中考数学几何问题综合专题复习1.旋转-线段

1.旋转—线段

1.在ABC V 中，AB AC =，

060BAC αα∠=︒︒（＜＜），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ． （1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE V 的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．

解析：（1） 60ABD ABC ∠=∠-︒Q 又18019022

ABC αα︒-∠==︒-Q 1190603022

ABD αα∴∠=︒--︒=︒- （2）ABE V 是等边三角形

证明：连接AD 、CD

∵60DBC ∠=︒，DB BC =

∴BCD V 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC =

又∵AB AC =，AD AD =，∴ABD ACD V V ≌

∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒

∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠

又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒

∴ABD EBC V V ≌，∴AB EB =

∴ABE V 是等边三角形

（3）解：∵BDC V 是等边三角形，∴60BCD ∠=︒

∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒

又∵45DEC ∠=︒，∴EC DC BC ==, ∴1801801501522

BCE EBC CEB ︒-∠︒-︒∠=∠===︒,

∵ 302

EBC ABD a ∠=∠=︒-, ∴30α=︒.

2.在ABC V 中，BA BC =，BAC

α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．

（1）若60α=︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数；

（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．

解析：

（1）

补全图形，见图1；30CDB ∠=︒

（2）猜想：90CDB α∠=︒-

证明：如图2 ，连结AD ，PC

∵BA BC =，M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥

∵点D ，P 在直线BM 上，∴PA PC =，DA DC =

又∵DP 为公共边，∴ADP CDP V V ≌

∴DAP DCP ∠=∠，ADP CDP ∠=∠

又∵PA PQ =，∴PQ PC =

∴DCP PQC ∠=∠，DAP PQC ∠=∠

∵180PQC DQP ∠+∠=︒，∴180DAP DQP ∠+∠=︒

∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠=︒

∴2APQ α∠=，∴1802ADQ α∠=︒- ∴9012

CDB ADQ α∠=∠=︒- （3）4560α

︒︒＜＜ 提示：由（2）知90CDB α∠=︒-，且PQ QD =

QPD CDB ∴∠=∠

∴21802PQC QPD CDB CDB PAD PCQ α∠=∠+∠=∠=︒-=∠=∠

∵点P 不与点B ，M 重合，∴MAD PAD BAD ∠∠∠＜＜ ∴18022ααα︒-＜＜，∴4560α

︒︒＜＜

3.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，

C 重合）

． 第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；

第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；

依此操作下去…

（1）图2中的EFD V 是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段EF 的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．

①请判断四边形EFGH 的形状为____________，此时AE 与BF 的数量关系是_________；

②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围． （3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

解析：

（1）由旋转可得：EF FD DE == DEF ∴V 为等边三角形

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC

AB ===，90A B C ∠=∠=∠=︒ ∵ED FD =，∴ADE CDF V V ≌

∴AE CF =，BE BF =

∴三角形BEF 是等腰直角三角形

设BE 的长为x ，则DE EF

==，4AE x =- 在Rt ADE V 中，2

22DE AD AE =+

∴ 2224)4()x =+-

解得1

4x =-+，24x =--（舍去）

∴EF ==-（2）①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE BF = ．理由如下：

依题意画出图形，如答图1所示：

由旋转性质可知，EF FG GH HE === ，

∴ 四边形EFGH 的形状为正方形．

12902390∠+∠=︒∠+∠=︒Q ， ，

13∴∠=∠ ．

34902390∠+∠=︒∠+∠=︒Q ， ，

24∴∠=∠ ．

在AEH V 与BFE V 中，

1324EH EF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

AEH BFE ASA ∴V V ≌（）

AE BF ∴= ．

②利用①中结论，易证AEH BFE CGF DHG V V V V 、、、均为全等三角形，

BF CG DH AE x ∴==== ，4AH BE CF DG x ====- ．

在Rt BEF V 中，2

22EF BE BF =+ ∴2224281(60)

4y x x x x x =-+=-+（＜＜） ∵222816(228)y x x x =-+=-+

∴当2x =时，y 取得最小值8；当0x =时，16y

= ∴y 的取值范围是816y ≤＜

（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4-．

如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．

设边长EF FG x == ，则2

BF CG x == ，

422BC BF FG CG x x x =++=++=，解得：4x =-．

4.已知，四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在

CD 的同侧）

，PD PG =，DF PG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PE ，连结EF ．

（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．