高中数学集合与函数概念1.3.1.2单调性与最大(小)值(第2课时)课件新人教A版必修一
高中数学第一章集合与函数的概念1.3函数的基本性质1.3.1第二课时函数的最大(小)值练习新人教A
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第二课时函数的最大(小)值【选题明细表】知识点、方法题号图象法求函数最值1,12单调性法求函数最值3，4,5,7二次函数的最值2,6,8，13函数最值的应用8，9，10,111.函数f（x）的部分图象如图所示，则此函数在[-2，2]上的最小值、最大值分别是（ C )（A）—1，3 （B）0，2 (C）—1,2 (D)3，2解析：当x∈[-2，2］时,由题图可知，x=-2时，f（x)的最小值为f(-2)=—1;x=1时，f(x）的最大值为2。
故选C.2。
函数f（x)=—x2+4x-6,x∈［0，5]的值域为( B ）(A)［—6,—2］(B)[-11，-2］（C)[-11,—6] （D)[—11,-1]解析:函数f（x)=—x2+4x-6=—（x-2)2—2,又x∈[0,5],所以当x=2时，f（x）取得最大值为-(2—2）2—2=—2;当x=5时，f（x)取得最小值为-（5—2)2-2=-11；所以函数f(x)的值域是［-11,—2].故选B。
人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时
第2课时 函数的最大值、最小值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法(重点).知识点 函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标 f (x )图象上最低点的纵坐标【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数f (x )都有最大值和最小值.( )(2)若存在实数m ，使f (x )≥m ，则m 是函数f (x )的最小值.( )(3)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小值是f (a )，最大值是f (b ).( )提示 (1)× 反例：f (x )＝x 既无最大值，也无最小值.(2)× 若使m 是f (x )的最小值，还需在f (x )的定义域内存在x 0，使f (x 0)＝m .(3)√ 由于f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，所以f (a )≤f (x )≤f (b ).故f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b ).题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值【例1】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.则f (x )的最大值、最小值分别为________，________. (2)求函数f (x )＝xx －1在区间[2，5]上的最大值与最小值.(1)解析 作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0(2)解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1， f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2（x 2－1）（x 1－1）.∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). ∴f (x )＝xx －1在区间[2，5]上是单调减函数.∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54.规律方法1.图象法求最值的步骤2.利用函数的单调性求最值的两个易错点(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行.(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值.【训练1】 已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求证f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1，4]上的最大值及最小值. (1)证明 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数.(2)解 由(1)可知，f (x )在[1，4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2，当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174.综上所述，f (x )在[1，4]上的最大值是174，最小值是2.题型二 函数最值的实际应用【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2（0≤x ≤400），80 000 （x ＞400）.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000（0≤x ≤400），60 000－100x （x ＞400）.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )＜60 000－100×400＜25 000.∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.规律方法求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系).(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题.(3)求解：选择合适的数学方法求解函数.(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测.特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.【训练2】某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨.现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解设t小时后，池中水量为y吨，则y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50，当20t＝10，即t＝5时，y min＝50，所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨.(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间.解(1)函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，故其单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞).(2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单调递减区间是(－1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，－1).【探究2】函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1，0]，[－1，2]，[2，3]上的最大值和最小值分别是什么？解函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1.(1)因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2；(2)因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，则f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1，2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2，3]上单调递增，所以f (x )在区间[2，3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.【探究3】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0，1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值.解 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12.①当t ≥12时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.规律方法 含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，再依a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x ＝－h 得出顶点的位置，再根据x 的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.课堂达标1.函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])的最小、最大值分别为( ) A.3，5 B.－3，5 C.1，5D.5，－3解析 因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5. 答案 B2.函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0，3]的值域为( ) A.[0，3] B.[－1，0] C.[－1，＋∞)D.[－1，3]解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D. 答案 D3.