）25（B ）66（C ）91（D ）1203．如图:在一块长为a ,宽为b 的长方形的草地上,修两条宽度为h 的小路,则下列结论中成立的是:()A.修路后,留下草地的面积是：bhah ab --B.))((2h b h a h ha hb ab --=+--C.))((2h b h a h ha hb ab --=---D.))((2h b h a h ha hb ab -+=---(1)(2)(3)a bh h。
相似三角形证明题
相似三角形证明题1． 如图：⊿ABC 中，D 是AB 上一点，AD = AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F ，求证：DF CF AC AB ::=2． 四边形ABCD 中，AC 为AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB ，求证：22CD BC DE BE =3． 如图，已知菱形ABCD 中，在AD 上任取一点E ，连结CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，过E作EG ∥FB 交FD 于G ，求证：GF = AE4． 在Rt ⊿ABC 中，∠ACB = Rt ∠，AD 平分∠CAB ，CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，过F 作FG ∥AB 交CB 于G ，求证：CD = GBC A B B5． 矩形ABCD 中，a AB =，b BC =，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足， 求证：2242b a abDE +=6． 如图，过平行四边形ABCD 的顶点A 的直线交BD 于P ，交CD 于Q ，并交BC 的延长线于R ，求证：22PBPD PR PQ =CR7． 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE =31AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF = FB8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C(1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长.(计算结果含根号).9．如图，P 在线段MN 上，如果PM 2 = PM ·PN ，，那么，P 是线段MN 的一个黄金分割点。
现有一等腰ΔABC （如图），AB=AC ，∠ABC=2∠A ， BD 是角平分线。
（1）求证：D 是AC 的黄金分割点。
（2）若AC=1，求AD 的长。
D A BC E B C A F选择题；1． 如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成 正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个 数依次是 （ ） （A ）0，－2，1（B ）0，1，－2（C ）1，0，－2（D ）－2，0，12． 如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（A ）25 （B ）66 （C ） 91（D ）1203．如图:在一块长为a ,宽为b 的长方形的草地上,修两条宽度为h 的小路, 则下列结论中成立的是: ( )A.修路后,留下草地的面积是：bh ah ab --B.))((2h b h a h ha hb ab --=+--C. ))((2h b h a h ha hb ab --=---D. ))((2h b h a h ha hb ab -+=---(1)(2)(3)a bh h。
相似三角形证明题精选题
优质文档EA ABP DC相似三角形证明专题训练精选1、已知:如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。
求证:ΔAFG∽ΔAED。
2、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.3、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长4、已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，△ADQ 与△QCP是否相似？为什么？5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、A C E FA FA DB EB D于、。
则吗？说说你的理由。
7、如图，在⊿ABC（AB>AC）的边AB上取一点，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP：CP=BD：CE8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，DC⊥BC，与AD交于点D．求证：AC2＝AE·AD．9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F．求证：△AFD ∽△DFB．10、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AC于点O，交AB于点E，交CB的延长线于点F，求证：AO2＝OE · OF．B CDAEDAEOB CDAEF优质文档11、己知:如图,AB∥CD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC2=GF·GD.12、已知:如图,ΔABC中,∠ACB=900,F为AB的中点,EF⊥AB.求证:ΔCDF∽ΔECF.13、已知:如图,DE∥BC,AD2=AF·AB。
求证:ΔAEF∽ΔACD。
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1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.E A A B P DC 相似三角形证明专题训练1、已知:如图,DE ∥BC,AF ∶FB=AG ∶GE 。
求证:ΔAFG ∽ΔAED 。
2、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证:ΔAEF ∽ΔACB.3、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长4、已知，如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点，△ADQ 与△QCP 是否相似？为什么？5、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。
6、如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC E F AF AD BEBD于、。
则吗？说说你的理由。
=7、如图，在⊿ABC （AB >AC ）的边AB 上取一点，在边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ，求证：BP ：CP=BD ：CE8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥AB ，AD 交于点E ，DC ⊥BC ，与AD 交于点D ． 求证：AC 2＝AE ·AD ．9、已知：如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 边的中点，ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：△AFD ∽△DFB ． 10、已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AC 于点O ，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，求证：AO 2＝OE · OF ． 11、己知:如图,AB ∥CD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC 2=GF ·GD.12、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900,F 为AB 的中点,EF ⊥AB.求证:ΔCDF ∽ΔECF. 13、已知:如图,DE ∥BC,AD 2=AF ·AB 。
求证:ΔAEF ∽ΔACD 。
