18.1.2第3课时三角形的中位线

第3课时 三角形的中位线
11．如图 18－1－58，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，
F 分别是线段 AO，BO 的中点．若 AC＋BD＝24 cm，△OAB 的周
长是 18 cm，则 EF＝____3____cm.
[解析] 根据平行四边形的对角线互相平分，
得 OA＋OB＝12(AC＋BD)＝12 cm，而 C△OAB＝ OA＋OB＋AB＝18 cm，则 AB＝6 cm.
图 18－1－53
第3课时 三角形的中位线
6．三角形中位线定理是我们非常熟悉的定理． (1)请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：___________ _______________________________________________________； (2)根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证 明．
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第十八章 平行四边形
第3课时 三角形的中位线
A知识要点分类练 B规律方法综合练 C拓广探究创新练
第3课时 三角形的中位线
A知识要点分类练
知识点 1 三角形的中位线
1．在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB＝6 cm，则
DE＝____3____cm.
图 18－1－58
∵E，F 分别是线段 AO，BO 的中点，
∴EF 是△OAB 的中位线，
∴EF＝12AB＝3 cm.
第3课时 三角形的中位线
12．如图 18－1－59，△ABC 的中位线 DE＝5 cm，把△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 F 处，若 A，F 两点间的距 离是 8 cm，则△ABC 的面积为____40____cm2.
第3课时 三角形的中位线
14．[2018·大庆] 如图 18－1－61，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 CD，过点 E 作 EF∥CD 交 BC 的延长线于点 F. (1)证明：四边形 CDEF 是平行四边形； (2)若四边形 CDEF 的周长是 25 cm，AC 的长为 5 cm，求线段 AB 的长．
证明：∵D，E，F 分别是△ABC 各边的中点， 根据中位线定理知 DE∥AC，EF∥AB， ∴四边形 ADEF 为平行四边形， ∴AE 与 DF 互相平分．
图 18－1－56
第3课时 三角形的中位线
B规律方法综合练
10．[2018·海南] 如图 18－1－57，□ABCD 的周长为 36，对角线
第3课时 三角形的中位线
知识点 2 三角形的中位线与平行四边形
7．如图 18－1－54，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平
行四边形共有( C ) A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
[解析] 因为 E，F，G 分别为△ABC 的三边的中点，
所以 EF，FG，GE 均为△ABC 的中位线．由三角形中 图 18－1－54
解：∵D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点， AC＝10，BC＝14， ∴DE＝CF＝12AC＝5，DF＝CE＝12BC＝7， ∴四边形 DECF 的周长＝DE＋CF＋DF＋CE＝ 5＋5＋7＋7＝24.
图 18－1－55
第3课时 三角形的中位线
9．如图 18－1－56，已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC， AC 的中点．求证：AE 与 DF 互相平分．
图 18－1－60
第3课时 三角形的中位线
[解析] ∵A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝6，∴△A1B1C1 的周长＝7＋4＋6＝17. ∵依次连接△A1B1C1 的三边中点，得△A2B2C2，∴△A2B2C2 的周长＝12×17. ∵再依次连接△A2B2C2 的三边中点，得△A3B3C3， ∴△A3B3C3 的周长＝12×(12×17)＝212×17，…， ∴△AnBnCn 的周长＝21n7－1.
第3课时 三角形的中位线
C拓广探究创新练
16．如图 18－1－63，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，AD⊥BD， D 为垂足，E 为 AC 的中点，试说明：DE∥BC，DE＝12(BC－AB)．
图 18－1－63
第3课时 三角形的中位线
解：延长 AD 交 BC 于点 F.∵BD⊥AF， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°. ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD. 又∵BD＝BD，∴△ABD≌△FBD， ∴AB＝BF，AD＝DF. 又 E 是 AC 的中点， ∴DE 是△AFC 的中位线， ∴DE∥BC，DE＝21FC＝21(BC－BF)＝12(BC－AB)．
图 Biblioteka Baidu8－1－52
[解析] ∵AM＝AC，BN＝BC，∴AB 是△MNC 的中位线，∴AB＝12MN＝100 m.
