河南省信阳市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．命题“∀x∈R，3x＞2x”的否定是（）
A．∀x∈R，3x≤2x B．∀x∉R，3x＜2x
C．∃x0∈R，3x0≤2x0D．∃x0∉R，3x0＜2x0
2．用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6﹣x2+2在x=2015时的值，需要进行乘法运算和加减法次数分别是（）
A．6，2 B．5，3 C．4，2 D．8，2
3．“x≠1”是“x2+2x﹣3≠0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如果甲、乙在围棋比赛中，甲不输的概率为60%，甲获胜的概率为50%，则甲、乙和棋的概率为（）
A．50% B．40% C．20% D．10%
5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．或2 D．或2
6．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）
A．0 B．1 C．9 D．18
7．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点K，点A在C上，若△AFK的面积为4，则||=（）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．已知一组数据2（x1﹣1），2（x2﹣1），…，2（x2015﹣1）的平均数为6，标准差为4，则新数据x1，x2，…，x2015的平均数与标准差分别为（）
A．4，1 B．3，2 C．4，2 D．3，1
9．运行下面程序，输出的结果是（）
A．47 B．48 C．102 D．123
10．在学校组织的“国学经典”朗诵比赛中，5位评委对甲、乙两名同学的评分如茎叶图所示（满分100分），若甲同学所得评分的众数为84，则甲同学所得评分的平均数不大于乙同学所得评分的平均数的概率为（）
A．B．C．D．
11．如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设M是底面正方形ABCD内的一个动点，且满足直线C1D 与直线C1M所成的角等于30°，则以下说法正确的是（）
A．点M的轨迹是圆的一部分
B．点M的轨迹是椭圆的一部分
C．点M的轨迹是双曲线的一部分
D．点M的轨迹是抛物线的一部分
12．点B，F分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点与左焦点，过F作x轴的垂线与椭
圆交于第二象限的一点P，H（，0）（c为半焦距），若OP∥BH（O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13．先对112名学生随机地从1～112编号，用系统抽样方法抽取一个容量为16的样本，按编号平均分成16组（1～7，8～14，15～21，…，106～112），若第12组抽到的编号为82，则第4组中抽出的编号为．
14．已知抛物线C：y2=8x的焦点F与双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重
合，C的准线与E交于A，B，若||=6，则E的方程为．
15．若八进制数等于二进制数，则a= ，b= ．16．在平面直角坐标系xOy中，从区域Ω：内随机抽取一点P，则P点到坐标原点的距离大于的概率为．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．命题p：对任意实数x，都有x2+2ax+a≥0恒成立；命题q：x﹣4y﹣a=0与抛物线x2=4y 有交点，若“￢（p∨q）”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．登山运动是一项有益身心健康的活动，但它受山上气温的限制．某登山爱好者为了了解某山上气温y（℃）与相应山高x（km）之间的关系，随机统计了5次山上气温与相应山高，如下表：
气温y（℃）18 16 10 4 2
山高（km） 2.6 3 3.4 4.2 4.8
（1）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程： =bx+；
（2）若该名登山者携带物品足以应对山上﹣2.4℃的环境，试根据（1）中求出的线性回归方程预测，这名登山者最高可以攀登到多少千米处？
（参考公式： =， =﹣）
19．如图，在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=，BC=2，AA1=，点P 为CC1的中点．
（1）求证：A1C⊥平面ABP；
（2）求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．
20．某校为了调查学生身体生长发育情况，随机抽取200名学生测得它们的身高（单位：cm），并按照区间[155，160），[160，165），[165，170），[170，175），[175，180）分组，得到
样本的频率分布直方图．由于操作不慎，区间[165，170），[170，175），[175，180）的频率分布直方图被破坏了，如图所示．已知频率分布直方图中[165，170），[170，175），[175，180）间的矩形的高依次成等差数列，并且身高在[170，175）内的人数是身高在[175，180）的人数的2倍．
