运筹学试题库

运筹学试题库
一、多项选择题
1、下面命题正确的是（）.
A、线性规划的标准型右端项非零；
B、线性规划的标准型目标求最大；
C、线性规划的标准型有等式或不等式约束；
D、线性规划的标准型变量均非负。

2、下面命题不正确的是(）.
A、线性规划的最优解是基本解；
B、基本可行解一定是基本解；
C、线性规划有可行解则有最优解；
D、线性规划的最优值至多有一个。

3、设线性规划问题（P)，它的对偶问题（D），那么（）.
A、若（P）求最大则（D）求最小;
B、（P）、(D)均有可行解则都有最优解；
C、若(P)的约束均为等式,则（D）的所有变量均无非负限制；
D、（P)和（D）互为对偶。

4、课程中讨论的运输问题有基本特点()。

A、产销平衡；
B、一定是物品运输的问题;
C、是整数规划问题；
D、总是求目标极小.
5、线性规划的标准型有特点（）。

A、右端项非零；
B、目标求最大；
C、有等式或不等式约束；
D、变量均非负。

6、下面命题不正确的是（).
A、线性规划的最优解是基本可行解；
B、基本可行解一定是基本解；
C、线性规划一定有可行解；
D、线性规划的最优值至多有一个。

7、线性规划模型有特点（）。

A、所有函数都是线性函数；
B、目标求最大；
C、有等式或不等式约束；
D、变量非负.
8、下面命题正确的是(）.
A、线性规划的最优解是基本可行解；
B、基本可行解一定是最优；
C、线性规划一定有可行解；
D、线性规划的最优值至多有一个。

9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（)。

A、（P)有可行解则(D）有最优解;
B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解；
C、（P）可行（D)无解,则（P）无有限最优解;
D、（P）(D）互为对偶。

10、运输问题的基本可行解有特点（）。

A、有m＋n－1个基变量;
B、有m+n个位势;
C、产销平衡；
D、不含闭回路。

二、简答题
(1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解?
（2)线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3)图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？
(4）什么是线性规划的可行解，基本解,基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？
（5）对于任意基可行解,为什么必须把目标函数用非基变量表示出来?什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？
（6)确定换出变量的法则是什么?违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？
(8）大M 法与两阶段法的要点是什么?两者有什么共同点?有什么区别？ (9）松弛变量与人工变量有什么区别?试从定义和处理方式两方面分析。

（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么?
（11）如何在以B 为基的单纯形表中，找出B －
1?该表是怎样由初始表得到的？ （12）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律? （13）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解? （14）叙述互补松弛定理及其经济意义。

(15）什么是资源的影子价格？它在经济管理中有什么作用?
(16）对偶单纯形法有哪些操作要点?它与单纯形法有哪些相同,哪些地方有区别？ （17）灵敏度分析主要讨论什么问题？分析的基本思路是什么？四种基本情况的分析要点是什么？
三、模型建立题
（1)某厂生产A ,B ，C 三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表3-1所示：
最大的模型。

(2）某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻井费用最小。

若10个井位的代号为12310,,s s s s ，相应的钻井费用为1210,,,c c c ，并且井位
选择上要满足下列限制条件:
①或选择1s 和7s ，或选择钻探8s ；
②选择了3s 或4s 就不能选5s ，或反过来也一样；
③在5678,,,s s s s 中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。

（3）某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学.已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表3–2所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解.
表3–2
（4）一货船，有效载重量为24吨，可运输货物重量及运费收入如表3-3所示，现货物2、4中优先运2，货物1、5不能混装，试建立运费收入最多的运输方案。

市出发，到其他几个城市推销商品，规定每个城市均需到达且只到达一次，然后回到原出发城市。

已知城市i 和城市j 之间的距离为d ij 问商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程最短.试对此问题建立整数规划模型。

四、计算及分析应用题
(1）某公司打算利用具有下列成分（见表4-1）的合金配制一种新型合金100公斤,新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。

表4-1
如何安排配方,使成本最低?
(2）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表4—2
假定每人上班后连续工作8小时,试建立使总人数最少的计划安排模型。

能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解?
(3)某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图4-1所示。