若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A.2 B.－2 C.2或－2D.0解析 由题意a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2. 答案 C4.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________.解析 ∵6－x 在区间[2，4]上是减函数，－3x 在区间[2，4]上是减函数，∴函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 答案 －45.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值、最小值.解 作出f (x )的图象如图：由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.课堂小结1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得，即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.基础过关1.函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A.f (－2)，0 B.0，2 C.f (－2)，2D.f (2)，2解析 由图象可知，此函数的最小值是f (－2)，最大值是2. 答案 C2.已知f (x )＝1x，则y ＝f (x )在区间[2，8]上的最小值与最大值分别为( )A.18与12B.13与1 C.19与13D.18与13解析 y ＝1x 在[2，8]上单调递减，故当x ＝8时，y min ＝18，当x ＝2时，y max ＝12.答案 A3.函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.54B.45C.43D.34解析 因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0＜11－x （1－x ）≤43.故f (x )的最大值为43.答案 C4.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 答案 －5 05.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大.答案 20 6.已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]. (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值. (1)证明 任取x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵3≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[3，5]上为增函数.(2)解 由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.7.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解 由题意知笼舍的宽为x m ，则笼舍的长为(30－3x )m ，每间笼舍的面积为y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0，10).当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.能力提升8.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A.(0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，又f (0)＝f (3)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m 的值最小为32，最大为3，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，故选C.答案 C9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A.90万元 B.60万元 C.120万元D.120.25万元解析 设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元.答案 C10.函数g (x )＝2x －x ＋1的值域为________.解析 设x ＋1＝t (t ≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y ＝2t 2－t －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－178，t ≥0，∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞11.函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3， ∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，∴当x ＝b 时，y max ＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)， 当x ＝a 时，y min ＝－a 2＋6a ＋9＝－7， 解得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去).答案 －2 012.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1，1]上的最小值.解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上.①当a >1时，f (x )在[－1，1]上单调递减(如图(1)所示)，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增(如图(2)所示)，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增(如图(3)所示)，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a >1），2－a 2 （－1≤a ≤1），3＋2a （a <－1）.13.(选做题)某专营店销售某运动会纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚，而每增加一元，则减少销售100枚.现设每枚纪念章的销售价格为x 元，x 为整数.(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x (元)的函数关系式，并写出这个函数的定义域；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出最大值.解 (1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400（20－x ）]（x －7），7<x ≤20，x ∈N *，[2 000－100（x －20）]（x －7），20<x <40，x ∈N *， 所以y ＝⎩⎨⎧－400[（x －16）2－81]，7<x ≤20，x ∈N *，－100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722－1 0894，20<x <40，x ∈N *， 定义域为{x ∈N *|7<x <40}.(2)因为 y ＝⎩⎨⎧－400[（x －16）2－81]，7<x ≤20，x ∈N *，－100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722－1 0894，20<x <40，x ∈N *， 所以当7<x ≤20时，则x ＝16时，y max ＝32 400(元)；当20<x <40时，则x ＝23或24时，y max ＝27 200(元).综上，当x ＝16时，该特许专营店一年内获得的利润最大，为32 400元.。
2021学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大(小)值课件
∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0. ∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数． ∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2， f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝45.
函数最值的实际应用
设 0＜x1＜x2≤40，则
y1－y2＝1
600x1＋1
x6100－1
600x2＋1
600 x2
＝1
600x1－x2＋1
600x2－x1
x1x2
＝1 600(x1－x2)1－1x61x020
＝1
600(x1－x2)·x1x2－x1x12
600 .
∵0＜x1＜x22＞0， 即 y1＞y2.
试 画 出 函 数 f(x) ＝ x ＋ |x － 1| 的 图
思路点拨： 去绝对值符号 ―→ 画分段函数图象 ―→
得最值情况
解：f(x)＝x＋|x－1|＝21xx－＜11x.≥1， 图象如图所示． 由图象可知，f(x)的最小值为 1，没有最大值．
1．利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的 函数求最值较常用．
∵x1，x2∈[3,5]且 x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞ 0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)＝xx－ ＋12在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值 f(3)＝25，当 x ＝5 时，函数 f(x)取得最大值 f(5)＝74.