第3课时 三角形的中位线
5．如图 18－1－53，在△ABC 中，DE 是中位线． (1)若∠ADE＝60°，求∠B 的度数； (2)若 BC＝8 cm，求 DE 的长．
解：(1)∵DE 是中位线， ∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝60°. (2)∵DE 是中位线， ∴DE＝12BC＝4 cm.
第3课时 三角形的中位线
3．如图 18－1－51，在△ABC 中，E 是 AB 的中点，F 是 AC 的 中点，∠B＝50°，则∠AEF＝___5_0____°.
图 18－1－51
第3课时 三角形的中位线
4．[2017·河北] 如图 18－1－52，A，B 两点被池塘隔开，不能直 接测量其距离．于是，小明在岸边选一点 C，连接 CA，CB，分 别延长到点 M，N，使 AM＝AC，BN＝BC，测得 MN＝200 m， 则 A，B 间的距离为___1_0_0___ m.
AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点，BD＝12，则△DOE 的周长 为( A ) A．15 B．18 C．21 D．24
图 18－1－57
第3课时 三角形的中位线
[解析] ∵□ABCD 的周长为 36，∴BC＋CD＝12×36＝18，OB＝OD＝12BD
＝12×12＝6.又∵E 是 CD 的中点，∴OE＝12BC，DE＝21CD，∴△DOE 的周 长＝OD＋OE＋DE＝6＋21BC＋21CD＝6＋12(BC＋CD)＝6＋21×18＝15. 故选 A.
第3课时 三角形的中位线
解：(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 (2)已知：如图，DE 是△ABC 的中位线． 求证：DE∥BC，DE＝21BC. 证明：延长 DE 到点 F，使 EF＝DE，连接 CF. 又∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF，∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE，∴AD∥CF. 又∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形 BCFD 是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC. 又∵DE＝EF，∴DE＝21BC.即 DE∥BC，DE＝12BC.
图 18－1－59
第3课时 三角形的中位线
[解析] 如图，连接 AF，
∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE＝10 cm. 由折叠的性质可得 AF⊥DE，∴AF⊥BC， ∴S△ABC＝12BC×AF＝21×10×8＝40(cm2)．
第3课时 三角形的中位线
13．如图 18－1－60，在△A1B1C1 中，已知 A1B1＝7，B1C1＝4， A1C1＝6，依次连接△A1B1C1 的三边中点，得△A2B2C2，再依次连 接△1A7 2B2C2 的三边中点，得△A3B3C3，…，则△AnBnCn 的周长＝ ___2_n_－1___.
第3课时 三角形的中位线
15．如图 18－1－62，O 是△ABC 内一点，连接 OB，OC，并将 AB，OB，OC，AC 的中点 D，E，F，G 依次连接，得到四边形 DEFG. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形．
图 18－1－62
第3课时 三角形的中位线
证明：∵D，G 分别是 AB，AC 的中点， ∴DG∥BC，DG＝21BC. ∵E，F 分别是 OB，OC 的中点， ∴EF∥BC，EF＝12BC， ∴DG∥EF，DG＝EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形．
2．在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，DE＝3，AB
与 AC 的和为 10，则△ABC 的周长为( B )
A．13
B．16
C．23
D．26
[解析] ∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC＝2DE＝2×3＝6.
∵AB 与 AC 的和为 10，∴△ABC 的周长＝10＋6＝16.
位线的性质，有 AE GF，BE GF，EG FC.所以四
边形 AEFG，四边形 BEGF 和四边形 EGCF 均为平行
四边形，共有 3 个．故选 C.
第3课时 三角形的中位线
8．如图 18－1－55，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，AC＝10，BC＝14，求四边形 DECF 的周长．
图 18－1－61
第3课时 三角形的中位线
解：(1)证明：∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，∴DE∥CF. 又∵EF∥CD，∴四边形 CDEF 是平行四边形． (2)∵在 Rt△ABC 中，DE 是中位线，∴DE∥BC. ∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，即 DE⊥AC. 又 AE＝CE，∴DE 垂直平分 AC，∴AD＝CD. 又 AB＝2AD，∴AB＝2CD. ∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，∴BC＝2DE. ∵2CD＋2DE＝25 cm，∴AB＋BC＝25 cm， 在 Rt△ABC 中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋(25－AB)2， 解得 AB＝13(cm)．故线段 AB 的长为 13 cm.