（1）求身高分别在区间[165，170），[170，175），[175，180）的人数，并将频率分布直方图补充完整；
（2）用分层抽样的方法从身高在区间[155，160），[170，175），[175，180）中抽取7人，现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，求身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．
21．已知点A（1，0），点P是圆F：（x+1）2+y2=20上一动点，线段AP的垂直平分线交FP 于点M，记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点B（0，），D（﹣4，0），若直线l：y=kx+与曲线C有两个不同的交点G 和H，是否存在常数k，使得向量（+）⊥（O为坐标原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
请考生在22题、23题、24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线，与CD，DB 的延长线分别交于点P，Q．
（1）证明：AD2=AB•DP；
（2）若PD=3AB=3，BQ=，求弦CD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为+y2=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴，并取相同的单位长度建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ=sinθ．
（1）写出曲线C1的参数方程，并求出C2的直角坐标方程；
（2）若P，Q分别是曲线C1，C2上的动点，求||的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤1的解集；
（2）若不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，求a的取值范围．
2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．命题“∀x∈R，3x＞2x”的否定是（）
A．∀x∈R，3x≤2x B．∀x∉R，3x＜2x
C．∃x0∈R，3x0≤2x0D．∃x0∉R，3x0＜2x0
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，3x＞2x”的否定是：∃x0∈R，3x0≤2x0．
故选：C．
2．用秦九韶算法求多项式f（x）=2x6﹣x2+2在x=2015时的值，需要进行乘法运算和加减法次数分别是（）
A．6，2 B．5，3 C．4，2 D．8，2
【考点】秦九韶算法．
【分析】由秦九韶算法的原理，可以把多项式f（x）=2x6﹣x2+2变形计算出乘法与加法的运算次数．
【解答】解：∵f（x）=（（（（（2x）x）x）x﹣1）x）x+2，
∴乘法要运算6次，加减法要运算2次．
故选：A．
3．“x≠1”是“x2+2x﹣3≠0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】x2+2x﹣3≠0，解得x≠1，﹣3．即可判断出结论．
【解答】解：x2+2x﹣3≠0，解得x≠1，﹣3．
∴“x≠1”是“x2+2x﹣3≠0”的必要不充分条件．
故选：B．
4．如果甲、乙在围棋比赛中，甲不输的概率为60%，甲获胜的概率为50%，则甲、乙和棋的概率为（）
A．50% B．40% C．20% D．10%
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】由条件利用互斥事件的概率加法公式，求得甲、乙和棋的概率．
【解答】解：甲不输的概率，即甲获胜或甲与乙和棋的概率为60%，
而甲获胜的概率为50%，故甲、乙和棋的概率为60%﹣50%=10%，
故选：D．
5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．或2 D．或2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，推出ab关系，然后求解离心率．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），
可得，即，可得，解得e=．
故选：A．
6．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）
A．0 B．1 C．9 D．18
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件
y=0，退出循环，输出b的值为9．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=243，b=45
y=18，
不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9
不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0