14、已知:如图,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC.求证:AB ·BC=AC ·CD. 15、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD. 16、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:ΔDBE ∽ΔABC. 17、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE =31AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF = FB18、如图，∠B=900，AB=BE=EF=FC=1。
求证：ΔAEF ∽ΔCEA.19、如图，在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC 。
（1）△ABD 与△DCB 相似吗？请说明理由。
（2）如果AD=4，BC=9，求BD 的长。
20、已知:如图，在△PAB 中,∠APB=120O ,M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形。
求证: BM ·PA=PN ·BP21、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长. 22、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900,F 为AB 的中点,EF ⊥AB.求证:ΔCDF ∽ΔECF.23、如图：三角形ABC 是一快锐角三角形余料，边BC ＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？24、已知：如图：FGHI 为矩形，AD ⊥BC 于D ，95=GH FG ，BC ＝36cm,AD ＝12cm 。
求：矩形FGNI 的周长。
25、如图ABC ∆中，边BC=60，高AD=40，EFGH 是内接矩形，HG 交AD 于P ，设HE=x, ⑴求矩形EFGH 的周长y 与x 的函数关系式； ⑵求矩形EFGH 的面积S 与x 的函数关系式。
26、已知：如图18—98，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．(8分) 27、如图,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,DM ⊥CE,AB=6,求DM 的长。
28、已知:如图，在△PAB 中,∠APB=120O ,M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形。
求证: BM ·PA=PN ·BP29、己知:如图,AD 是ΔABC 的角平分线,EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F.求证:FD 2=FB ·FC. [提示:连结AF]30、已知:如图,ΔABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB,DE ⊥BC,AC=6,DE=4,求CD 和AB 的长31、如图，已知△ABC 中，D 为BC 中点，AD=AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 交于E ，EC 与AD 相交于点F ，△ABC 与△FCD 相似吗？请说明理由；32、已知：如图所示，D 是AC 上一点，BE//AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。
则BF 是FG 、EF 的比例中项吗？请说明理由33、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S.34、如图，在中,过点B 作BE ⊥CD,垂足为E,连结AE,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF 的长.35、如图,已知点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.（1）求证:BE ·AD=CD ·AE ；（2）根据图形特点,猜想BCDE可能等于哪两条线段的比（只需写出图A DEBB C D A ECDA FE OB C DA E F45A EFB C A CEFDB2文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑.形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论. 36、如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,M 是CD 上的点,DH ⊥BM 于H,DH 的延长线交AC 的延长线于E.求证:（1）△AED ∽△CBM ；（2）AE ·CM=AC ·CD. 37、已知,如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,且AD=AC,DE ⊥BC 交AB 于点E,EC 与AD 相交于点F.（1）求证:△ABC ∽△FCD ；（2）若S △FCD =5,BC=10,求DE 的长. 38、已知：如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，且CD=2AD ，AE ⊥BC 于E, 若BC=13,△BDC 的面积是39, 求AE 的长。
39、如图,正方形ABCD 的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN 的两端在BC 、CD 上,若△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似,求CM 的长. 40、如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 为CB 延长线上一点,E 为BC 延长线上点,且满足AB 2=DB ·CE.（1）求证:△ADB ∽△EAC ；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE 的度数 41、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°D 为BC 的中点,AE ⊥AD,AE 交CB 的延长线于点E.（1）求证:△EAB ∽△ECA ；（2）△ABE 和△ADC 是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件, △ABE 和△ADC 一定相似. 42、如图，已知：DEBCAE AC AD AB ==，求证：BD AC CE AB ⋅=⋅ 43、如图，△ABC 中，三条内角平分线交于D ，过D 作AD 垂线，分别交AB 、AC 于M 、N ，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。
44、如图18—97，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC ＝b ，CB ＝a ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ACB 与△CBD 相似?(6分) 45、如图18—102，已知：AB⊥DB 于B 点，CD⊥DB 于D 点，AB=6，CD ＝4，BD ＝14，问：在DB 上是否存在P 点，使以C 、D 、P 为顶点的三角形与以P 、B 、A 为顶点的三角形相似?如果存在，求DP 的长；如果不存在，说明理由．(10分)46、如图ΔABC 中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1cm/s 的速度移动.若P 、Q 分别同时从B 、C 出发,经过多少时间以C 、P 、Q 为顶点的三角形与以C 、B 、A 为顶点的三角形相似．．? 9分 47、如图，AD 为△ABC 的高，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，试判断∠ADF与∠AEF 的大小，并说明理由，48、已知:如图,CE 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP. 求证:CE 2=ED ·EP. 49、如图,在正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,EF ⊥AE. 求证:AE 2=AD ×AF. [提示：延长AE 、BC 交于G ，先证ΔADE ≌ΔGCE ，ΔGCE ∽ΔAEF] 50、已知: 如图，四边形ABCD 中，CB ⊥BA 于B ，DA ⊥BA 于A ，BC=2AD ，DE ⊥CD 交AB 于E ，连结CE ，求证：DE 2=AE •CE A B CE DM H K AB D ECF B CDM N E A AB CE D AB D E CE D CA。