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c) 上是增函数，那么函数y＝f(x)，x∈(a，c)，在x＝b处有最小值 f(b)；
高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大(小)值
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)是减函数． 同理 f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
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函数最值的实际应用 例 3 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需 要增加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元； 当 x>20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式． (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
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(2)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增减函数，在区间[b，c]上是减增函数，则 f(x) 在区间[a，c]上的最大小值是 f(b)，最小大值是 f(a)与 f(c)中较小大的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错 误，求解时一定注意．
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[跟踪训练]
x2，－1≤x≤1，
1．已知函数 f(x)＝1x，x>1，
求 f(x)的最大值、最小值.
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[解] 作出函数 f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当 x＝±1 时，f(x)取最大值为 f(±1)＝1.当 x＝0 时，f(x)取最小值 f(0) ＝0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大(小)值
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知识拓展(tuò zhǎn)1.定义中的M是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数
f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.
2.最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等
式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,y=f(x)的图
大值是
.。答案:1。(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.。分析:(1)证明单调性
的流程为:取值→作差→变形→判断符号(fúhào)→结论。(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.。
论:
对称轴 x=h 与[m,n]
的位置关系
f(x)的单调性
最大值
最小值
h<m
在区间[m,n]
上单调递增
f(n)
f(m)
h>n
在区间[m,n]
上单调递减
f(m)
f(n)
f(n)
f(h)
f(m)或 f(n)
f(h)
f(m)
f(h)
m≤h<
m≤h≤n h=
2
m+n
m+n
2
m+n
2
< ℎ≤n
在区间[m,h]
D.既无最大值,也无最小值
解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调(dāndiào)递增,
∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.
答案:B
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2 . 最值
定 义
几何意义
说 明
函数的最大值和最小值统称为函数的最值
函数 y=f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标
集合与函数概念
注意分段函数的意义
1.3函数的基本性质 课时） 1.3函数的基本性质（4课时）
本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入， 本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入， 再归纳几何特征。 再归纳几何特征。 判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、 在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、 逻辑性，并要求规范书写。 逻辑性，并要求规范书写。 教学中要重视数形结合思想方法的培养。 教学中要重视数形结合思想方法的培养。 要注意函数单调区间与定义域的关系, 要注意函数单调区间与定义域的关系, 奇偶函数 定义域的特征。 定义域的特征。 学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简 单函数的性质讨论。 单函数的性质讨论。
加强对函数性质研究方法的引导
研究方面： 研究方面： 函数增与减（单调性） 函数最大值、最小值 函数（图象）对称性（奇偶性） 函数的零点 函数值的循环往复（周期性） 函数增长（减少）的快与慢
研究方法 观察图像 猜想性质 推理证明
借助计算机计算器理解函数
计算机器不仅仅是 为了方便计算 通过绘图、列表、 通过绘图、列表、 变换增进对函数的 理解 促进学生探究性学 习方式的形成
三、教材处理集合特点
补集放在集合运算——集合语言体系 补集放在集合运算——集合语言体系 —— 不强调集合知识的完整性—— ——非集合论 不强调集合知识的完整性——非集合论 强调使用Venn ——三种语言 Venn图 强调使用Venn图——三种语言
探讨：有限课时与内容丰富 探讨：
正确定位
集合语言——非集合论 非集合论 集合语言
借助函数发展史理解函
拓展数学视野 开发数学人文价值 促进对教材内容的理解
背景
变量说 对应说 表示
四、分节详解