满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．
故选：C．
7．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点K，点A在C上，若△AFK的面积为4，则||=（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】可求出焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，从而得到|KF|=2，这样根据△AFK的面积为4便可得到△AFK底边KF的高为4，从而得出点A的坐标为（4，4），根据两点间距离公式便可得出的值．
【解答】解：如图，焦点F（1，0），准线l：x=﹣1；
∴|KF|=2；
∵S△AFK=4；
∴△AFK底边KF上的高为4，即A点的纵坐标为4；
∴A点的横坐标为4；
∴A（4，4）；
∴．
故选：B．
8．已知一组数据2（x1﹣1），2（x2﹣1），…，2（x2015﹣1）的平均数为6，标准差为4，则新数据x1，x2，…，x2015的平均数与标准差分别为（）
A．4，1 B．3，2 C．4，2 D．3，1
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【分析】利用平均数和方差公式的计算公式求解．
【解答】解：∵数据2（x1﹣1），2（x2﹣1），…，2（x2015﹣1）的平均数为6，
设数据数据x1，x2，…，x2015的平均数为a，
则2a﹣2=6，解得：a=4，
∵数据2（x1﹣1），2（x2﹣1），…，2（x2015﹣1）的标准差是4，
设数据数据x1，x2，…，x2015的标准差是b，
则22b4=162，解得：b=2
故选：C．
9．运行下面程序，输出的结果是（）
A．47 B．48 C．102 D．123
【考点】伪代码．
【分析】根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序的运行过程，如下；
A=2，B=1，A＜18，A=2+1=3，B=3+1=4；
A＜18，A=3+4=7，B=7+4=11；
A＜18，A=7+11=18，B=18+11=29；
A≥18，终止循环，输出C=18+29=47．
故选：A．
10．在学校组织的“国学经典”朗诵比赛中，5位评委对甲、乙两名同学的评分如茎叶图所示（满分100分），若甲同学所得评分的众数为84，则甲同学所得评分的平均数不大于乙同学所得评分的平均数的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先由甲同学所得评分的众数为84，则80+x=84，即x=4，再分别求出甲，乙的平均数，根据条件得到y的范围，根据概率公式计算即可．
【解答】解：由茎叶图可知，甲的评分得分为：75，80，84，80+x，93，
乙的评分得分为：73，82，80+x，80+y，90，
由甲同学所得评分的众数为84，则80+x=84，即x=4，
甲的平均分为×（75+80+84+84+93）=83.2，
乙的平均分为×（73+82+84+80+y+90）=81.8+，
∵甲同学所得评分的平均数不大于乙同学所得评分的平均数，
∴83.2≤81.8+，
解得y≥7，
∵0≤y＜10
∴甲同学所得评分的平均数不大于乙同学所得评分的平均数的概率为=，
故选：A．
11．如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设M是底面正方形ABCD内的一个动点，且满足直线C1D 与直线C1M所成的角等于30°，则以下说法正确的是（）
A．点M的轨迹是圆的一部分
B．点M的轨迹是椭圆的一部分
C．点M的轨迹是双曲线的一部分
D．点M的轨迹是抛物线的一部分
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】由题意，设正方体的棱长为1，建立坐标系，利用直线C1D与直线C1M所成的角等于30°，可得cos30°=，化简即可得出结论．
【解答】解：由题意，设正方体的棱长为1，建立坐标系，M（x，y，0），（0≤x≤1，0≤y ≤1），则=（0，﹣1，﹣1），=（x，y﹣1，﹣1），
∵直线C1D与直线C1M所成的角等于30°，
∴cos30°=，
化简可得，
∴点M的轨迹是椭圆的一部分，
故选：B．
12．点B，F分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点与左焦点，过F作x轴的垂线与椭
圆交于第二象限的一点P，H（，0）（c为半焦距），若OP∥BH（O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】依题意，可求得P（﹣c，），利用HB∥OP求得c2=ab，再利用椭圆的性质即可
求得答案．
【解答】解：依题意，作图如下：
∵F（﹣c，0）是椭圆的左焦点，PF⊥OF，
∴P（﹣c，），
∴直线OP的斜率k=；
又H（，0），B（0，b），
∴直线HB的斜率k′=．
∵HB∥OP，
∴，
∴c2=ab，又b2=a2﹣c2，
∴c4=a2b2=a2（a2﹣c2），
∴e4+e2﹣1=0，
∴e2=，
则e=，