仓库现有长6。

5米的钢材。

如何下料，使消耗的钢材最少？
图4-1
（4)用图解法求下列线性规划的最优解：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥+≥++=0,425.134 12 64 min )1(2121212121x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≥+-≤++=0
,82 5 1032 44 max )2(21212
12121x x x x x x x x x x z
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤+-≤++=0
,6
054 4 22232 96 max )3(2122
1212121x x x x x x
x x x x x z ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≥++=0,1
12
3
4 3 max )4(2
1212121x x x x x x x x z
（5） 把下列线性规划化为标准形式：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤=-++-≥-+≤-+-+-=无约束
432143213214313210,,01 32 21 2 min )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥+-≤++=无约束2112
1212
1,02 1 8
2 32 max )2(x x x x x x x x x z
（6） 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥=++=+=++=5,,1 ,018
2 312 2 48
53 max 52142312
1 j x x x x x x x x x x z j
(7) 求下列线性规划的解： （1)
（2）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤≤+=0
,182 36 8 2 53 max 21212121x x x x x x x x z ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤++=0,1 4
2 42 max 2
1212121x x x x x x x x z
（3)
（4）
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+--≥+-+=0
,122 2 max 2121212
1x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤≥≤--≤++≤+-++=0
,0,02010260
3 2 max 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x x x x z
(8) 利用大M 法或两阶段法求解下列线性规划： （1） （2）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥-≤++=0
,2172 23 max 212121
2121x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=-+≤+≥++--=0
,,54 218
23 2 max 32132121321321x x x x x x x x x x x x x x z （3）
（4)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≥++-=0
,2 6 312
34 max 2122
1212
1x x x x x x x x x z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+++≥++++++=0
,,,1223615263 343 min 4321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x z （9） 对于问题
⎩⎨
⎧≥==0
b max X AX CX z （1)设最优解为X *，当C 改为C 时,最优解为X ，则0))((*
≥--X X C C 。

（2）如果X 1，X 2均为最优解,则对于α∈［0,1］，αX 1+（1－α）X 2均为最优解。

(10）. 表4—2是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x 4，x 5，x 6是松弛变量。

（1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子. (2)要使上表成为最优表，a 应满足什么条件？ （3)何时有无穷多最优解? （4）何时无最优解？
（5）何时应以x 3替换x 1？
(11) 已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表4—3，请把表中空白处的
数字填上，并指出最优基B 及B －
1。

（12)。

某个线性规划的最终表是表4—4
表4-4
初始基变量是1，4,5.
（1）求最优基B =（P 1，P 2，P 3）； (2）求初始表.
(13）. 写出下列线性规划的对偶问题:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≥=+-≥-+-≤+++-=无约束3213213
21321321,0,0131
4242 3 max )1(x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≥≥++=++-≤--+++-=无约束
43214313
2143214321,,0,012
22 242 32 min (2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x z
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=≤+==≥+=≥+===≤=∑∑∑∑====n
n j x n n j x n j x m
m i b x a m m i b x a m i b x a x c z j
j j i n
j j ij i n
j j ij i n
j j ij n
j j
j ,,1,0,,1,,,1,0,,1,,,1,,,2,1, max (3)22112
12
11
111
无约束 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====n
j m i x n
j b x m i a x x c z ij j m i ij i n
j ij m i n
j ij
ij ,,1 ,,10,,1 ,,1
min (4)1
111
（14） 已知线性规划
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥++≥++++=0,, min 3
212
3232221211
313212111332211x x x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z (1）写出它的对偶问题;
（2）引入松弛变量,化为标准形式,再写出对偶问题； （3）引入人工变量,把问题化为等价模型：
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=+-++=+-+++-++=0
,,
)( max 71
2
7532322212116431321211176332211x x b x x x a x a x a b x x x a x a x a x x M x c x c x c z 再写出它的对偶问题。