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转 化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】 已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区 间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围． 解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调 区间． [ 思 路 探 索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章 集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？ 提示 不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上 也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是 减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不 满足减函数．
高中必修一数学集合与函数概念ppt课件-人教版
高中数学
四、分节详解
高中数学
1.2函数及其表示（4课时）
函数概念的教学要从实际背景和定义两个方 助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联 活常识，尝试列举具体函数，构建函数的一般
要注意构成函数的要素和相同函数的含义 注意函数三种表示法的联系、区别与适用性 注意分段函数的意义 在求函数定义域、值域时，要控制难度。
高中数学
函数
高中数学
一、目标定位
1、课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中 程的始终” 2、克莱因：“函数概念，应该成为数学教育 以函数概念为中心，将全部数学教材集中在 进行充分地综合。” 3、 教师：“学好了函数就可以对付高考”
高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系－ 模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划 概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函 掌握用运算、导数等研究函数的变化，等等。
高中数学
研究方法
观察图像 猜想性质 推理证明
高中数学
借助计算机计算器理解函数
• 计算机器不仅仅是为了 方便计算
• 通过绘图、列表、变换 增进对函数的理解
• 促进学生探究性学习方 式的形成
高中数学
借助函数发展史理解函
拓展数学视野 开发数学人文价值 促进对教材内容的理解
高中数学
背景
变量说
对应说 表示
题7：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点 合为L2，使用集合的运算表示l1、 l2的位置关系。
习题1.1 B组：在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|
表示直线y=x，从这个角度看，集合D表示什么？集
D有什么关系？
2xy1
D{(x,y高)中|数学x4y5}
高中数学课件归纳必修1第一章集合与函数概念函数的最大(小)值2
1、如果函数图象顶点在所给闭区间内,则在顶点处取得最小 (大)值,在闭区间端点之一处取得最大(小)值
2、如果函数图象顶点在所给闭区间外,则利用函数单调性, 2019分/9/15别在闭区间两个端点处取得最大、最小值
练习:分别求函数y=8+2x-x2在[-2,4]和[-2,0] 的最值
答案:在[-2,4],当x=1时,ymax=9 当x=-2或4时, ymin=0
在[-2,0],当x=0时,ymax=8 当x=-2时,ymin=0
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例4:已知函数
y
x
2 1
(
x
[2,
6]),求函数的
最大值与最小值。
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练习:P36 3
作业:P43 5
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观察函数图象:
1、函数y=x2-2x-3定义域为R 2、在(-,1] 函数为减函数,在(1,+)函数为增函 数
3、当x=1时,函数y=x2-2x-3有最小值ymin=-4
配方法: y=x2-2x-3
=(x-1)2-4 因为在R内 (x-1)2 ≥0 y≥-4
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即 当x=1时 函数取最小值ymin=-4
函数的最值
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例1:作出函数y=x2-2x-3的图象,讨论其单调 性,并求函数的最大(小)值.
解:首先做出函数y=x2-2x-3的图象
1)画出函数对称轴 2)寻找顶点(-b/2a,(4ac-b2)Байду номын сангаас4a) 3)寻找函数图象与x轴交点,即求一元二次方程 x2-2x-3=0的解
2019/9/15
例2:求函数y=x2-2x-3在区间[-2,2]的最 大、最小值.
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1第2课时函数的最大(小)值课件新人教A版必修1
50
所以当 x=4 050,即每辆车的租金为 4 050 元时,租赁公司的月收
益最大,最大月收益是 307 050 元.
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探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思想方法
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
变式训练3
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思想方法
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思想方法
1
变式训练 1 已知函数 f(x)=
,0 < < 1,
,1 ≤ ≤ 2.
(1)画出 f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.
相对位置关系→结合单调性与图象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
当 a<0 时,[0,2]是函数的递增区间,如图 ①.
故函数在 x=0 处取得最小值-1,
在 x=2 处取得最大值 3-4a.
当 0≤a≤1 时,结合函数图象(如图 ②)知,
函数在 x=a 处取得最小值-a2-1,
在 x=2 处取得最大值 3-4a.