故选：B．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13．先对112名学生随机地从1～112编号，用系统抽样方法抽取一个容量为16的样本，按编号平均分成16组（1～7，8～14，15～21，…，106～112），若第12组抽到的编号为82，则第4组中抽出的编号为26 ．
【考点】系统抽样方法．
【分析】由总体容量及组数求出间隔号，即可求出第4组中抽出的编号．
【解答】解：总体为112个个体，依编号顺序平均分成16个小组，则间隔号为7，
所以在第4组中抽取的号码为82﹣（12﹣4）×7=26．
故答案为：26．
14．已知抛物线C：y2=8x的焦点F与双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，C的准线与E交于A，B，若||=6，则E的方程为x2﹣=1 ．
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，利用抛物线C：y2=8x 的焦点F与双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，得a2+b2=4①，x=﹣2时，y=3，代入，可得﹣=1②，由①②解得a，b，即可求出E的方程．
【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，
∵抛物线C：y2=8x的焦点F与双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，
∴a2+b2=4①
x=﹣2时，y=3，代入，可得﹣=1②，
由①②解得a=1，b=，
∴E的方程为x2﹣=1．
故答案为：x2﹣=1．
15．若八进制数等于二进制数，则a= 7 ，b= 1 ．
【考点】进位制．
【分析】由题意知1×82+8×2+a=1×26+b×24+1×22+2+1，从而解得．
【解答】解：由题意知，
1×82+8×2+a=1×26+b×24+1×22+2+1，
即64+16+a=64+16b+7，
故b=1，a=7，
故答案为：7，1．
16．在平面直角坐标系xOy中，从区域Ω：内随机抽取一点P，则P点到坐标
原点的距离大于的概率为1﹣．
【考点】几何概型；简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，（△AOB内部），
则P点到坐标原点的距离大于的部分为△AOB内圆外部分，
则B（1，1），△AOB的面积S==1，
扇形的面积S==，
则△AOB内圆外部分的面积S=1﹣，
则对应的概率P==1﹣，
故答案为：1﹣．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．命题p：对任意实数x，都有x2+2ax+a≥0恒成立；命题q：x﹣4y﹣a=0与抛物线x2=4y 有交点，若“￢（p∨q）”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，求出a的范围即可．【解答】解：若p是真命题，则△=（2a）2﹣4a≤0，解得：0≤a≤1，
若q是真命题，则，得：x2﹣x+a=0有实数解，
∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，解得：a≤，
由￢（p∨q）”为假命题，“p∧q”为假命题，
得p，q一真一假，
p真q假时，＜a≤1，
p假q真时，a＜0，
综上，a∈（﹣∞，0）∪（，1]．
18．登山运动是一项有益身心健康的活动，但它受山上气温的限制．某登山爱好者为了了解某山上气温y（℃）与相应山高x（km）之间的关系，随机统计了5次山上气温与相应山高，如下表：
气温y（℃）18 16 10 4 2
山高（km） 2.6 3 3.4 4.2 4.8
（1）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程： =bx+；
（2）若该名登山者携带物品足以应对山上﹣2.4℃的环境，试根据（1）中求出的线性回归方程预测，这名登山者最高可以攀登到多少千米处？
（参考公式： =， =﹣）
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得到回归方程；
（2）把y=﹣2.4代入回归方程求出x的估计值．
【解答】解：（1）=×（2.6+3+3.4+4.2+4.8）=3.6， =（18+16+10+4+2）=10．
=（﹣1）×8+（﹣0.6）×6+（﹣0.2）×0+0.6×（﹣6）+1.2×（﹣8）=﹣24.8．
=（﹣1）2+（﹣0.6）2+（﹣0.2）2+0.62+1.22=3.2．
∴==﹣7.75， =10﹣（﹣7.75）×3.6=37.9．
∴y关于x的线性回归方程是=﹣7.75x+37.9．
（2）当y=﹣2.4时，有﹣2.4=﹣7.75x+37.9，解得x=5.2．
所以这名登山者最高可以攀登到5.2千米处．
19．如图，在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=，BC=2，AA1=，点P 为CC1的中点．
（1）求证：A1C⊥平面ABP；
（2）求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥A1C，再推导出A1C⊥AP，由此能证明A1C ⊥平面ABP．
（2）以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．