试说明上面三个对偶问题是完全一致的。

由此，可以得出什么样的一般结论？ （15） 利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤≥≥+--≥++-+-=0
,0,03224
2 max 321
321321321x x x x x x x x x x x x z （16). 已知表4—5是某线性规划的最优表，其中x 4，x 5为松弛变量，两个约束条件
为≤型.
表4-5
(1）求价值系数c j 和原线性规划； （2）写出原问题的对偶问题； （3）由表4—5求对偶最优解. (17） 已知线性规划问题
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧=≥≥+≥+≥+++≥+++++=4
,3,2,1,02 2 633 2 6368 min 314343214214321j x x x x x x x x x x x x x x x x z j
（1）写出对偶问题;
（2）已知原问题的最优解为X *=（1，1，2，0）T ，求对偶问题的最优解。

（18） 已知线性规划
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=+-≥++≤--+-=无约束
3213213
21321321,0,41
632532 34 max x x x x x x x x x x x x x x x z 的最优解为X *=（0，0,4)T 。

（1）写出对偶问题； （2）求对偶问题最优解。

(19) 设线性规划问题
⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=∑∑==n j x m i b x a x c z j
i n
j j ij n
j j
j ,,2,1 ,0,,2,1 max 1
1
（1） 的m 种资源的影子价格
为y 1*，y 2*,…，y m *。

线性规划
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≤>≤=∑∑∑===n j x m i b x a b x a x c z j i n j j ij n
j j j n
j j
j ,,2,1 ,0,,2
max 1
1111
λλλ（2） 与（1）是等价的，两者有相同的最优解，请说明（2.)的m 种资源的影子价格为（y 1*/
λ，y 2＊,…，y m ＊
）,并指出这一结果的经济意义.
（20）。

已知线性规划
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥≥+-+≥-++--+=0
,,0,4233
22 2812 min 432
1432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z
（1）写出对偶问题，用图解法求最优解；
（2）利用对偶原理求原问题最优解。

(21) 线性规划
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤+++-=0,,426 2 max 3
2121321321x x x x x x x x x x x z
的最优单纯形表如表4—6所示。

（1）2的系数c 2在何范围内变化，最优解不变?若c 2=3,求新的最优解； （2）b 1在何范围内变化,最优基不变？如b 1=3，求新的最优解； （3）增加新约束 －x 1+2x 3≥2，求新的最优解； (4)增加新变量x 6，其系数列向量P 6=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-21，价值系数c 6=1，求新的最优解。

（22） 某厂生产甲、乙、丙三种产品，有关资料如表4-7所示。

表4—7 （1）建立使总产值最大的线性规划模型;
(2）求最优解，并指出原料A ,B 的影子价格；
（3)产品甲的价格在什么范围内变化，最优解不变？
（4）若有一种新产品，其原料消耗定额为：A 为3单位，B 为2单位，价格为2.5单位，求新的最优计划。

;
（5)已知原料B 的市场价为0。

5单位，可以随时购买，而原料A 市场无货.问该厂是否应购买B ，购进多少为宜？新的最优计划是什么？
（6）由于某种原因，该厂决定暂停甲产品的生产，试重新制定最优生产计划。

(23) 分析下列参数规划中，当t 变化时,最优解的变化情况.
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≤+≤≤-++=0
,1823122 4
)5()23( max (1)21212121x x x x x x x t x t z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+≤+=0
,5 242615 5
2 max (2)21212
1
221x x x x t x x x x x z
（24）用分支定界法求解下列整数规划问题
（1）12max z x x =+ （2）12max 23z x x =+
1212129511414123,0x x x x x x ⎧+≤⎪⎪
⎪-+≤⎨⎪⎪≥⎪⎩
且为整数12121257354930
,0x x x x x x +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩且为整数
（25）用割平面法求解下列整数规划问题
（1）123max 462z x x x =++ (2）12max 114z x x =+
12
12123123445655,,0x x x x x x x x x x -≤⎧⎪-+≤⎪⎨
-++≤⎪⎪≥⎩且为整数1212
1212124
521624,0x x x x x x x x -+≤⎧⎪+≤⎪⎨
-≤⎪⎪≥⎩且为整数
(26)用隐枚举法解下列0–1规划问题
(1)12345max 32523z x x x x x =+--+ （2)12345max 2534z x x x x x =-+-+
()12345134512
4524734381163330j x x x x x x x x x x x x x x j ++++≤⎧⎪+-+≤⎪⎨
-+-≥⎪⎪=⎩
或1=1,25()1234512345327546
24200j
x x x x x x x x x x x j ⎧-+-+≤⎪
-+-+≤⎨⎪=⎩或1=1,25
（27）用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：
791012131216171516141511121516⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
38
21038729764275842359106910⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
（28)已知下列五名运动员各种泳姿的运动成绩（各为50米)如表4—8所示，请问如何从中选择一个参加200米混合泳的接力队，使预期比赛成绩最好.
表4-8 单位:秒
所示.由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务,其余三人每人完成一项。