M 满足:对于任意的 x∈I,都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在 x0∈I,使得 f(x 0)=M
我们称 M 是函数
我们称 M 是函数 y=f(x)的
y=f(x)的最大值
最小值
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值(2)预习案(无答案)新人教A版
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1。
3.1 单调性与最大(小)值(二)【教学目标】1．知识与技能理解函数最大(小)值概念及其几何意义；会根据函数的单调性求函数的最值。
2．过程与方法通过实例使学生体会函数的最大（小)值是函数图象上最高（低)点的纵坐标,因而借助图象的直观性可以得出函数的最大（小)值。
3.情感、态度、价值观培养学生以形识数的解题意识.利用函数的图象和单调性求函数的最大（小）值去解决日常生活中的实际问题。
激发学生学习的积极性.【预习任务】阅读课本p30-32，完成些列任务1．画出下列函数的图像；图像有无最高点或最低点？若有,指出在何处取得？最高点或最低点的纵坐标与函数最大值、最小值有怎样的关系？（1）f(x）=－x+3；(2）f（x)=－x+3,x∈［－1,2];（3）f(x)=x2+2x+1; （4)f（x)=x2+2x+1，x∈［－2，2].2．写出函数y=f(x）的最大值的定义，仿照教材中函数最大值的定义，写出函数y=f（x）的最小值的定义并记忆:3。
高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修1
解析答案
2.函数y＝x2－6x的减区间是( D ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[3，＋∞) D.(－∞，3]
解析 y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 单调区间.
作出函数 f(x)＝－x－x－232＋，3x≤，1x＞，1
的图象，并指出函数的
解 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x＞，1
的图象如图所示.
由图象可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；
单调递增区间为[2，＋∞).
12345
解析答案
12345
3.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( A )
A.y＝|x|
B.y＝3－x
C.y＝1x
D.y＝－x2＋4
解析 (排除法)函数 y＝3－x 在 R 上为减函数，函数 y＝1x在(0，＋∞)上
是减函数，函数 y＝－x2＋4 在[0，＋∞)上是减函数.
解析答案
12345
第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习 目标
1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法. 2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概 念，能准确理解这些定义的本质特点.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
解析答案
例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间. 解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ ＜00， ， 即 y＝－－xx＋－1122＋＋22，，xx＜≥00.， 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区 间为[－1,0]，[1，＋∞).
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探究2 比较大小：比较两个函数值的大小，一定要把两个 自变量的值置于同一个单调区间内！
思考题2 若函数y＝ f(x)在(0，2)上是增函数，且函数y＝ f(x＋2)的图像关于 y轴对称，则(
π A.f 3 3π ＜ f 4 3π )＜f 4 ＜f(π π ＜ f 3
k k k (2)设 k ≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝(x1＋ )－(x2＋ )＝(x1－x2)＋( x1 x2 x1 k －x ) 2 （x2－x1）k （x1－x2）（ x1x2－k） ＝(x1－x2)＋ ＝ ， x1x2 x1x2 ∵ k≤x1<x2，∴ x1－x2<0.x1x2－k>0，x1 x2>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). k ∴f(x)＝ x＋ x在( k，＋∞)上是增函数. k 综上可得，f(x)＝ x＋ x (k>0)在(0， k ]上为减函数，在[ k ，＋ ∞)上为增函数.
1.3.1 单调性与最大(小)值(第2课时) 复合函数的单调性及单调性的应用
课 时 学 案
题型一 复合函数的单调性 例1 (1)已知g(x)是[m， n]上的减函数，且a≤g(x)≤b，f(x) 是[a，b]上的增函数，求证：f[g(x)]在[m， n]上也是减函数.
【证明】 设m≤ x1＜x2≤n， ∵g(x)是[m， n]上的减函数，且a≤g(x)≤b， ∴b≥g(x1)＞g(x2)≥a. 又∵f(x)是[a，b]上的增函数， ∴f[g(x1)]＞f[g(x2)]. 由函数的单调性定义知，f[g(x)]在[m， n]上是减函数.
(2)求函数y＝ 1－2x的单调区间.
【思路】 首先，求函数定义域，其次要清楚是由哪几个函数 复合而成.