【解答】证明：（1）在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，
∵AB=1，AC=，BC=2，AA1=，点P为CC1的中点，
∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，
又AA1∩AC=A，∴AB⊥A1C，
在矩形ACC1A1中，A1C==3，AP==，
在Rt△A1CA中，sin∠A1CA==，
在Rt△PAC中，cos=，
∴sin∠A1CA=cos∠PAC，∴∠PAC+∠A1CA=90°，
∴A1C⊥AP，
∵AP∩AB=A，∴A1C⊥平面ABP．
解：（2）由（1）知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，
以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），P（0，，），=（1，0，0），，
设平面A1B1P的法向量为=（x，y，z），
则，
令y=1，得=（0，1，），
由（1）知平面ABP的一个法向量为=（0，﹣，），
∴cos＜＞===，
∴sin＜＞==．
即平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值为．
20．某校为了调查学生身体生长发育情况，随机抽取200名学生测得它们的身高（单位：cm），并按照区间[155，160），[160，165），[165，170），[170，175），[175，180）分组，得到样本的频率分布直方图．由于操作不慎，区间[165，170），[170，175），[175，180）的频率分布直方图被破坏了，如图所示．已知频率分布直方图中[165，170），[170，175），[175，180）间的矩形的高依次成等差数列，并且身高在[170，175）内的人数是身高在[175，180）的人数的2倍．
（1）求身高分别在区间[165，170），[170，175），[175，180）的人数，并将频率分布直方图补充完整；
（2）用分层抽样的方法从身高在区间[155，160），[170，175），[175，180）中抽取7人，现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，求身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）先求出身高在区间[165，180]的频率，由此能求出身高分别在[165，170），[170，175），[175，180]的人数，并能将频率分布直方图补充完整．
（Ⅱ）应从区间[155，160），[170，175），[175，180]内分别抽取的人数分别为1人，4人，2人，身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的对立事件是身高在区间[170，175）中没有人进行问卷调查，由此利用对立事件概率计算公式能求出身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率．
【解答】解：（Ⅰ）身高在区间[165，180]的频率为1﹣5×（0.01+0.07）=0.6，
设身高在区间[165，170），[170，175），[175，180）内的频率分别为a，b，c，
由题意得，解得a=0.3，b=0.2，c=0.1，
∴身高分别在[165，170），[170，175），[175，180]的人数为60，40，20．
将频率分布直方图补充完整，如右图．
（Ⅱ）身高在[155，160），[170，175），[175，180]的人数分别为10，40，20，
∴应从区间[155，160），[170，175），[175，180]内分别抽取的人数分别为1人，4人，2人，
现在从这抽出的7人中再抽取2人进行问卷调查，基本事件总数n==21，
身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的对立事件是身高在区间[170，175）中没有人进行问卷调查，
∴身高在区间[170，175）中至少有1人进行问卷调查的概率：
p=1﹣=．
21．已知点A（1，0），点P是圆F：（x+1）2+y2=20上一动点，线段AP的垂直平分线交FP 于点M，记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点B（0，），D（﹣4，0），若直线l：y=kx+与曲线C有两个不同的交点G 和H，是否存在常数k，使得向量（+）⊥（O为坐标原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）求得F（﹣1，0），圆F的半径，运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程；
（2）将直线y=kx+代入椭圆4x2+5y2=20，设G（x1，y1），H（x2，y2），运用韦达定理和判别式，假设（+）⊥，运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得k，即可判断．【解答】解：（1）由题意可得F（﹣1，0），圆F的半径为2，
|MF|+|MA|=|MF|+|MP|=|FP|=2＞|FA|=2，
由椭圆的定义可得，M的轨迹为以F，A为焦点，长轴长为2的椭圆，