试确定总花费时间为最少的指派方案.
(30） 从甲、乙、丙、丁、戊五个人中挑选四人完成四项工作。

已知每人完成各项工作的时间如表4—10所示.规定每项工作只能由一个人单独去完成，每个人最多承担一项任务.又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因某种原因决定不同意承担第4项任务，在满足上述条件下,如何分配工作,使完成四项工作总的花费时间最少。

表4–10
(31） 求下列网络图从起点到终点的最短路线及长度。

（1
（2）
（32）。

用破圈法和避圈法求下图的最小生成树
(33)求下列各图的最小生成树
7 V 1
V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 12 13 11 9 19 21 5
7 10 11 8 7 4
16 ５ ２ ３
４ ２ ４ ６ １ ２ ４ ３
９ （1）
（2）
(34
（35)用标号法求图4—2中从1v 到各顶点的最短距离
（36）已知8个村镇，相互间距离如下表所示,已知1号村镇离水源最近，为5公里，
问从水源经1号村镇铺设输水管道将各村镇连接起来，应如何铺设使输水管道最短（为便于管理和维修,水管要求在各村镇处分开）.
（37)用标号法求下面网络的最大流.
V 1
V 2
V 3 V 4
V 5
V 6
(1)
V 23
(2)
V 1
V 2
V 3 V 4 V 5 V 6
V 7 V 8 V9 V 10 V 11
2
6
3 5 7
5 2
1 3
7 2
3 4
1
4 3
1
6 7 3
8
4 图4—2
4
8
(38)求下列网络的最小费用最大流。

括号内的两个数字，前一个是单位流量的费用，后一个是该弧的流量。

（2）
(39）求解图4—5中所示的中国邮递员问题（A 点是邮局所在地）
A
图4—5
V 1V t
图4——3 V t (1)
V 1 V t
(5,6) (9,2) (3,2) (4,1)
(3,4) (4,19) (2,3) (1,1) 图4——4
(40）如图4—6，发点S 1，S 2分别可供应10和15个单位，收点T 1和T 2可接收10个和25个单位，求最大流,边上的数为j i c 。

（41） 指出图4—7中所示网络图的错误，若能够改正，试予以改正。

(42） 根据表4—11表4—12，所示的作业明细表，绘制网络图。

S 1
S 2
T 1 T 2
图4——6
图4—7
（43）已知图4-8所示的网络图，计算各事项的最早与最迟时间。

图4—8
(44)试画出表4-13、表4—14的网络图,并为事项编号。

表4-13
要求：（1）绘制网络图；
（2）计算各工序的最早开工、最早完工、最迟开工、最迟完工时间及总时差，并指出关键工序.
（3)若要求工程完工时间缩短2天，缩短哪些工序时间为宜.
（46） 设有如图4—9的网络图，计算时间参数，并求出关键路线.
（
47）如图4—10所示的网络图，计算各事项的最早时间和最迟时间，各工序的最早开始、最早结束、最迟开始及最迟结束时间，计算各工序的总时差和单时差，找出关键路线.
（48）某项工程各工序的工序时间及所需人数如表4-15所示，现有人数为10人，试确定工程完工时间最短的各工序的进度计划。

表4—15
图4—9 图4—10
（49)已知下列网络图有关数据如表4-16，设间接费用为15元／天，求最低成本日程。

表4-16
（50）生产某种产品，生产过程所经过的工序及作业时间如表4—17所示，作业时间按常数和均值计算，试绘制这一问题的随机网络图，并假设生产过程经过工序G 即为正品，试计算产品的成品率与产品完成的平均时间。