1 【解析】 由1－2x≥0，得 x≤ 2 ，而函数y＝ 1－2x 是由y ＝ t及t＝1－2x复合而成的. 1 在(－∞，2]上，t＝1－2x是减函数， y＝ t是增函数，∴y＝ 1 1－2x在(－∞，2]上是减函数. 【讲评】 求复合函数的单调区间要充分利用基本函数的单调
自 助 餐
对勾函数 k 例 设 f(x)＝x＋ x(k＞0)，试证明 f(x)在区间(0， k]上单调 1 递减，在区间[ k，＋∞)上单调递增；并对 k＝1， ，2 时分别验 2 证此结论. (建议在理解地基础上记住此结论！)
【证明】
(1)设0<x1<x2≤ k，
k k f(x1)－f(x2)＝(x1＋ )－(x2＋ ) x1 x2 k k ＝(x1－x2)＋( － ) x1 x2 （x2－x1）k （x1－x2）（ x1x2－k） ＝(x1－x2)＋ ＝ ， x1x2 x1x2 ∵0<x1<x2≤ k，∴x1－x2<0， x1x2－k<0，x1 x2>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). k ∴f(x)＝ x＋ 在(0， k]上是减函数. x
【解析】
1 (1)内层函数t＝x－1，外层函数y＝ ， t
单调减区间(－∞，1)，(1，＋∞). 1 (2)内层函数t＝x2＋1，外层函数y＝ t ， 单调增区间(－∞，0]，单调减区间(0，＋∞). (3)内层函数t＝x－1，外层函数y＝ t， 单调增区间(1，＋∞).
(4)内层函数t＝x2－2x，外层函数 y＝ t， 单调增区间(2，＋∞)，单调减区间(－∞，0). (5)内层函数t＝－x2＋2x，外层函数 y＝ t， 单调增区间(0，1)，单调减区间(1，2).
探究3 本题没有解析式，但已知函数的单调性，为解抽象 函数的不等式，其解法主要是利用函数的单调性及存在性而得 出相应的解集，这也是高考中常用来考查函数的一种方法.此题 一定要注意函数的定义域.
思考题3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1， 求不等式f(2x－1)－1＞0的解集. 1 【答案】 ( ，＋∞) 2
【思路】 利用单调性，去掉面纱“f”，化归成“实在”不等 式组.
【解析】 ∵f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，f(2x－3)＞ f(x＋1). 所以得出不等式组 －3＜2x－3＜3， 0＜x＜3， －3＜x＋1＜3， ⇔－4＜x＜2，解得0＜ x＜2. 2x－3＜ x＋1 x＜4. 故x的取值范围是(0，2).
) B.f(π
π )＜f 3 3π ＜ f 4 ＜f(π
)
C.f(π
3π D.f 4
π ＜ f 3
)
【答案】 B
例3 已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，若f(2x－3) ＞f(x＋1)，求 x的取值范围.
性，分式函数、偶次方根函数一定要数的单调性的判定见下表： t＝g(x) 增 增 减 减 y＝ f(t) 增 减 增 减 y＝ f[g(x)] 增 减 减 增
注意 定义域.
(1)判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的
(2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”.
思考题1 求下列函数的定义域，指出复合函数的内层函 数和外层函数分别是什么.并求单调区间. 1 (1)y＝ ； x－1 (3)y＝ x－1 ； (5)y＝ －x2＋2x. 1 (2)y＝ 2 ； x ＋1 (4)y＝ x2－2x ；
题型二 单调性的应用 例2 如果函数f(x)＝ x2＋bx＋c，对任意实数t都有f(2＋t)＝ f(2－t)，比较f(1)，f(2)，f(4)的大小.
【思路】 本题关键是弄懂f(2＋t)＝f(2－t)所表达的意思.它表 示数2加t或减t，函数值不变，即x＝2是这个二次函数的对称轴.
【解析】 由题意可知，f(x)的对称轴为x＝2. 故f(1)＝f(3). ∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数(开口向上)， ∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4).