即有a=，c=1，b==2，
则曲线C的方程为+=1；
（2）将直线y=kx+代入椭圆4x2+5y2=20，可得
（4+5k2）x2+10kx+5=0，①
设G（x1，y1），H（x2，y2），可得x1+x2=﹣，
+=（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2=，
由B（0，），D（﹣4，0），可得=（﹣4，﹣），
若（+）⊥，即有（+）•=0，
即有﹣4（x2+x1）﹣（y1+y2）=0，
可得﹣4•（﹣）﹣=0，
解得k=，
当k=时，方程①的判别式为500k2﹣20（4+5k2）=0不满足题意．
故不存在这样的常数k，使得（+）⊥．
请考生在22题、23题、24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-1：几几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线，与CD，DB 的延长线分别交于点P，Q．
（1）证明：AD2=AB•DP；
（2）若PD=3AB=3，BQ=，求弦CD的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由已知条件推导出△DAP∽△ABD，从而，由此能证明AD2=AB•DP．
（2）推导出DQ=3，QA=，PA=2，由此能求出CD．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠QAB=∠ADB，
∵QA是⊙O的切线，∴∠QAB=∠ADB，
∴∠APD=∠ADB，
又PA是⊙O的切线，∴∠PAD=∠DBA，
∴△DAP∽△ABD，∴，
∴AD2=AB•DP．
解：（2）∵AB∥CD，且PD=2AB，∴，
由BQ=，知DQ=3，
∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QB=6，∴QA=，
由，知PA=2，
又PA是⊙O的切线，∴PA2=PD•PC，
即24=3PC，解得PC=8，
∴CD=8﹣3=5．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为+y2=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴，并取相同的单位长度建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ=sinθ．
（1）写出曲线C1的参数方程，并求出C2的直角坐标方程；
（2）若P，Q分别是曲线C1，C2上的动点，求||的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆性质能示出曲线C1的参数方程；由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，能求出C2的直角坐标方程．
（2）设P（），曲线C2的圆心为C2，由C2（0，），由此利用两点间距离公式能求出|PQ|的取值范围．
【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为+y2=1，
∴曲线C1的参数方程为，α为参数，
∵曲线C2的极坐标方程为2ρ=sinθ，
由2ρ=sinθ，得2ρ2=ρsinθ，∴，
∴C2的直角坐标方程式x2+（y﹣）2=．
（2）设P（），曲线C2的圆心为C2，
由（1）知C2（0，），
∴|PF2|==
==，
当sinα=1时，|PC2|取最小值，此时|PQ|min==，
当sinα=﹣时，|PC2|取得最大值，
此时|PQ|max=+=，
综上知，|PQ|的取值范围为[，]．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤1的解集；
（2）若不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．
【分析】（1）通过讨论x的范围得到不等式组，解出即可；（2）法一：求出f（x）的分段函数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
法二：求出f（x）的分段函数，通过讨论x的范围得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）a=2时，f（x）≤1可化为2|x+1|﹣|x﹣2|﹣1≤0，
∴或或，
解得：﹣5≤x≤，
故不等式的解集是：{x|﹣5≤x≤}；
（2）法一：由a＞0，得f（x）=，
要使不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，
则f（x）在区间[2，+∞）上的最小值f（x）min≤5，
当0＜a＜2时，f（x）min=4+a≤5，解得：0＜a≤1，
a≥2时，f（x）min=8﹣a≤5，解得：a≥3，
∴a的范围是（0，1]∪[3，+∞）；
法二：由a＞0，得f（x）=，
要使不等式f（x）≤5在区间[2，+∞）上有解，
只需3x+2﹣a≤5，﹣1＜x＜a①或x+2+a≤5，x≥a②在[2，+∞）有解，
由①得：x≤1+，﹣1＜x＜a，即，即a≥3，
由②式得：x≤3﹣a，x≥a，要使②式在区间[2，+∞）有解，
则，即0＜a≤1，
综上，a的范围是（0，1]∪[3，+∞）．。